1、圆锥曲线解答题中的面积求法类型一 三角形面积通法：S=12AB，其中AB是直线AB与圆锥曲线交点的距离，也是三角形的底，是顶点到直线AB的距离，这种方法所有关于圆锥曲线中三角形问题都能解决，缺点是个别题目计算量大例1（2021秋深州市校级期末改编）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率e，且过点（2，）；（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点当直线l的倾斜角为时，求POQ的面积【分析】（1）根据题意设椭圆的方程为+1（ab0），椭圆的离心率e，即，当椭圆过点（2，）时，解得a2，b2，c2，即可得出答案（2）根据题意可得直线l的方程为y（x2），设P（x1，y
2、1），Q（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|PQ|，再计算点O到直线l的距离d，进而可得SPOQ【解答】解：根据题意设椭圆的方程为+1（ab0），因为椭圆的离心率e，所以，a2b2+c2，当椭圆过点（2，）时，所以+1，由得，解得a29，b21，c28，所以椭圆的方程为+y21（2）根据题意可得直线l的方程为ytan（xc），即y（x2），设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得4x212x+150，所以x1+x23，x1x2，所以|PQ|2，所以点O到直线l的距离d，所以SPOQ|QP|d2特殊方法：三角形被坐标轴分割成两个三角形，可求
3、两个三角形的面积之和例（2019秋武汉期末）已知椭圆与抛物线y24x有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，（）求该椭圆的标准方程：（）求过点p（0，1）的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求AOB的面积【分析】（）设出椭圆方程，求得抛物线的焦点，可得所求椭圆方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用向量共线定理，联立直线方程和椭圆方程，运用三角形的面积公式可得所求【解答】解：（）由题意，设椭圆的标准方程为，由题意可得c1，又，a2，b2a2c23，所以椭圆的标准方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），由得：，验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykx+1，
4、联立椭圆方程，得：，整理得：（4k2+3）x2+8kx80，得：，将x12x2代入得，所以AOB的面积例（2021秋青铜峡市校级期末）如图所示，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求F1PQ的面积【分析】（）由题设知：2a4，即a2，将点代入椭圆方程得 ，解得b23，由此能得到椭圆方程（）由，知，所以PQ所在直线方程为，由得 ，设P （x1，y1），Q （x2，y2），由韦达定理能导出，由此能求出F1PQ的面积【解答】解：（）由题设知：2a4，即a2
5、将点代入椭圆方程得 ，解得b23c2a2b2431，故椭圆方程为（）由（）知，PQ所在直线方程为由得 设P （x1，y1），Q （x2，y2），则特殊方法：正弦面积公式例（2021春临澧县校级期末）如图，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，A为椭圆的右顶点，O为坐标原点过A的直线l交抛物线C1于C，D两点，射线OC，OD分别交椭圆C2于E，F两点（1）求抛物线C1的方程，并证明O点在以EF为直径的圆的内部；（2）记OEF，OCD的面积分别为S1，S2，若，求直线l的方程【分析】（1）椭圆，可得c1，右焦点（1，0），可得1，解得p证明O点在以EF为直径的圆的内部设直线l的方程为：xmy+2，设C（x1
6、，y1），D（x2，y2），联立，得y24my80，y1+y24m，y1y28，直线OE的方程为：yxx，直线OF的方程为：yxx联立，不妨设y10，y20解得E，F，只要证明0即可（2）由（1）可得：直线OE的方程为：yxx，直线OF的方程为：yxx分别与椭圆方程联立可得：.，而，结合根与系数的关系即可得出【解答】解：（1）椭圆，可得c1，右焦点（1，0），1，解得p2抛物线C1：y24x以下证明：O点在以EF为直径的圆的内部设直线l的方程为：xmy+2，设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，得y24my80，y1+y24m，y1y28，直线OE的方程为：yxx，直线OF的方程为：yx
7、x联立，不妨设y10，y20解得E（，）同理可得：F（，）则，分子12（8）192960，0，O点在以EF为直径的圆的内部（2）由（1）可得：，直线OE的方程为：yxx，直线OF的方程为：yxx联立，可得：同理可得：，2y1y216m2+16可得：，64，化为：m21即m1存在直线l：xy20或x+y20，使得S1：S23：13类型二平行四边形面积例（2021秋普陀区期末）已知点M（x，y）与定点F（1，0）的距离是点M到直线x20距离的倍设点M的轨迹为曲线，直线l：x+my+10（mR）与交于A，B两点，点C是线段AB的中点，P，Q是上关于原点O对称的两点，且（0）（1）求曲线的方程；（2）当四边形PAQB的面积S时，求的值【分析】（1）根据条件列出，整理即可；（2）设四边形ACBD面积为S，ABO的面积为S1，利用SSABC+SABD（+1）S1+（1）S12S1表示出S，再依据S的值求出m，再求得的值【解答】解：（1）由条件得，整理得x2+2y22，即曲线的方程为+y21；（2）因为点O到直线AB的距离d，设四边形PAQB面积为S，ABO的面积为S1，则S1ABd2，所以SSABP+SABQ（+1）S1+（1）S12S12，将2m2+2代入得S2，当S时，2，解得m，所以2m2+24，所以2
