1、双曲线综合必刷题（二）一、解答题 1已知椭圆 C：223412xy.（1）求椭圆 C 的离心率；（2）设,A B 分别为椭圆 C 的左右顶点,点 P 在椭圆 C 上,直线 AP,BP 分别与直线4x 相交于点 M,N.当点 P 运动时,以 M,N 为直径的圆是否经过 x 轴上的定点？试证明你的结论.2在椭圆C：222210 xyabab中，点 A，F 分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率12e，且 A 在直线20 xy上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 F 的直线与椭圆C 交于 P，Q 两点，连接 AP，AQ 分别交直线4x 于点 M，N，求证：以 MN 为直径的圆经过定点 F.3已知
2、抛物线2:20C ypx p的焦点为 F，点,4P ttp是抛物线C 上一点，且满足5PF .（1）求 p、t 的值；（2）设 A、B 是抛物线C 上不与 P 重合的两个动点，记直线 PA、PB 与C 的准线的交点分别为 M、N，若 MFNF，问直线 AB 是否过定点？若是，则求出该定点坐标，否则请说明理由.4已知椭圆2222:10 xyCabab上任一点 P 到 2,0A，2,0B的距离之和为4.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点 2,0S，设直线l 不经过S 点,l 与C 交于 M，N 两点，若直线 SM 的斜率与直线 SN 的斜率之和为 12，判断直线l 是否过定点？若是，求出该定
3、点的坐标；若不是，请说明理由.5设抛物线22(0)ypx p：，00(,)D xy满足2002ypx，过点 D 作抛物线 的切线，切点分别为1122(,),(,)A x yB xy.（1）求证：直线11()yyp xx与抛物线 相切；（2）若点 A 坐标为(4,4)，点 D 在抛物线 的准线上，求点 B 的坐标；（3）设点 D 在直线0 xp上运动，直线 AB 是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；6已知抛物线C：22ypx(0)p 的焦点为 F，直线4y 与 y 轴的交点为 P，与抛物线C 的交点为Q，且54QFPQ（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上一点(
4、,4)N m作两条互相垂直的弦 NA和 NB，试问直线 AB 是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由7已知椭圆222:10 xCyaa，焦距为2 2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若一直线:l ykxm与椭圆C 相交于 A、B 两点（A、B 不是椭圆的顶点），以 AB为直径的圆过椭圆C 的上顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标8已知圆22:(2)1Mxy，圆22:(2)49Nxy，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.（1）求曲线 C 的方程；（2）设不经过点(0,2 3)Q的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 QA 与直线
5、QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线 l 过定点.9如图,已知椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点为(0,1)A,离心率为32.(1)求椭圆C 的方程;(2)若过点 A 作圆222:(1)(01)Mxyrr的两条切线分别与椭圆C 相交于点,B D(不同于点 A).当 r 变化时,试问直线 BD 是否过某个定点？若是,求出该定点;若不是,请说明理由.10已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为33，其右焦点 F 到直线30 xy的距离为2 2.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过 F 作两条互相垂直的直线 12,l l，,A B 是 1l 与椭圆C 的两个交点，,C D
6、是 2l 与椭圆C 的两个交点，,M N 分别是线段,AB CD 的中点，试判断直线 MN 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由.11已知椭圆 C：22221xyab（ab0）的离心率为22，点 P（0，1）和点 A（m，n）（m0）都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M(1)求椭圆 C 的方程，并求点 M 的坐标（用 m，n 表示）；(2)设 O 为原点，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，直线 PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在点 Q，使得OQM=ONQ？若存在，求点 Q 的坐标，若不存在，说明理由12已知椭圆 C：222210,0 xyab
7、ab的离心率为 12，且62,2P是 C 上一点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过右焦点2F 作直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在点 M，使 MA MB为定值？若存在，求出点 M 的坐标及该定值；若不存在，试说明理由13已知椭圆2222:1(1)xyCabab的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆 C 的短轴长为2 3.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）是否存在过点(0,2)P的直线 l与椭圆 C相交于不同的两点 M，N，且满足2OM ON（O 为坐标原点）若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.14已知椭圆 C：22221xyab 0ab
8、的左、右焦点分别为12,F F，离心率为 12，P 为椭圆 C 上的一个动点.当 P 是 C 的上顶点时，12F PF 的面积为 3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设斜率存在的直线2PF 与 C 的另一个交点为 Q，是否存在点,0T t，使得 TPTQ?若存在，求出 t 的取值范围；若不存在，请说明理由.15已知椭 E：22221xyab(0)ab的右顶点为 A，右焦点为 F，上下顶点分别为 B，C，7AB，直线 CF 交线段 AB 于点 D，且2BDDA.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)是否存在直线 l，使得 l 交 E 于 M，N 两点.且 F 恰是 BMN 的垂心？若存在，求出
9、 l的方程；若不存在，请说明理由.16已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab过点(2 2,1)A，焦距为2 5，(0,)Bb(1)求双曲线 C 的方程；(2)是否存在过点3,02D 的直线l 与双曲线 C 交于 M，N 两点，使 BMN 构成以MBN为顶角的等腰三角形？若存在，求出所有直线 l 的方程；若不存在，请说明理由17已知椭圆2222:1(0)xyCabab的右焦点 F 与抛物线24yx的焦点重合，且椭圆的离心率为33.(1)求椭圆C 的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于 M，N 两点，8MN ,求直线方程；(3)椭圆C 上是否存在关于直线1:5l xy对称的两点 A
10、、B，若存在，求出直线 AB 的方程；若不存在，请说明理由.18已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率63e，且经过点 0,1A(1)求椭圆C 的方程；(2)过点 0,2P的直线l 与椭圆交于,C D 两点是否存在直线l 使得以CD为直径的圆过点 1,0E？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由19已知椭圆 E：22221,0 xyabab的短轴长为 2，离心率为32，左顶点为 A（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若不与 x 轴平行的直线l 交椭圆 E 于,P Q 两点，试问：在 x 轴上是否存在定点 M，当直线l 过点 M 时，恒有 APAQ，若存在，求出点 M 的坐标；若
11、不存在，请说明理由20已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay 的上、下焦点分别为12FF、，离心率为22，点G是椭圆上一点，12GF F的周长为4 32 6（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,6)R的动直线l 交C 于,M N 两点，y 轴上是否存在定点S，使得RSMRSN总成立？若存在，求出定点S；若不存在，请说明理由21已知1F，2F 分别为椭圆2222:1xyC ab0ab（）的左、右焦点，椭圆上任意一点 P到焦点距离的最小值与最大值之比为 13，过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点 A、B 与右焦点2F 所围
12、成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由22已知椭圆 C2222:1(0)xyabab的左，右焦点分别为1F，2F，离心率为32，M为 C 上一点，12MF F面积的最大值为3 3.（1）求 C 的标准方程；（2）设动直线 l 过2F 且与 C 交于 A，B 两点，过1F 作直线 l 的平行线l，交 C 于 R，N两点，记2RF A的面积为1S，2NF B 的面积为2S，试问：12SS是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由.23已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的长半轴长为 2，且经过点31,2M；过点(2,1)P的直线 l 与
13、椭圆 C 相交于不同的两点 A，B(1)求椭圆 C 的方程；(2)是否存在直线 l，满足2PA PBPM，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由24已知椭圆2222:1(0)xyabab的左、右焦点分别为12,F F，椭圆 的离心率为22，椭圆 上的一点 P 满足2PFx轴，且21PF (1)求椭圆 的标准方程；(2)已知点 A 为椭圆 的左顶点，若点,B C 为椭圆 上异于点 A 的动点，设直线,AB AC 的斜率分别为ABACkk，且1ABACkk，过原点O作直线 BC 的垂线，垂足为点 D，问：是否存在定点 E，使得线段 DE 的长为定值？若存在，求出定点 E 的坐标及线段
14、DE 的长；若不存在，请说明理由25已知点(1,0)P，点Q 是圆221:(1)16Oxy上的动点，线段 PQ 的垂直平分线与1QO相交于点C，点C 的轨迹为曲线 E.（1）求 E 的方程；（2）,A B 为曲线 E 上不同两点，O为坐标原点，线段 AB 的中点为 M，当 AOB面积取最大值时，是否存在两定点,G H，使 GMHM为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.26设直线 MN 与双曲线22:(0)3yC xm m交于 M，N 两个不同的点，F 为右焦点.(1)求双曲线 C 的渐近线方程及两条渐近线所夹的锐角；(2)当1m 时，设直线1:2l xky与 C 交于 M，N，三
15、角形 FMN 面积为 S，判断：是否存在 k 使得9 38S 成立？若存在求出 k 的值，否则说明理由.1（1）12（2）以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的定点1,0 和7,0,证明见解析【详解】解：（1）由223412xy得22143xy,那么224,3ab所以2221cab解得2a,1c 所以离心率12cea（2）由题可知(2,0),(2,0)AB,设 00,P x y,则2200:3412Cxy直线 AP 的方程：00(2)2yyxx令4x,得0062Myyx,从而 M 点坐标为0064,2yx直线 BP 的方程：00(2)2yyxx令4x,得0022Nyyx,从而 N 点坐标为002
16、4,2yx设以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的定点1,0Q x,则 MQNQ由0MQ NQ得220100124022yxxx由式得222000123699 4yxx,代入得2149x 解得11x 或17x 所以 MN 为直径的圆经过 x 轴上的定点1,0 和7,0.2（1）22143xy（2）证明见解析【详解】（1）椭圆C 的左顶点 A 在直线20 xy上且 A 位于 x 轴上，2,0A，2a.12cea，1c ，2223bac，椭圆C 的方程为：22143xy.（2）由（1）知：1,0F，设 11,P x y，22,Q x y，PQ过点 F，可设 PQ 的直线方程为：1xmy，联立方程22
17、1143xmyxy得：2234690mymy，122634myym，122934yym.设直线 AP 的方程为1122yyxx，1164,2yMx，即1164,3yMmy，同理可得：2264,3yNmy，1163,3yFMmy，2263,3yFNmy，从而121236933y yFM FNmymy122121236939y ym y ym yy222293634999096393434mmmmmm.FMFN，即点 F 在以 MN 为直径的圆上.3（1）4t，2p；（2）过定点，且定点的坐标为1,0.【详解】（1）由题意得抛物线的准线方程2px ，则52pPFt，由题意得242520ptpttp
18、，解得42tp；（2）由（1）得抛物线的焦点1,0F，4,4P，显然直线 AB 的斜率不为零，设直线 AB 方程为 xmyb，11,A x y、22,B x y，联立24xmybyx，消去 x 得2440ymyb，由韦达定理得124yym，124y yb.直线 PA 的斜率1121114444444PAyykyxy，故直线 PA 的方程为14444yxy，令1x ，得1114154 144Myyyy，故 M 的坐标为11411,4yy，同理 N 的坐标为22411,4yy，2,MFMy，2,NFNy，MFNF，0FM FN，所以，12121212121212121216116112044440
19、44416416MNy yyyyyy yy yyyy yyyy yyy，12441y ybb ，所以，直线 AB 的方程为1xmy，过定点1,0.4（1）22142xy；（2）定点2,4，证明见解析【详解】(1)由椭圆定义知,2c,2a,所以2222bac,所以椭圆C 的标准方程为22142xy;(2)直线 l 恒过定点(2,4),理由如下:若直线l 斜率不存在,则0SMSNkk,不合题意.故可设直线l 方程:1122,ykxm M x yN x y,联立方程组22142ykxmxy,代入消元并整理得:222214240kxkmxm,则122421kmxxk,21222421mx xk.121
20、222SMSNyykkxx,将直线方程代入,整理得:122112221222kxmxkxmxxx,即121212122241242kx xmkxxmx xxx,韦达定理代入上式化简得:22 2122kmkm,因为l 不过S 点,所以20km,所以240km,即24mk ,所以直线l 方程为24ykxk,即42yk x,所以直线l 过定点2,4.5（1）证明见详解；（2）1,14（3）是，,0p【详解】（1）联立直线11()yyp xx与抛物线方程22ypx，消去 x可得211102 yy ypx故2112ypx，因为点 11,A x y在抛物线上，故21120ypx则直线11()yyp xx与
21、抛物线22ypx只有一个交点又因为0p，故该直线不与 x 轴平行，即证直线11()yyp xx与抛物线相切.（2）因为点 4,4A在抛物线22ypx上，故可得1624p，解得2p 由（1）可知过点 A 的切线方程为11yyp xx，即240 xy又抛物线的准线方程为1x ，故令1x ，解得32y，即点 D 的坐标为31,?2.因为过点 22,B x y的切线方程为222yyxx，其过点31,?2D故可得223212 yx，又因为点 22,B x y满足抛物线方程，故可得2224yx，联立方程组可得222340yy解得221,4yy（舍去，与 A 点重合），214x，故点 B 的坐标为 1,14
22、.（3）由（1）得过 A 点的切线方程为11y yp xx令 xp，可解得211ppxyy过 B 点的切线方程为22y yp xx令 xp，可解的222ppxyy因为两直线交于点 D，故可得221212ppxppxyy整理得211212x yx yp yy当过,A B 两点的直线斜率存在，则设其方程为：211121yyyyxxxx整理得2121122121yyx yx yyxxxxx，将代入可得故直线方程为122121212121p yyyyyyyxxpxxxxxx故该直线恒过定点,0p;当过,A B 两点的直线斜率不存在时，1212,xxyy，代入可得12xxp过此时直线1:AB xxp，也
23、经过点,0p综上所述，直线恒过定点,0p，即证.6（1）24yx（2）直线 AB 恒过定点(8,4)【详解】解：（1）设0(,4)Q x，代入22ypx得：08xp，即0822ppQFxp由54QFPQ得：85824ppp，解得：2p 或2p （舍去）故抛物线 C 的方程为：24yx.（2）由题可得(4,4)N，直线 AB 的斜率不为 0设直线 AB：xmyt，11(,)A x y，22(,)B xy联立24xmytyx，得：2440ymyt，216160mt，124yym，124y yt=-由 NANB，则0NA NB，即1212(4)(4)(4)(4)0 xxyy.于是1 21212124
24、()164()160 x xxxy yyy2212121212()()34()32016y yyyy yyy22161216320tmtm，所以22(6)4(21)tm44tm 或48tm当44tm 时，216(2)0m 直线 AB：(4)4xm y，恒过定点(4,4)，不合题意，舍去.当44tm，216(2)40m，直线 AB：(4)8xm y，恒过定点(8,4)综上可知，直线 AB 恒过定点(8,4)【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，有22 2c，1c，所以，椭圆的焦点在 x 轴上，得2c，有212a ，得3a，故椭圆C 的标准方程为2213xy；（2）由方程组2213ykxmxy，得
25、2213xkxm，即22212103kxkmxm 22222211144140333k mkmkm，即22310km 设 A、B 两点的坐标分别为11,xy、22,xy，则12261 3kmxxk ，2122311 3mx xk，12122221 3myyk xxmk，2212121 212y ykxmkxmk x xkm xxm22222222223163131313kmk mmkmkkk以 AB 为直径的圆过椭圆的上顶点 0,1Q，AQBQ，即0QA QB，即1122121221111QA QBxx xyyxy yyy222222223132422101 31 31 31 3mmkmmmk
26、kkk，化简得2210mm，1m 或12m 当1m 时，直线:1l ykx 过定点 0,1Q，与已知矛盾当12m 时，满足22310km，此时直线l 为12ykx过定点10,2.直线l 过定点10,2 8（1）2211612xy；（2）证明见解析.【详解】（1）设动圆 P 的半径为 r，因为动圆 P 与圆 M 外切，所以|1PMr，因为动圆 P 与圆 N 内切，所以|7PNr，则|(1)(7)8|4PMPNrrMN，由椭圆定义可知，曲线 C 是以(2,0)M、(2,0)N为左、右焦点，长轴长为 8 的椭圆，设椭圆方程为22221xyab(0)ab，则4a，2c，故22212bac，所以曲线 C
27、 的方程为2211612xy.（2）当直线 l 斜率存在时，设直线:l ykxm，2 3m ，联立2211612ykxmxy，得2223484480kxkmxm，设点 11,A x y22,B x y，则122212283444834kmxxkmx xk，12122 32 3QQAByykkxx212121122 32 3xkxmxx kxmxx x1212122(2 3)2kx xmxxx x ，所以1212(22)(2 3)0kx xmxx，即2224488(22)(2 3)03434mkmkmkk，得2122 3120mkmk.则(2 3)(2 3)2 3(2 3)0mmk m，因为2
28、3m，所以2 32 30mk.即2 32 3mk，直线:2 32 3l ykxk(2 3)2 3k x，所以直线 l 过定点2 3,2 3.当直线 l 斜率不存在时，设直线:(0)l xt t，且 44t ，则点23,12,4A tt23,124B tt2233122 3122 344QAQBttkktt4 3t 2 ，解得2 3t，所以直线:2 3l x 也过定点2 3,2 3.综上所述，直线 l 过定点2 3,2 3.9(1)2214xy (2)过定点50,3【详解】(1)椭圆2222:1(0)xyCabab的上顶点为(0,1)A,离心率为32 可得222132bcaabc解得2,1ab椭
29、圆C 的方程为2214xy.(2)设切线方程为1ykx,则2|1|1krk即2221210rkkr 设两切线,AB AD 的斜率分别为1212,k kkk,则12,k k 是上述方程的两根,根据韦达定理可得:121k k由22114ykxxy消掉 y 得:221480kxkx设 1122,B x yD xy21111221181 4,1 41 4kkxykk 同理可得2221212222222121881 44,1 441 44kkkkxykkkk 2211222111111221141 44141883414BDkkkkkkkkkkk 直线 BD 方程为22111221111 4181 43
30、1 4kkkyxkkk 令0 x,得222111122211111 41852051431433 14kkkkykkkk ,故直线 BD 过定点50,3.10（1）22132xy；（2）直线 MN 过定点 3,05【详解】解：（1）由题意得32 2233cca，32ab，椭圆C 的方程为22132xy；（2）由（1）得10F，设直线 1l 的方程为1xmy，点,A B 的坐标分别为 1122,x yx y，当0m 时，由221132xmyxy，得2232440mymy，122122432432myymyym ，2232,3232mMmm同理，由2211132xymxy ，可得22232,32
31、32mmNmm222222225323233313232MNmmmmmkmmmm直线 MN 的方程为253531myxm，过定点 3,05；当0m 时，则直线 1l 的方程为11,00,0 xMN,，直线 MN 过定点 3,05综上，直线 MN 过定点 3,05.11(1)2212xy；,01mMn(2)存在；(0,2)Q或(0,2)Q(1)解：由题意得出222122bcaabc解得：2a，1b ，1c 2212xy，(0,1)P和点(,)A m n，11n PA的方程为：11nyxm，0y 时，1Mmxn(1mMn，0)(2)点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点(A m，)(0)n m 点
32、(B m，)(0)n m直线 PB 交 x 轴于点 N，(1mNn，0)，存在点Q，使得OQMONQ，(0,)QQy，tantanONQOQM，QMNQyxxy，即2QMNyxx，2212mn，22221Qmyn，2Qy，故 y 轴上存在点Q，使得OQMONQ，(0,2)Q或(0,2)Q12(1)22143xy(2)存在；11,08M，该定值为13564(1)解：由题意知2222212322213caaabbabc，椭圆 C 的方程为22143xy(2)解：设直线 AB 的方程为1xmy，11,A x y，22,B x y，2222213214123412xmym ymyyxy，即223469
33、0mymy，所以212122693434yyymmym假设存在这样的,0M t符合题意，则11,MAxt y，22,MBxt y1212121211MA MBxtxty ymytmyty y 221212111my ymtyyt2222961113434mmmttmm222222 222996636348434mmmmm tm tttm 222231248534tmttm，要使其为定值，则2231248534ttt，解得118t 存在11,08M 符合题意，该定值为1356413（1）22143xy；（2）存在，222yx.【详解】（1）由题意得：22222 32bacabc，解得23ab 椭
34、圆C 的标准方程是22143xy（2）当直线l 的斜率不存在时，(0,3)M，(0,3)N3OM ON ，不符合题意当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2ykx，11,M x y，22,N xy由221432xyykx消 y 整理得：22341640kxkx22(16)16 340kk，解得12k 或12k 1221634kxxk，122434x xk212121212124OM ONx xy ykx xk xx2222224 13216124343434kkkkkk2OM ON2216 12234kk解得22k ，满足0 所以存在符合题意的直线，其方程为222yx.14(1)22143
35、xy；(2)存在点,0T t，使得 TPTQ，且104t.(1)根据题意，由离心率为 12，得12ca，由当 P 是 C 的上顶点时，12F PF 的面积为 3，得 1 232c bbc，联立222123cabcabc，解得231abc ，故椭圆 C 的标准方程为22143xy.(2)根据题意，知2 1,0F，设直线2PF：1yk x，联立221431xyyk x，得22224384120kxk xk，设 11,P x y，22,Q x y，则2122843kxxk，121226243kyyk xxkk，设 M 为 PQ的中点，则22243,43 43kkMkk.当0k 时，若 TPTQ，易得
36、0t；当0k 时，若 TPTQ，则TMPQ，得1TMkk，因为2222230343444343TMkkkkkktktk，所以2231443kkktk，即22213434ktkk，由2344k，得104t.综上所述，104t.故存在点,0T t，使得 TPTQ，且104t.15(1)22143xy(2)316 3321yx(1)解：设椭圆 E 的右焦点(c,0)F，则直线 AB 的方程：1xyab，直线CF 的方程：1xycb，联立11xyabxycb解得2()acxacb acyac，则2()(,)acb acD acac，由|2|BDDA，则2BDDA，则2(acac，2()2(bca ac
37、acac，()b acac，则2ac，由22|7ABab，222abc，解得：1c ，2a，3b，椭圆 E 的标准方程为22143xy(2)解：假设存在满足条件的直线 MN，由垂心的性质可得 BFMN，又3BFk 从而得到直线l 的斜率33k，设l 的方程为33yxm，1(M x，1)y，2(N x，2)y，联立2233143yxmxy，整理得：22138 312(3)0 xmxm，由22(8 3)4 13 12(3)0mm ，解得：393933m，128 313mxx，21212(3)13mx x由 MFBN，则0MF BN，即1212(1)(3)0 x xy y，整理得12112230y
38、yyx xx，将1133yxm，2233yxm，代入化简得2121243(3)()3033x xmxxmm，222168(3)(3)301313mmmmm，22216(3)8(3)13(3)0mmmmm，提取公因式(3)m，可得16(3)813(3)0mmm m，即(2116 3)(3)0mm，由(0,3)B，则3m，解得16 321m ，满足393933m，m的值为 16 321，直线l 的方程316 3321yx16(1)2214xy.(2)存在，直线l 为0y 或 21630 xy.(1)由题设，5c，又(2 2,1)A在双曲线上，22225811abab，可得2241ab，双曲线 C
39、的方程为2214xy.(2)由（1）知：(0,1)B，直线l 的斜率一定存在，当直线斜率为 0 时，直线l：0y，符合题意；设直线l 为3()2yk x，1122(,),(,)M xyN xy，联立双曲线方程可得：2222(1 4)12(94)0kxk xk，由题设21 400k ，2122121 4kxxk，2122941 4kx xk ，则121223(3)1 4kyyk xxk.要使 BMN 构成以MBN为顶角的等腰三角形，则|BMBN，MN 的中点坐标为22263(,)1 42(1 4)kkkk，222223118322(1 4)6121 4kkkkkkkk，可得18k 或2k ，当2
40、k 时，不合题意，所以18k，直线 l：21630 xy，存在直线l 为0y 或 21630 xy，使 BMN 构成以MBN为顶角的等腰三角形.17(1)22132xy(2)1yx 或1yx (3)存在，1yx(1)抛物线24yx的焦点坐标为1,0，所以椭圆中1c ，因为椭圆的离心率为33，即133ceaa，所以3a，2223 12bac，所以椭圆方程为22132xy(2)设过抛物线焦点的直线方程为1yk x，联立241yxyk x得：2222240k xkxk，设1122,M x yN x y，则212224kxxk，根据焦点弦公式可得：21222428kMNxxpk，解得：21k ，1k
41、，所以直线方程为1yx 或1yx (3)因为 A、B 两点关于直线1:5l xy对称，所以可设直线 AB 的方程为yxt，联立22132yxtyx得：2256360 xtxt，令223620 360tt 得：55t，设1122,A x yB x y，则1265txx，1212642255ttyyxxtt，所以 AB 中点坐标为32,55tt，由已知条件可得，中点在直线1:5l xy上，代入得：321,1555ttt ，15,5 ，所以存在两点 A、B，且 AB 所在的直线方程为1yx18(1)2213xy；(2)存在，l 方程为0 x 或726yx.(1)由题意得：222631ceababc
42、，解得：312abc ，椭圆C 的方程为2213xy；(2)当l 斜率不存在时，即:0l x 时，,C D 为椭圆短轴两端点，则以CD为直径的圆为221xy，恒过点 1,0E，满足题意；当l 斜率存在时，设:2l ykx，11,C x y，22,D xy，由22213ykxxy得：221 31290kxkx，212 330k，解得：21k ；122121 3kxxk ，12291 3x xk，若以CD为直径的圆过点 1,0E，则 ECED，即0EC ED，又111,ECxy，221,EDxy，12121212111122EC EDxxy yxxkxkx212121215kx xkxx22229
43、92412501 31 3kkkkk，解得：76k，满足21k ，即0，7:26l yx；综上所述：存在直线l 使得以CD为直径的圆过点 1,0E，l 方程为0 x 或726yx.19（1）2214xy；（2）存在；6,05M【详解】（1）由题得22,1bb ，又由222222231,2ccabbeaaaa得2a，所以椭圆方程为2214xy（2）方法一：假设存在 x 轴上的点,0M t满足题意，则2,2t ，由（1）2,0A 当l 斜率不存在时，易得22,1,1,44ttP tQ t由 APAQ得，,0APAQAP AQ，即222,12,1044tttt 解得65t 或2t （舍去），即点 M
44、 的坐标为6,05 当l 斜率存在时，由无妨设直线11226:,5l xmyP x yQ xy由22226126454052514xmymymyxy，1212221264,.54254myyy ymm 112212121212662,2,(2)22255AP AQxyxyxxy ymymyy y222212121226448164644160525254mmmm y ym yyy ymAPAQ，即 APAQ综上，在 x 轴上存在定点6,05M，当直线l 过点 M 时，恒有 APAQ（2）解法二：假设存在点,0M t满足条件，由题可设直线:.l xmyt设 1122,P x yQ xy由2222
45、2+424014xmy tmymtytxy，212122224,.44mttyyy ymm 1122121212122,2,(2)222AP AQxyxyxxy ymytmyty y 22121212220m y ytm yyty y即：222222242224404mtm t ttmtm化简得：2516120tt，解得65t 或2t （舍去）所以在 x 轴上存在定点6,05M，当直线l 过点 M 时，恒有 APAQ20（1）221126yx；（2）(0,2)S.【详解】（1）由题意，椭圆2222:1yxC ab 的离心率为22，可得22ca，即2ac，又由点G 是椭圆上一点，12GF F的周
46、长为4 32 6，可得4 36222ac，即3246222cc，解得6c，所以2 3a，2226bac，所以椭圆的标准方程为221126yx.（2）设1122(,),(,)M x yN xy，且(0,6)R，假设存在这样的点(0,)St，使得RSMRSN，当直线l 的斜率存在时，设:6l ykx，联立方程组2261126ykxyx，整理得22(2)12240kxkx，可得2221212221224,14496(2)48(4)022kxxx xkkkkk，因为RSMRSN，可得0MSNSkk，即12120ytytxx，整理得21122122()()(6)(6)xytx ytx kxtx kxt
47、12122222412122(6)()2(6)(2)0222kkx xtxxktttkkk，因为0k，所以2t，即点(0,2)S；当斜率不存在是，此时直线l 的方程为0 x，直线l 过点(0,2)S.综上可得，在 y 轴上存在定点(0,2)S，使得RSMRSN总成立.21（1）22143xy；（2）存在，916.【详解】（1）由题意，椭圆上任意一点 P 到焦点距离的最小值与最大值之比为 13，可得 1:3acac，即2ac，又由过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3，可得22222()3bacaa，联立方程组，可得：2a，1c ，所以2223bac，故椭圆C 的标准方程为22143xy.（2
48、）设2ABF 的内切圆半径为 r，可得2221|2ABFSAFABBFr，又因为22|8AFABBF，所以24ABFSr，要使2ABF 的内切圆面积最大，只需2ABFS的值最大，由题意直线l 斜率不为 0，设 11,A x y，22,B x y，直线:1l xmy，联立方程组221431xyxmy，整理得2234690mymy，易得0，且122634myym，122934yym，所以222212121212222213636121423431134ABFmmSF Fyyyyyymmm，设211tm ，则2212121313ABFtSttt，设13(1)yttt，可得2130yt，所以当1t ，
49、即0m 时，2ABFS的最大值为3，此时34r，所以2ABF 的内切圆面积最大为 916.22（1）221123xy；（2）存在，最大值为 6.【详解】解：（1）设椭圆 C 的半焦距为 c，由题知12MF F面积取得最大值时，为 M 为上下顶点时取得，故1 2max1 22MF FSb cbc 则2223 332bccaabc，解得2 33,3,abc 所以椭圆方程221123xy.（2）当直线 l 斜率存在时，设直线:3l yk x，11(,)A x y，22(,)B xy，将3ykxk代入221123xy，得22221 4243612(0)kxk xk，2481()0k 恒成立，所以212
50、22414kxxk，2122361214kx xk，由/ll，则21 2RF AF F ASS，21 2NF BF F BSS，则1 21 2121212121|3|2F F AF F BSSSSF Fyykxx，222248(1)|(1)3|12 31 41 4kkkkkk221112 314kk，令211tk，则1t ，所以12212 312 3()632 3ttSStt，当且仅当23t 时取到等号，即2113k，22k 时，12SS取最大值为 6.当直线 l 的斜率不存在时，不妨设3(3,)2A，3(3,)2B，3(3,)2R，3(3,)2N 123 36SS.综上，当22k 时，12S
51、S的最大值为 6.23(1)22143xy(2)存在直线 l 满足条件，其方程为12yx(1)（1）中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆 C 的长半轴长为 2，且经过点31,2M，设椭圆 C 的方程为22221(0)xyabab，由题意得2221914aab，解得23b ，椭圆 C 的方程为22143xy(2)过点(2,1)P的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A，B，若存在直线 l 满足题意，则直线 l 的斜率必存在，设直线 l 的方程为：(2)1yk x，由22143(2)1xyyk x，得222348(21)161680kxkkxkk，直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B，
52、设 A、B 两点的坐标分别为 1122,x yx y，222 8(21)4 34161680kkkkk，整理，得32(63)0k，解得12k ，又21212228(21)16168,3434kkkkxxx xkk，2PA PBPM，即 1212522114xxyy，22125221|4xxkPM，2121252414x xxxk，222222161688(21)4452413434344kkkkkkkkk，解得12k ，12k ，12k，存在直线 l 满足条件，其方程为12yx24(1)22142xy.(2)存在，3,0E，线段 DE 的长为3.(1)解：由椭圆 上的一点 P 满足2PFx轴，
53、且21PF ，可得21ba ，即2ba，又由椭圆 的离心率为22，可得22ca，即2ac，因为222acb，联立方程组，可得2,2ab，所以椭圆 的标准方程为22142xy.(2)解：由椭圆22:142xy，可得(2,0)A，设直线 BC 的方程为(2)ymxn nm，则1122(,),(,)B x mxn C x mxn，联立方程组22142ymxnxy，整理得222(21)4240mxmnxn，则2221212224248(42)0,2121mnnmnxxx xmm ，由1ABACkk，可得1212()()1(2)(2)mxn mxnxx，即221 212(1)(2)()40mx xmnx
54、xn，可得2222(1)(24)(2)(4)(4)(21)0mnmnmnnm，整理得221280mmnn，所以(6)(2)0mnmn，所以6nm或2nm（舍去），所以直线 BC 的方程为6ymxm，即(6)ym x，当6x 时，0y，可得直线 BC 过定点6,0F，因为ODBC，所以点 D 在以OF 为直径的圆上，所以当点 E 为线段OF 的中点时，线段 DE 的长为定值，此时线段 DE 的长为3，点3,0E.25（1）22143xy；（2）存在，定值为2 2.【详解】（1）C 在线段 PQ的垂直平分线上，CPCQ，又C 在1QO 上，1114OQOCCQOCCP，则C 的轨迹是以1,O P
55、为焦点的椭圆，24a，即2a，1c ，2223bac，故 E 的方程为22143xy；（2）当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 直线的方程为 ykxm，联立直线 AB 和椭圆C 的方程消去 y 得，2234120 xxm，化简得2223484120kxkmxm，1228,34kmxxk2122412,34mx xk222121122221118412442223434AOBkmmSmxxmxxx xmkk 222222222243 3493123434mmk mmkmkkk242222222 3342 3343434mmmkmkkk，当221342mk时，S 取得最大值3，此时22234mk
56、，又121226234myyk xxmk，则1212,22xxyyM，2243,3434kmmMkk，令22423433342kmkxkmmykm ，则221322xy，因此平面内存在两点22(,0),(,0)22GH，使得2 2GMHM.当直线 AB 的斜率不存在时，设 2cos,3sinA，则 2cos,3sinB，2 3sin cos3sin2AOBS，即当4 取得最大值3.此时 AB 中点 M 的坐标为(2,0)，满足方程221322xy，即2 2GMHM.26(1)双曲线的渐近线方程为3yx，它们所夹的锐角为 3(2)存在，1k 或219k (1)由题意，令22033yxyx，所以双曲线的渐近线方程为3yx，易得它们所夹的锐角为 3.(2)右焦点 F 的坐标为1(2,0),02P，设1122,M x yN x y，联立221,21,3xkyyx 得22931304kyky，222310,(3)9 310,kkk 化简得12k 或12k 且33k ，所以12122239,1 34 1 3kyyy ykk，又3|2PF，所以三角形 FMN 面积22212121222|4|3 3 419 41224314 31PFyyy yPFyykkSkk，即229 419 3184 31kkk 或219k ，满足题意，所以存在1k 或219k 使得9 38S 成立.