1、1 数据链接 真题试做2 数据聚焦 考点梳理a3 数据剖析 题型突破第9讲 一元二次方程及其应用 目 录 数据链接 真题试做 1 2 命题点 解一元二次方程 命题点 一元二次方程根的判别式 解一元二次方程 命题点1返回子目录 1.(2012河北,8)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是()A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3C.(x-2)2=5D.(x+2)2=5 2.(2010河北,16)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 .A1 数据链接 真题试做 1 返回子目录 3.(2014河北,21)嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2
2、+bx+c=0(a0)的求根公式时,对于b2-4ac0的情况,她是这样做的:返回子目录(1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误;事实上,当b2-4ac0时,方程 ax2+bx+c=0(a0)的求根公式是 .(2)用配方法解方程:x2-2x-24=0.x=四将方程x2-2x-24=0变形为x2-2x=24.配方,得x2-2x+1=24+1.整理,得(x-1)2=25.解得x1=6,x2=-4.返回子目录 一元二次方程根的判别式 命题点24.(2019河北,15)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=-1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2
3、.则原方程的根的情况是()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1D.有两个相等的实数根 A返回子目录 5.(2016河北,14)a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.无实数根D.有两个相等的实数根 B6.(2015河北,12)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根,则a的取值范围是()A.a1C.a1D.a1 B数据聚焦 考点梳理 1 2 考点 一元二次方程及其解法 考点 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 考点 一元二次方程根的应用 3 一元二次方程及
4、其解法 考点1返回子目录 1.一元二次方程 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 的整式方程叫做一元二次方程.2.一般形式 ax2+bx+c=0(其中a,b,c为常数,a0),其中ax2,bx,c分别叫做二次项、一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数.2 数据聚集 考点梳理 2 返回子目录 3.一元二次方程必备的三个条件(1)必须是 方程;(2)必须只含有 未知数;(3)所含未知数的最高次数是 .整式 一个2 4.一元二次方程的四种解法 解法适用题型方法或步骤直接开平方法x2=m(m0)或(xm)2=n(n0)1.观察方程是否符合x2=m(m0)或(xm)2=n(n0)的形式
5、;2.直接开平方,得两个一元一次方程;3.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根 返回子目录 解法 适用题型 方法或步骤 配方法 所有有实根的一元二次方程 1.将二次项系数 ;2.移项,使方程左边只含有二次项和一次项,右边为 ;3.方程两边都加上一次项系数一半的平方;4.原方程变为 ;5.直接开平方,得两个一元一次方程;6.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根 化为1 常数项(xm)2=n(n0)公式法 所有有实根的一元二次方程 1.把方程化为一般形式;2.确定a,b,c的值;3.求出b2-4ac的值;4.将a,b,c的值代入x=因式分解法 左边能分解因式,右边为0的一元二次方程 1.将方程
6、右边化为0;2.将方程左边进行因式分解;3.令两个因式 ,得两个一元一次方程;4.解这两个一元一次方程,得原方程的两个根 返回子目录 解法 适用题型 方法或步骤 分别等于0 返回子目录【易错提示】对于方程两边含有相同因式的一元二次方程,应将方程化为一般式求解,不能直接约去公因式,从而丢根.返回子目录 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 考点21.一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为b2-4ac.(1)当b2-4ac 0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac 0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac 0时,方程无实数根.=2.一元二次方程根与系数的关系
7、 设一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别为x1,x2,则有x1+x2=-,x1x2=.返回子目录 一元二次方程的应用 考点31.列一元二次方程解应用题的步骤:和列一元一次方程解应用题的步骤一样,共分审、设、列、解、验、答六步.2.列一元二次方程解应用题时,经济类和面积类问题是常考内容(1)有关增长率的等量关系:A.增长率=增长量基础量100.B.a为基础量,当m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量时,a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n为下降次数,b为下降后的量时,a(1-m)n=b.返回子目录(2)面积类问题中的常见图形(如图).平移转化法:设阴影部分的宽为x,通过平移可将
8、图转化为图,由图易知空白部分的面积为(a-x)(b-x).(3)利润等量关系:利润=售价-成本;利润率=利润成本100%.数据剖析 题型突破 1 2 3 考向 一元二次方程的解法 考向 一元二次方程根的判别式 考向 一元二次方程根与系数的关系 考向 一元二次方程根的应用 4 返回子目录 1.(2021河北模拟)用配方法解下列方程时,配方有错误的是()一元二次方程的解法（5年考0次）考向1A.x2-2x-99=0化为(x-1)2=100B.x2+8x-9=0化为(x+4)2=25 C.2t2-t-4=0化为=D.3x2-4x-2=0化为=C2.(2021石家庄模拟)一元二次方程x2-5x+6=0
9、的解为()A.x1=2,x2=-3B.x1=-2,x2=3C.x1=-2,x2=-3D.=2,=3 D数据剖析 题型突破 3 返回子目录 3.(2021邯郸模拟)若2-是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是()A.1B.3-C.1+D.2+A 4.解下列方程:(1)3x2-11x+6=0;(2)3x2-2x-2=0.解:(1)因式分解得(3x-2)(x-3)=0,3x-2=0或x-3=0,x1=,x2=3.(2)移项,得3x2-2x=2,配方,得3=,解得x1=+,x2=.返回子目录 5.(2021河北模拟)阅读下列“问题”与“提示”后,将解方程的过程补充完整,并求出x的值.【问题】解方
10、程:x2+2x+4 +-5=0.【提示】可以用“换元法”解方程.解:设=+=t(t0),则有x2+2x=t2,原方程可化为 .【续解】解:原方程可化为t2+4t-5=0,(t+5)(t-1)=0,t+5=0或t-1=0,t1=-5,t2=1,当t=-5时,+=-5,+0,方程 +=-5无实数根,当t=1时,+=1,x2+2x=1,x2+2x+1=2,(x+1)2=2,x+1=,x=-1,x1=-1+,x2=-1-,经检验可知,x1=-1+,x2=-1-都是原方程的根,原方程的根为x1=-1+,x2=-1-,x的值为-1+或-1-.返回子目录 一元二次方程的主要解法:(1)直接开平方法.(2)配
11、方法.(3)公式法:x=.(4)因式分解法.解一元二次方程的关键是根据方程的特点选择合适的方法,一般情况下优先考虑因式分解法.返回子目录 返回子目录 一元二次方程根的判别式（5年考2次）考向21.(2021河北全真模拟)已知关于x的方程kx2-2x+3=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.kC.k且k0 C返回子目录 2.(2021石家庄模拟)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2或2D.-3或1 3.(2021河北模拟)关于x的一元二次方程ax2-2ax-b=0有一个实数根x=1,则下面关于该方程的判别式 的说法正
12、确的是()A.0B.=0C.0,原方程有两个不相等的实数根.(2)答案不唯一,满足b2-4a=0(a0)即可,例如:令a=1,b=-2,则原方程为x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.返回子目录 利用根的判别式可以判别一元二次方程根的情况,也可以由方程根的情况确定方程中字母系数的取值情况.判断根的情况时必须先将方程化为一般形式.返回子目录 一元二次方程根与系数的关系（5年考2次）考向31.一元二次方程x2-2x=0的两根分别为x1和x2,则x1x2为()A.-2B.1C.2D.02.已知,是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根,则+-的值是()A.3B.1C.-1D.-3 DB返回子目录
13、 3.设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2 020=0的两个不等实根,则m2+m-n=()A.2 019B.2 020C.2 021D.2 022 4.一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为 .5.已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=10的实数根x1,x2满足3x1x2-x1-x22,则m的取值范围是 .D2 1312(不符合题意,舍去);当x=5时,24-3x=9.答:长方形场地的边AB的长为9米.返回子目录 5.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略,某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2018年利润为2亿元,202
14、0年利润为2.88亿元.(1)求该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率;(2)若利润的年平均增长率不变,该企业2021年的利润能否超过3.4亿元?解:(1)设年利润平均增长率为x,依题意得2(1+x)2=2.88,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(舍去),答:该企业从2018年到2020年利润的年平均增长率为20%.(2)2.88(1+20%)=3.456,3.4563.4.答:该企业2021年的利润能超过3.4亿元.返回子目录 6.(2021石家庄模拟)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展,据调查,我市某快递公司,今年八月份与十月份完成投递的快递总件数分别为1
15、0万件和12.1万件.现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同;(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率.(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年十一月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?解:(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x,依题意得10(1+x)2=12.1,解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意舍去),x=0.1=10%.答:该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%.返回子目录(2)今年11月份的快递投递任务是12.1(1+10%)=13.31(万件).平均每人每月最多可投递0.6万件,21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是0.621=12.613.31.该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年11月份的快递投递任务.至少要增加2名业务员.返回子目录 一元二次方程的根通常有两个,在解决实际问题时,有时要根据具体情况进行取舍,通常舍掉负值的那个根.