1、四川省成都市新津中学2014-2015学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择1双曲线的焦距为（）AB4CD82已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD123以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）Ay=3x2或y=3x2By=3x2Cy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9x4命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x215（理）已知过抛物线y2=6x焦点的弦
2、长为12，则此弦所在直线的倾斜角是（）A或B或C或D6一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A+=1B+=1C+=1D+=17经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）ABCD8已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A1BCD9若kR，则“方程表示双曲线”是“k3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件10直线y=x+3与曲线=1交点的个数为（）A0B1C2D3二填空11抛物线y=4x2的准线方程是1
3、2在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于或等于a的概率为13已知x、yR，那么命题“若x、y中至少有一个不为0，则x2+y20”的逆否命题是14以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为15下列正确的是：（1）已知点F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为5；（2）L与F分别为同一平面内一条直线与一个定点，d为此平面内动点M到L的距离，若MF=d，则M点的轨迹是抛物线；（3）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=，|AF|BF|，则|A
4、F|=；（4）点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动则三棱锥AD1PC的体积不变三解答题16设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值17设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标18（1）已知向量=（2，1），=（x，y）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足=1的概率；（2）已知集合A=2，2，B=1，1，设M=（x，y）|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素（x，y）求以（x，y）为坐标的点到
5、直线x+y=0的距离不大于的概率19如图，在三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形，（）求证：MD平面APC；（）求证：平面ABC平面APC20已知双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，过点M（）求双曲线C的方程；（）对称轴为x轴的标准抛物线w过M点，是否存在斜率为1的直线L与此抛物线W有公共点，且M点到此直线L 的距离为？21已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程四川省成都市新津中学2014-
6、2015学年高二下学期4月月考数学试卷（文科）一、选择1双曲线的焦距为（）AB4CD8考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据双曲线标准方程即可求出c，从而求出焦距2c解答：解：由双曲线的标准方程知道a=2，b=2，c=4该双曲线的焦距为8故选：D点评：考查双曲线的标准方程，双曲线标准方程中的参数a，b，c的关系：c2=a2+b2，双曲线焦距的概念2已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD12考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和
7、等于长轴长2a，可得ABC的周长解答：解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a=，故选C点评：本题主要考查数形结合的思想和椭圆的基本性质，难度中等3以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）Ay=3x2或y=3x2By=3x2Cy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9x考点：抛物线的标准方程；圆的标准方程 分析：首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程解答：解：根据题意知
8、，圆心为（1，3），（1）设x2=2py，p=，x2=y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选D点评：本题考查了抛物线和圆的标准方程，但要注意抛物线的位置有在x轴和y轴两种情况，属于基础题4命题“若x21，则1x1”的逆否命题是（）A若x21，则x1或x1B若1x1，则x21C若x1或x1，则x21D若x1或x1，则x21考点：四种命题 分析：根据逆否命题的定义，直接写出答案即可，要注意“且”形式的命题的否定解答：解：原命题的条件是“若x21”，结论为“1x1”，则其逆否命题是：若x1或x1，则x21故选D点评：解题时，要注意原命题的结论“1x1”，是复合命题“且”的形式，否定时，要用“
9、或”形式的符合命题5（理）已知过抛物线y2=6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是（）A或B或C或D考点：抛物线的简单性质；直线的倾斜角 专题：计算题分析：首先根据抛物线方程，求得焦点坐标为F（，0），从而设所求直线方程为y=k（x）再将所得方程与抛物线y2=6x消去y，得k2x2（3k2+6）x+k2=0，利用一元二次根与系数的关系，得x1+x2=，最后结合直线过抛物线y2=6x焦点截得弦长为12，得到x1+x2+3=12，所以=9，解之得k2=1，得到直线的倾斜角解答：解：抛物线方程是y2=6x，2p=6，可得=，焦点坐标为F（，0）设所求直线方程为y=k（x），与抛物线y2=6x
10、消去y，得k2x2（3k2+6）x+k2=0设直线交抛物线与A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系，得x1+x2=，直线过抛物线y2=6x焦点，交抛物线得弦长为12，x1+x2+3=12，可得x1+x2=9，因此，=9，解之得k2=1，k=tan=1，结合0，），可得=或故选B点评：本题给出已知方程的抛物线焦点弦长为12，求这条弦所在直线的倾斜角，着重考查了直线倾斜角、抛物线的基本概念和直线与抛物线的位置关系等知识点，属于基础题6一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A+=1B+=1C
11、+=1D+=1考点：椭圆的应用 专题：综合题；等差数列与等比数列；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由于|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，及P是椭圆上的一点，可得2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a，即可得到a=2c，又P（2，）是椭圆上一点，利用待定系数法即可解答：解：|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a，a=2c设椭圆方程为，则解得a=2，c=，b2=6故椭圆的方程为+=1故选A点评：本题考查椭圆的标准方程与性质，考查待定系数法的运用，正确设出椭圆的方程是关键7经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线
12、方程为（）ABCD考点：双曲线的简单性质；双曲线的标准方程 专题：计算题分析：根据有相同的渐近线可设所求双曲线为 = （0），把点代入，解得：的值，进而求出答案解答：解：由题意可得：设所求双曲线为 = （0），把点M（2，2），解得=2，所求的双曲线方程为 =2，即=1故选：D点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意待定系数法的合理运用8已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A1BCD考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的定义，结合的最大值为5，可得当且仅当ABx轴时，|AB
13、|的最小值为3，由此可得结论解答：解：由题意：+|AB|=4a=8的最大值为5，|AB|的最小值为3当且仅当ABx轴时，取得最小值，此时A（c，），B（c，）代入椭圆方程可得：c2=4b2b=故选D点评：本题考查椭圆的定义，考查学生的计算能力，属于基础题9若kR，则“方程表示双曲线”是“k3”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：双曲线的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先看能否由k3推出方程表示双曲线，再看方程表示双曲线时，能否推出k3，结合充分条件、必要条件的定义得出结论解答：解：k3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，故必要性成立
14、而当方程表示双曲线时，应有 （k3）（k+3）0，k3或k3，由方程表示双曲线，不能推出：k3，即充分性不成立，综上所述，“方程表示双曲线”是“k3”的必要不充分条件故选：B点评：本题考查双曲线的标准方程、充分条件、必要条件、充要条件的判断方法，双曲线的标准方程的特征，属于基础题10直线y=x+3与曲线=1交点的个数为（）A0B1C2D3考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：综合题分析：通过对x分类讨论去掉曲线=1中的绝对值符号，再将直线y=x+3的方程与转化后的曲线方程联立，通过方程组的解可以得到正确结论解答：解：若x05x224x=0，解得，均满足题意，即直线与半双曲线有两个交点； 若x0由5
15、x2+24x=0，解得，即直线与半椭圆有一个交点； 综上所述，可以排除A、B、C故选D点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解决的方法是分类讨论法，解方程组，体现的数学思想有转化思想，方程思想；也可以用数形结合法解决二填空11抛物线y=4x2的准线方程是考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：化抛物线的方程为标准方程，可得p值，结合抛物线的开口方向可得方程解答：解：化抛物线方程为标准方程可得，由此可得2p=，故，由抛物线开口向下可知，准线的方程为：y=，故答案为：点评：本题考查抛物线的简单性质，涉及抛物线准线方程的求解，属基础题12在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1
16、D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于或等于a的概率为考点：几何概型 专题：计算题；转化思想分析：由题意可得，点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可解答：解：由由题意可得正方形的体积为a3，与点A距离等于a的点的轨迹是一个八分之一个球面，体积为=则点P到点A的距离小于等于a的概率为：=故答案为：点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想属于基础题13已知x、yR，那么命题“若x、y中至少有一个不为0，则x2+y20”的逆否命题是若x2+y2=0，则x，y都为0考
17、点：四种命题 专题：规律型；简易逻辑分析：先否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，即得到原命题的逆否命题解答：解：由否定原命题的题设做结论，再否定原命题的结论做题设，x、yR，那么命题“若x、y中至少有一个不为0，则x2+y20”的逆否命题是“若x2+y2=0，则x，y都为0”故答案为：若x2+y2=0，则x，y都为0点评：本题考查四种命题的相互转化，解题时要注意转化的合理性14以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（x5）2+y2=16考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：计算题分析：求出椭圆的右焦点得到圆心，再求出双曲线的渐近线，由圆心到渐近线的距离得
18、到圆的半径，由此可以得到圆的方程解答：解：c2=169144=25，椭圆的右焦点为F（5，0），所求圆的圆心坐标是（5，0）双曲线的渐近线方程是，由点到直线的距离公式可知（5，0）到的距离=4，所求圆的半径为4故所求圆的方程是（x5）2+y2=16答案：（x5）2+y2=16点评：求出圆的圆心和半径，就得到圆的方程15下列正确的是：（1）（3）（4）（1）已知点F1、F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为9a，则双曲线的离心率为5；（2）L与F分别为同一平面内一条直线与一个定点，d为此平面内动点M到L的距离，若MF=d，则M点的轨迹是抛物线；（
19、3）过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=，|AF|BF|，则|AF|=；（4）点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动则三棱锥AD1PC的体积不变考点：命题的真假判断与应用 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；空间位置关系与距离分析：（1）通过设|PF1|=x（xca），进而|PF2|=2a+x，利用=9a计算即得结论；（2）当点P为直线L上的一点时显然不正确；（3）设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出|AF|、|BF|再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案；（4）利用线面平行的性质即棱锥体积公式即得结论解答：
20、解：（1）设|PF1|=x（xca），由椭圆定义可知|PF2|=2a+x，=9a，解得：x=4a或x=a，c=5a或c=2a，离心率e=5或e=2（与最小为9a矛盾，舍去），双曲线的离心率为5，故正确；（2）当点P为直线L上的一点时显然不正确；（3）由题意可得：F（，0），设A（x1，y1）、B（x2，y2），过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，|AF|=+x1，|BF|=+x2，|AB|=，x1+x2=，设直线l的方程为y=k（x）并与抛物线联立，消去y、整理得：k2x2（k2+2）x+=0，x1+x2=，=，k2=24，24x226x+6=0，x1=，x2=，|AF|=
21、+x1=，故正确；（4）由题意知AD1BC1，从而BC1平面AD1C，BC1上任意一点到平面AD1C的距离均相等，以P为顶点，平面AD1C为底面，则三棱锥AD1PC的体积不变，故正确；故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题是一道关于圆锥曲线、空间几何体等的综合题，注意解题方法的积累，属于难题三解答题16设向量，（1）若，求x的值；（2）设函数，求f（x）的最大值考点：平面向量数量积的运算；向量的模；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性 专题：平面向量及应用分析：（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函
22、数f（x）的解析式为sin（2x）+结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值解答：解：（1）由题意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x0，sinx=，即x=（2）函数=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x0，2x，当2x=，sin（2x）+取得最大值为1+=点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题17设椭圆C：过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3
23、，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系 专题：计算题分析：（）根据题意，将（0，4）代入C的方程得b的值，进而由椭圆的离心率为，结合椭圆的性质，可得=；解可得a的值，将a、b的值代入方程，可得椭圆的方程（）根据题意，可得直线的方程，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，化简可得方程x23x8=0，解可得x1与x2的值，由中点坐标公式可得中点的横坐标，将其代入直线方程，可得中点的纵坐标，即可得答案解答：解：（）根据题意，椭圆过点（0，4），将（0，4）代入C的方程得，即b=4又得=；即，a=5C的方程为（）过点（
24、3，0）且斜率为的直线方程为，设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入C的方程，得，即x23x8=0，解得，AB的中点坐标，即中点为点评：本题考查椭圆的性质以及椭圆与直线相交的有关性质，涉及直线与椭圆问题，一般要联立两者的方程，转化为一元二次方程，由韦达定理分析解决18（1）已知向量=（2，1），=（x，y）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足=1的概率；（2）已知集合A=2，2，B=1，1，设M=（x，y）|xA，yB，在集合M内随机取出一个元素（x，y）求以（x，y）
25、为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 专题：综合题；概率与统计分析：（1）确定基本事件的个数，即可求出满足=1的概率；（2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，求出x，y满足的关系，得到区域面积，求面积比解答：解：（1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为66=36个；由=1有2x+y=1，所以满足=1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个；故满足=1的概率为=； （2）由以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于，所以，即|x+y|1，满足条件的事件是图中阴影部分，
26、所以以（x，y）为坐标的点到直线x+y=0的距离不大于的概率为=点评：本题考查了古典概型、几何概型的概率求法，几何概型的概率关键是将所求的概率利用基本事件的集合度量即区域的长度或者面积或者体积表示，求比值19如图，在三棱锥ABPC中，APPC，ACBC，M为AB中点，D为PB中点，且PMB为正三角形，（）求证：MD平面APC；（）求证：平面ABC平面APC考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 专题：证明题分析：（）M为AB中点，D为PB中点，由中位线定理得MDAP，由线面平行的判定证得MD平面APC；（）先证得APBC，又有ACBC，通过线面垂直的判定证出BC平面APC，再由面面垂
27、直的判定证出平面ABC平面PAC解答：证明：（）M为AB中点，D为PB中点，MDAP，又MD平面APC，MD平面APC（）PMB为正三角形，且D为PB中点，MDPB又由（）知MDAP，APPB又已知APPC，PBPC=PAP平面PBC，而BC包含于平面PBC，APBC，又ACBC，而APAC=A，BC平面APC，又BC包含于平面ABC平面ABC平面PAC点评：本题主要是通过线线、线面、面面之间的关系的转化来考查线线、线面、面面的判定定理20已知双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，过点M（）求双曲线C的方程；（）对称轴为x轴的标准抛物线w过M点，是否存在斜率为1的直线L与此抛物线W有公共点，
28、且M点到此直线L 的距离为？考点：双曲线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，过点M，建立方程，求出a，b，即可求双曲线C的方程；（）求出对称轴为x轴的标准抛物线的方程，设斜率为1的直线L与此抛物线W有公共点，利用M点到此直线L 的距离为，即可得出结论解答：解：（）双曲线C：=1（a0，b0）的离心率为，过点M，=，a=1，b=，双曲线C的方程为；（）设抛物线方程为y2=ax，代入M，可得6=2a，a=3，抛物线方程为y2=3x，设斜率为1的直线L的方程为y=x+m，即xy+m=0，M点到此直线L的距离为，=，m=或4+，直线
29、L的方程为xy+=0或xy4+=0经检验xy4+=0，符合题意点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题21已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长
30、公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程解答：解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x2点评：本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力