1、2.4幂函数与二次函数1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yyx1图象性质定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x)ax2bxc(a0)f (x)ax2bxc(a0且0.3函数y2x2是幂函数吗？提示不是题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”
2、或“”)(1)二次函数yax2bxc(a0)，xm，n的最值一定是.()(2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(4)二次函数yx2mx1在1，)上单调递增的充要条件是m2.()题组二教材改编2已知幂函数f (x)kx的图象过点，则k等于()A. B1 C. D2答案C解析由幂函数的定义，知k1，.k.3已知函数f (x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()A3，) B(，3C(，3) D(，3答案D解析函数f (x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a
3、，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.4函数f (x)x22x3在闭区间0,3上的最大值为_最小值为_答案62解析f (x)(x1)22,0x3，x1时，f (x)min2，x3时，f (x)max6.题组三易错自纠5幂函数f (x)(aZ)为偶函数，且f (x)在区间(0，)上是减函数，则a等于()A3 B4 C5 D6答案C解析因为a210a23(a5)22，f (x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)220)，若f (m)”“解析f (x)x2xa图象的对称轴为直线x，且f (1)0，f (0)0，而f
4、(m)0，m(0,1)，m10.7.二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b_0，ac_0，abc_0.答案解析a0，c0，b0，ac0.设yf (x)ax2bxc，则abcf (1)0. 幂函数的图象和性质1(2019武汉模拟)若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，)C(，) D(，0)答案D解析设f (x)x，则2，2，即f (x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故选D.2.幂函数(mZ)的图象如图所示，则实数m的值为()A3 B0C1 D2答案C解析函数在(0，)上单调递减，m22m30，解得1m32a0或32aa10或a10
5、32a，解得a1或a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而4ac；2ab1；abc0；5a4ac，正确；对称轴为直线x1，1，即2ab0，错误；f (1)0，abc0，错误；开口向下，a0，b2a，5a2ab，正确，故正确的结论是.命题点2二次函数的单调性例3(1)函数f (x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f (x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f (x)的对称轴为x，由f (x)在1，)上单调递减，知解得3a0.综上，a的
6、取值范围为3,0若函数f (x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f (x)必为二次函数且a0，又1，a3.(2)二次函数f (x)ax2bxc(xR)的最小值为f (1)，则f ()，f，f ()的大小关系是()Af ()ff ()Bff ()f ()Cf ()f ()fDf ()f ()|1|1|，f ()f ()0时，函数f (x)在区间1,2上是增函数，最大值为f (2)8a14，解得a；(3)当abc，且abc0，则函数f (x)的图象可能是()答案D解析由abc且abc0，得a0，c0，所以函数图象开口向上，排除A，C.又f (0)c0时，要使函数y
7、kx24x2在区间1,2上是增函数，只需1，解得k2，当k0时，0，此时抛物线的对称轴在区间1,2的左侧，则函数ykx24x2在区间1,2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，)(3)设函数f (x)x22x2，xt，t1，tR，求函数f (x)的最小值解f (x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x)在区间t，t1上为减函数，所以最小值为f (t1)t21；当t1t1，即0t1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x1处取得最小值，最小值为f (1)1；当t1时，函数图象如图(3)所示，函数f
8、(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值为f (t)t22t2.综上可知，当t0时，f(x)mint21，当0t1时，f(x)min1，当t1时，f(x)mint22t2.例(1)已知a是实数，函数f (x)2ax22x3在x1,1上恒小于零，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知2ax22x30在1,1上恒成立当x0时，30，符合题意，aR；当x0时，a2，因为(，11，)，所以当x1时，不等号右边式子取最小值，所以a1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则实数a的最大值为_答案2解析令axt，因为a1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，所以f (x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8成立，所以有a23a28，解得5a2，又a1，所以1f (2mmt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是_答案(，)解析由题意知f(x)在R上是增函数，结合f(4t)f(2mmt2)对任意实数t恒成立，知4t2mmt2对任意实数t恒成立，mt24t2m0对任意实数t恒成立m(，)素养提升逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯