1、考点规范练34基本不等式及其应用考点规范练B册第21页基础巩固1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2+14lg x(x0)B.sin x+1sinx2(xk,kZ)C.x2+12|x|(xR)D.1x2+11(xR)答案:C解析:因为x0,所以x2+142x12=x,所以lgx2+14lgx(x0),故选项A不正确;当xk,kZ时,sinx的正负不定,故选项B不正确;由基本不等式可知选项C正确;当x=0时,1x2+1=1,故选项D不正确.2.若正数x,y满足1y+3x=1,则3x+4y的最小值是()A.24B.28C.25D.26答案:C解析:正数x,y满足1y+3x=1,3x+4y=(3
2、x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx13+32xy4yx=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.3x+4y的最小值是25.故选C.3.已知a0,b0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)4ab=4(当且仅当a=b=1时,等号成立).4.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab),其全程的平均时速为v,则()A.avabB.v=abC.abva+b2D.v=a+b2答案:A解析:设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为sa+sb
3、,从而v=2ssa+sb=2aba+b.0ab,ab2ab2b=a,2a+b1ab,即2aba+bab,av0,b0)对称,则1a+4b的最小值为()A.8B.9C.16D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.6.设x,yR,a1,b1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为()A.2B.32C.1D.12答案:C解析:由ax=by=3,1x+1y=1loga3+1logb3=lga+lgblg
4、3=lg(ab)lg3.又a1,b1,所以aba+b22=3,所以lg(ab)lg3,从而1x+1ylg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.7.(2019河北涞水波峰中学高三模拟)已知x0,y0,且4x+1y=1,若x+ym2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是.答案:-3,2解析:x+y=(x+y)4x+1y=5+xy+4yx5+2xy4yx=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+39,m2+m-60,解得-3m2,即实数m的取值范围是-3,2.8.已知x1,则logx9+log27x的最小值是.答案:263解析:x1,logx9+log27x=
5、2lg3lgx+lgx3lg3223=263,当且仅当x=36时等号成立.logx9+log27x的最小值为263.9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(xN*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.答案:58解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x0,所以yx18-225=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.已知正数a,b满足2a2+b2=3,则ab2+1的最大值为.答案:2解析:ab2+1=222ab2+1221
6、2(2a2+b2+1)=24(3+1)=2,当且仅当2a=b2+1,且2a2+b2=3,即a2=1,b2=1时,等号成立.故ab2+1的最大值为2.11.已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为.答案:14解析:因为2a0,18b0,所以2a+18b=2a+2-3b22a2-3b=22a-3b,当且仅当a=-3,b=1时,等号成立.因为a-3b+6=0,所以a-3b=-6.所以2a+18b22-6=14,即2a+18b的最小值为14.能力提升12.若不等式2x2-axy+y20对于任意x1,2及y1,3恒成立,则实数a的取值范围是()A.a22B.a22C.a113D.a92
7、答案:A解析:因为2x2-axy+y20,且y0,所以2xy2-axy+10.令t=xy,则不等式变为2t2-at+10.由x1,2,y1,3,可知t13,2,即2t2-at+10在t13,2时恒成立.由2t2-at+10可得a2t2+1t,即a2t+1t.又2t+1t22t1t=22,当且仅当2t=1t,即t=22时等号成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a22,故选A.13.已知不等式|y+4|-|y|2x+a2x对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:令f(y)=|y+4|-|y|,则f(y)|y+4-y|=4,即f(y)max=4.不等
8、式|y+4|-|y|2x+a2x对任意实数x,y都成立,2x+a2xf(y)max=4,a-(2x)2+42x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+42x,则ag(x)max=4,实数a的最小值为4.14.已知x0,a为大于2x的常数.(1)求函数y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2x-x的最小值.解:(1)x0,a2x,y=x(a-2x)=122x(a-2x)122x+(a-2x)22=a28,当且仅当x=a4时取等号,故函数y=x(a-2x)的最大值为a28.(2)y=1a-2x-x=1a-2x+a-2x2-a2212-a2=2-a2,当且仅当x=a-22时取等号.故y=1a-2x-x的最小值为2-a2.高考预测15.若a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.答案:(-,19,+)解析:ab=a+b+3,a+b=ab-3,(a+b)2=(ab-3)2,(a+b)24ab,(ab-3)24ab,即(ab)2-10ab+90,故ab1或ab9.因此ab的取值范围是(-,19,+).