1、山东省临沂市兰陵四中2015届高三上学期期中数学模拟试卷一、选择题：1（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件2（5分）在ABC中，“A=”是“sinA=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件3（5分）集合A=x|x2+x60，B=y|y=，0x4则ARB=（）A3，2B2，0）（0，3C3，0D3，0）4（5分）在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为，则BC的长为（）AB3CD75（5分）函数的大致图象为（）ABCD6（5分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出
2、四个命题：若=m，n，nm，则若m，m，则若m，n，mn，则若m，n，mn，则其中正确的命题是（）ABCD7（5分）已知函数，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A3B2C3D88（5分）有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为（）ABCD429（5分）已知log（x+y+4）log（3x+y2），若xy恒成立，则的取值范围是（）A（，10B（，10）C10，+）D（10，+）10（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），已知f（x+1）是偶函数，（x1）f（x）0若x1x2，且x1+x22，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）
3、Af（x1）f（x2）Bf（x1）=f（x2）Cf（x1）f（x2）D不确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）如图，在ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，=60，则=12（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若2，4，a3成等比数列，则S5=13（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB+bcosA=csinC，则角B=14（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，BC=2，则棱锥OABCD的体积为15（5分）不等式组，表示的平面区域为，直线y=kx+1与区域有公共点，则实数k的取值范围为三、解答题1
4、6（12分）已知函数（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（）在给出的坐标系中画出函数y=f（x）在0，上的图象，并说明y=f（x）的图象是由y=sin2x的图象怎样变换得到的17（12分）设等比数列an的前n项和为Sn，a4=a19，a5，a3，a4成等差数列（1）求数列an的通项公式，（2）证明：对任意kN+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列18（12分）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，点D为AC的中点，点E在线段AA1上（I）当AE：EA1=1：2时，求证DEBC1；（）是否存在点E，使三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，若存在，求AE的长，若不存在，
5、请说明理由19（13分）已知（1）求A的值；（II）设、0，f（3+）=，f（3）=，求cos（+）的值20（13分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%（I）设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式；（）设该生产线前n年维护费为Sn，求Sn21（13分）已知函数f（x）=（ax2+x+1）ex（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）当a=0时，是否存
6、在实数m使不等式mx+1x2+4x+1和2f（x）mx+1对任意x0，+）恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由山东省临沂市兰陵四中2015届高三上学期期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：1（5分）下列命题中，真命题是（）Ax0R，0BxR，2xx2Ca+b=0的充要条件是=1Da1，b1是ab1的充分条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误；解答：解：因为y=ex0，xR恒成立，所以A不正确；因为x=5时25（
7、5）2，所以xR，2xx2不成立a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确；a1，b1是ab1的充分条件，显然正确故选D点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用2（5分）在ABC中，“A=”是“sinA=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：综合题分析：观察两条件的互推性即可求解解答：解：A=”“sinA=A=”是“sinA=的充分条件，但sinA=时A有无数解，可以是 A=+2k或A=+2k kZ，sinA=不能推出A=，故选A
8、点评：本题考查充分必要条件是2015届高考的热点问题，值得一做3（5分）集合A=x|x2+x60，B=y|y=，0x4则ARB=（）A3，2B2，0）（0，3C3，0D3，0）考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：解一元二次不等式化简集合A，求幂函数的值域化简集合B，然后直接进行交集运算解答：解：由x2+x60，得3x2，所以A=x|x2+x60=x|3x2=3，2B=y|=0，2则RB=（，0）（2，+）所以ARB=3，0）故选D点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了二次不等式的解法及幂函数值域的求法，是基础的计算题4（5分）在ABC中，A=60，AB=2，且ABC的面积为
9、，则BC的长为（）AB3CD7考点：余弦定理 专题：解三角形分析：由ABC的面积SABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案解答：解：SABC=ABACsin60=2AC，AC=1，ABC中，由余弦定理可得BC=，故选A点评：本题考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出 AC，是解题的关键5（5分）函数的大致图象为（）ABCD考点：指数函数的图像变换 专题：函数的性质及应用分析：该题是指数型的复合函数，利用内层函数和外层函数的单调性得到复合函数的单调区间，由单调区间可以判出图象的大致形状解答：解：函数的定义域为R令t=|x+1|，则函数化为，内层函数t=|x+1|在（，1）上为
10、减函数，在（1，+）上为增函数，而函数为减函数，所以函数在（，1）上为增函数，在（1，+）上为减函数由此判断，函数的图象应是B的形状故选B点评：本题考查了指数函数图象的变换，考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则，是中档题6（5分）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：若=m，n，nm，则若m，m，则若m，n，mn，则若m，n，mn，则其中正确的命题是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：由面面垂直的判定定理，可判断的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；由面面垂直的判
11、定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断的真假解答：解：若=m，n，nm，如图，则与不一定垂直，故为假命题；若m，m，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故为真命题；若m，n，mn，则，故为真命题；若m，n，mn，如图，则与可能相交，故为假命题故选B点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键7（5分）已知函数，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A3B2C3D8考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：将，转化为y=（x+1+）5，再利用基
12、本不等式求解即可解答：解：x1，x+10，=（x+1）+525=1，当且仅当x=2时取等号 a=2，b=1，a+b=3故选C点评：本题考查基本不等式，凑“积为定值”是关键，属于中档题8（5分）有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为（）ABCD42考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图可知几何体是放倒的四棱柱，底面是平行四边形，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可解答：解：三视图可知几何体是放倒的四棱柱，底面是平行四边形，一边长为：2，长边在对边的射影的公共部分为2，长边上的高为，棱柱的高为3，所以底面平行四边形长边长为：2+=3
13、，所以几何体的表面积为：2（3+23+33）=故选C点评：本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力与计算能力9（5分）已知log（x+y+4）log（3x+y2），若xy恒成立，则的取值范围是（）A（，10B（，10）C10，+）D（10，+）考点：简单线性规划 分析：根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=xy的范围，再根据最值给出的最大值解答：解：由题意得，即画出不等式组表示的可行域如下图示：在可行域内平移直线z=xy，当直线经过3x+y2=0与x=3的交点A（3，7）时，目标函数z=xy有
14、极大值z=3+7=10z=xy的取值范围是（，10）若xy恒成立，则10，的取值范围是10，+）故选C点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解10（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f（x），已知f（x+1）是偶函数，（x1）f（x）0若x1x2，且x1+x22，则f（x1）与f（x2）的大小关系是（）Af（x1）f（x2）Bf（x1）=f（x2）Cf（x1）f（x2）D不确
15、定考点：不等关系与不等式；函数奇偶性的判断；导数的运算 专题：综合题；函数的性质及应用分析：由f（x+1）为偶函数可得f（x）图象关于x=1对称，由（x1）f（x）0，可得f（x）在（，1，1，+）上的单调性，分情况讨论：若x11，利用对称性把f（x1）变到区间1，+）上用单调性与f（x2）比较；若x11，则由1x1x2直接用单调性可进行大小比较解答：解：因为f（x+1）是偶函数，所以f（x+1）=f（x+1），则f（x）的图象关于x=1对称，由（x1）f（x）0得，x1时f（x）0，f（x）单调递减，x1时f（x）0，f（x）单调递增，若x11，由x1+x22，得x22x11，所以f（x1）
16、=f（2x1）f（x2）；若x11，则1x1x2，所以f（x1）f（x2），综上知f（x1）f（x2），故选C点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及导数与函数单调性的关系，考查学生灵活运用知识分析解决问题的能力，由所给条件分析出函数的对称性、单调性是解决问题的关键，数形结合是分析本题的有力工具二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）如图，在ABC中，O为BC中点，若AB=1，AC=3，=60，则=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据题意，利用向量的中点坐标公式表示出向量，求模长即可解答：解：如图所示，根据题意，O为BC中点，=（+），=（+2+）=（12
17、+213cos60+32）=；|=故答案为：点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题的关键是利用中点表示出向量，是基础题12（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，若2，4，a3成等比数列，则S5=40考点：等差数列的前n项和；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由2，4，a3成等比数列，利用等比数列的定义可得42=2a3，即可解出a3，由等差数列an的性质可得a1+a5=2a3，又即可得出解答：解：2，4，a3成等比数列，42=2a3，解得a3=8由等差数列an可得a1+a5=2a3=5a3=58=40故答案为40点评：熟练掌握等差数列的性质及其前n项和公式、等比数列的定义是
18、解题的关键13（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosB+bcosA=csinC，则角B=考点：余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理将acosB+bcosA=csinC化简整理，得sin（A+B）=sin2C，结合的诱导公式解出sinC=1，可得C=再由b2+c2a2=bc，结合余弦定理可得cosA=，从而得到A=，最后根据三角形内角和定理即可算出角B的大小解答：解：acosB+bcosA=csinC，根据正弦定理，得sinAcosB+cosAsinB=sinCsinC即sin（A+B）=sin2C而A+B=C，得sin（A+B）=sinCsinC=sin
19、2C，得sinC=1，可得C=，根据余弦定理，得cosA=A（0，），A=因此，角B=（A+C）=故答案为：点评：本题给出三角形的边角关系，求角B的大小，着重考查了三角函数的诱导公式、用正余弦定理解三角形和三角形内角和定理等知识，属于基础题14（5分）已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，BC=2，则棱锥OABCD的体积为考点：球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意，球心0在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点O1算出AC=2，结合球的截面圆性质算出OO1=，最后利用锥体体积公式即可算出棱锥OABCD的体积解答：解：球心0
20、在矩形所在平面内的射影为矩形对角线的交点O1AB=8，BC=2，对角线长AC=，由球的截面圆性质，得棱锥的高OO1=，棱锥OABCD的体积为V=SABCDOO1=故答案为：点评：本题给出圆的内接矩形ABCD，求棱锥OABCD的体积着重考查了球的截面圆性质和锥体体积公式等知识，属于中档题15（5分）不等式组，表示的平面区域为，直线y=kx+1与区域有公共点，则实数k的取值范围为1，+）考点：简单线性规划的应用 专题：不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组对应的平面区域，得到如图所示的ABC及其内部因为直线y=kx+1经过定点A（0，1），所以当直线y=kx+1与区域有公共点时，直线的位置应界于
21、AB、AC之间，由此算出直线AC的斜率并加以观察即可得到实数k的取值范围解答：解：作出不等式组，表示的平面区域，得到如图所示的ABC及其内部，即为区域其中A（0，1），B（0，3），C（1，2）直线y=kx+1经过定点A（0，1），当直线y=kx+1与区域有公共点时，它的位置应界于AB、AC之间（含边界）直线AC的斜率k=1，直线y=kx+1斜率的最小值为1，可得实数k的取值范围为1，+）故答案为：1，+）点评：本题给出平面区域与直线y=kx+1必定有公共点，求实数k的取值范围，着重考查了直线的斜率公式和简单线性规划等知识，属于基础题三、解答题16（12分）已知函数（I）求f（x）的最小正周期
22、和最大值；（）在给出的坐标系中画出函数y=f（x）在0，上的图象，并说明y=f（x）的图象是由y=sin2x的图象怎样变换得到的考点：两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+），由此可得它的最小正周期及最大值（）用五点法作出函数y=2sin（2x+）在一个周期上的图象解答：解：（I） 函数=2（cosxcossinxsin）（cosxcos+sinxsin）+sin2x =2（cos2xsin2x）+sin2x=cos2x
23、+sin2x=2sin（2x+）故f（x）的最小正周期为 =，最大值为2（）列表： x 0 2x+ 2 f（x） 2 02 0如图所示：把y=sin2x的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得函数f（x）的图象点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和最值，用五点法作出函数y=Asin（x+）在一个周期上的图象，属于中档题17（12分）设等比数列an的前n项和为Sn，a4=a19，a5，a3，a4成等差数列（1）求数列an的通项公式，（2）证明：对任意kN+，Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列考点：等比数列的前n项和；等差数列
24、的通项公式；等差关系的确定 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由题意可建立，解之可得，进而可得通项公式；（2）由（1）可求Sk，进而可得Sk+2，Sk+1，由等差中项的定义验证Sk+1+Sk+2=2Sk即可解答：解：（1）设等比数列an的公比为q，则，解得，故数列an的通项公式为：an=（2）n1，（2）由（1）可知an=（2）n1，故Sk=，所以Sk+1=，Sk+2=，Sk+1+Sk+2=，而2Sk=2=，故Sk+1+Sk+2=2Sk，即Sk+2，Sk，Sk+1成等差数列点评：本题考查等比数列的前n项和，以及等差关系的确定，属中档题18（12分）已知正三棱柱ABCA1B1C1中，AB=2，
25、点D为AC的中点，点E在线段AA1上（I）当AE：EA1=1：2时，求证DEBC1；（）是否存在点E，使三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，若存在，求AE的长，若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离分析：（I）证明BDDE，说明ADE是直角三角形，求出ADE=30，说明DCC1是直角三角形，求出C1DC=60，然后证明DEBC1（）设AE=h，利用=，通过求出棱锥的体积，利用三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，求出h，然后说明存在E即可解答：解：（）证明：因为正三棱柱ABCA1
26、B1C1，所以三角形ABC是正三角形，又因为D是AC的中点，所以BDAC，又平面ABC平面CAA1C1，所以BDDE，因为AE：EA1=1：2，AB=2，所以AE=，AD=1，所以在RtADE中，ADE=30，在RtDCC1中C1DC=60，所以EDC1=90即：DEBC1（）设AE=h，则A1E=，=，BD平面ACC1A1，又，解得：h=，故存在点E，E为A1时，三棱锥C1BDE的体积恰为三棱柱ABCA1B1C1体积的，点评：本题考查直线与直线的垂直的证明，棱锥的体积的求法，存在性问题的解题的策略，考查空间想象能力以及逻辑推理与计算能力19（13分）已知（1）求A的值；（II）设、0，f（3
27、+）=，f（3）=，求cos（+）的值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：三角函数的求值；平面向量及应用分析：（1）利用两个向量的数量积公式求得f（x）=2Asin（+）再由 f（）=，可得A的值（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（+），由f（3+）=，求得 cos 的值，再由 f（3）=，求得sin的值再由 、的范围利用同角三角函数的基本关系，求得 sin 和cos 的值，再根据cos（+）=coscossinsin，运算求得结果解答：解：（1）由题意可得f（x）=Asin+Acos=2Asin（+）再由 f（）=2Asin（+）=A=，可得A=
28、1（II）由（1）可得 f（x）=2Asin（+），f（3+）=2sin（+）=2cos=，可得 cos=又 f（3）=2sin（+）=2sin=，sin=再由 、0，可得 sin=，cos=，cos（+）=coscossinsin=点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题20（13分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%（I）设第n年该生产线的维护费用为an，求a
29、n的表达式；（）设该生产线前n年维护费为Sn，求Sn考点：数列与函数的综合；数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（I）根据题意可得当n7时，an组成以4为首项，2为公差的等差数列，当n7时，an组成以a7=16为首项，1+25%=为公差的等比数列，从而可求an（II）利用（I）的结论，结合等差（等比）数列的求和公式，由此即可求得该生产线前n年维护费解答：解：（I）由题意知，当n7时，an组成以4为首项，2为公差的等差数列，an=2n+2，当n7时，an组成以a7=16为首项，1+25%=为公比的等比数列，an=16，an=；（II）当n7时，Sn=4n+=n2+3n，当n7时，Sn=70
30、+16=8010该生产线前n年维护费为Sn=点评：本题考查数列的应用，考查分段函数，解题的关键是构建等差数列、等比数列模型，属于中档题21（13分）已知函数f（x）=（ax2+x+1）ex（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值，并讨论f（x）的单调性；（2）当a=0时，是否存在实数m使不等式mx+1x2+4x+1和2f（x）mx+1对任意x0，+）恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的几何意义求a，并利用函数的单调性和导数之
31、间的关系求函数的单调区间（2）利用导数和函数最值之间的关系求恒成立问题解答：解：（1）函数的导数为f（x）=（2ax+1）ex+（ax2+x+1）ex=ax2+（2a+1）x+2ex，因为曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，所以f（1）=（3a+3）e=0，解得a=1此时f（x）=（x2x+2）ex=（x+2）（x1）ex，由f（x）=（x+2）（x1）ex0，解得2x1，即函数的单调递增区间为（2，1）由f（x）=（x+2）（x1）ex0，解得x1或x2，即函数的单调递减区间为（，2）和（1，+）（2）当a=0时，f（x）=（x+1）ex假设存在实数m使不等式mx+1x2+4x+1和
32、2f（x）mx+1对任意x0，+）恒成立，由mx+1x2+4x+1，得x2+（m4）x0恒成立，所以判别式=（m4）20，解得m=4下面证明2（x+1）ex4x+1恒成立设g（x）=2（x+1）ex4x1，g（x）=（2x+4）ex4，因为g（0）=0当x0时，（2x+4）4，ex1，所以g（x）=（2x+4）ex40，所以g（x）在（0，+）上单调递增所以g（x）的最小值为g（0）=21=10，所以g（x）0即2（x+1）ex4x+1恒成立综上可知：存在实数m=4使不等式mx+1x2+4x+1和2f（x）mx+1对任意x0，+）恒成立，点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查学生的运算能力
