1、保分专题(十)概率与统计全国卷 3 年考情分析年份 卷别 具体考查内容及命题位置 2017 卷 数学文化、有关面积的几何概型T4 相关系数的计算、均值及标准差公式的应用T19 卷 古典概型的概率计算T11 频率分布直方图、频率估计概率、独立性检验T19 卷 频数分布表、用频率估计概率T18 2016 卷 分段函数、柱状图、频率的概念、平均数T19 古典概型T3 卷 几何概型T8 频率估计概率、频率分布表与平均值的应用T18 卷 古典概型T5 两个变量间的线性相关性、线性回归方程的求解及应用T18 2015 卷 古典概型T4 散点图、回归方程的求法及应用T19 卷 频率分布直方图、用频率估计概率
2、T18 命题分析 1.对概率的考查是高考命题的热点之一，命题形式为“一小一大”，即一道选择或填空题和一道解答题2.选择或填空题常出现在第38题或第13题的位置，主要考查古典概型、几何概型，难度一般3.概率、统计的解答题多在第18或19题的位置，多以交汇性的形式考查，交汇点主要有两种：一是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与随机变量的分布列、数学期望、方差相交汇来考查；二是两图(频率分布直方图与茎叶图)择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等几何概型师生共研悟通1几何概型的概率公式：P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.2几何概型应满足两个条件：
3、(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等典例(1)(2017全国卷)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14 B.8C.12D.4解析 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，则正方形的面积为 4，正方形的内切圆的半径为 1，面积为.由题意，得 S 黑12S 圆2，故此点取自黑色部分的概率 P248.答案 B(2)(2017江苏高考)记函数 f(x)6xx2的定义域为 D.在区间4,5上随机取一个数 x，则 xD 的概率
4、是_解析 由 6xx20，解得2x3，则 D2,3，则所求概率 P325459.答案 59几何概型的适用条件及解题关键(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域类题通法即学即用练通1(2017沈阳质检)在区间(0,4)上任取一实数 x，则 2x2 的概率是()A.34B.12 C.13D.14解析：由 2x2 且 0 x4，得 0 x0，b0，共有 2 种满足，所以所求概率 P29.答案 A 类题通法定义法求解古典概型的关键定义法求解古
5、典概型的关键是准确求解基本事件空间与所求事件包含的基本事件的个数，而求解事件个数的主要方法是列举法，列举时需注意两个方面：一是确定抽取是否有“序”；二是确定列举法写出所有基本事件的一个顺序即学即用练通1四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着一枚完全相同的硬币，所有人同时抛出自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么没有相邻的两个人站起来的概率为()A.14B.716C.12D.916解析：四个人按顺序围成一桌，同时抛出自己的硬币，抛出的硬币正面记为 0，反面记为 1，则总的基本事件为(0,0,0,0)，(0,0,0,1)，(0,0,1,0)，(0,0,1,1
6、)，(0,1,0,0)，(0,1,0,1)，(0,1,1,0)，(0,1,1,1)，(1,0,0,0)，(1,0,0,1)，(1,0,1,0)，(1,0,1,1)，(1,1,0,0)，(1,1,0,1)，(1,1,1,0)，(1,1,1,1)，共有 16 种情况若四个人同时坐着，有 1 种情况；若三个人坐着，一个人站着，有 4 种情况；若两个人坐着，两个人站着，此时没有相邻的两个人站起来有 2 种情况所以没有相邻的两个人站起来的情况共有 1427 种，故所求概率 P 716.答案：B 2从 2,3,4,5,6 这 5 个数字中任取 3 个，则所取 3 个数之和为偶数的概率为_解析：依题意，从
7、2,3,4,5,6 这 5 个数字中任取 3 个，共有10 种不同的取法，其中所取 3 个数之和为偶数的取法共有 134 种(包含两种情形：一种情形是所取的 3 个数均为偶数，有 1 种取法；另一种情形是所取的 3 个数中 2 个是奇数，另一个是偶数，有 3 种取法)，因此所求的概率 P 41025.答案：25概率与统计的综合问题师生共研悟通典例(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶
8、；如果最高气温位于区间20，25，需求量为300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设 六 月 份 一 天 销 售 这 种 酸 奶 的 利 润 为 Y(单 位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率解答示范
9、(一)搭桥找突破口第(1)问：欲求需求量不超过 300 瓶的概率，应知对应最高气温区间，由频率估计概率；(一)搭桥找突破口第(2)问：欲求 Y 的值，应明确 Y 的含义，再根据气温的范围及频数求解，欲估计 Y 大于零的概率，只要知道 Y 的可能取值再求频率(二)建桥寻关键点由进货量和六月份气温情况知销售情况有可能售完也可能售不完 信息：六月份一天的进货量 由频数确定频率，从而估计概率 信息：频数分布表 最高气温对需求量的影响 信息：气温的情况与酸奶的销量(1)对题目所给信息的准确理解(2)从统计表中准确获取相关的信息用于计算(3)对于某变量所有可能值的提取及所对应频率的求解 每瓶酸奶的进价及售
10、价和未售出的处理价，确定每瓶酸奶的盈亏情况 信息：进货量相同、每瓶酸奶的进价、售价及处理价 注意什么 想到什么 有什么 解(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为21636900.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100.所以 Y 的所有可能值为
11、 900,300，100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为362574900.8，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.概率与统计综合问题的两个注意点(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成类题通法即学即用练通(2017新疆第二次适应性检测)从 2009 年淘宝创立“双十一”以来，到 2016 年，“双十一”已经走过了八个年头，随着消费者消费水平越来越高，低价已经不再是最核心的要素，消费者对于品质的追求也越来越高据美国福布斯双周刊网站 2016 年11 月 15
12、日报道，“双十一”当天中国的线上交易额比巴西 2016年全年的预估电子商务交易额都要多某公司对“双十一”当天在淘宝购物的男、女各 1 000 名消费者的消费金额(单位：千元)进行统计，得到了消费金额的频率分布直方图如下：(1)根据频率分布直方图，从在淘宝购物的这 2 000 名消费者中任选一人，估计消费金额在 2 000 元以上(包括 2 000 元)的概率；P(K2k0)0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828(2)若“双十一”当天在淘宝上至少购买 3 000 元商品，就称此消费者为“酷爱淘宝者”列出“酷爱淘宝者”人数与消费者性别的 22 列联表，并确定
13、能否在犯错误的概率不超过0.001 的前提下认为“酷爱淘宝者”与性别有关？参考公式和数据 K2nadbc2abcdacbd解：(1)根据频率分布直方图，可得男、女各 1 000 名消费者消费金额的频数分布表如下：消费金额/千元 0,1)1,2)2,3)3,4)4,5 男性频数 50 200 350 300 100 消费金额/千元 0,1)1,2)2,3)3,4)4,5 女性频数 250 300 150 100 200 2 000 名消费者中消费金额在 2 000 元以上(包括 2 000 元)的人数共 1 200，估计消费金额在 2 000 元以上(包括 2 000 元)的概率为1 2002
14、0000.6，故所求概率为 0.6.(2)列出 22 列联表如下所示：非酷爱淘宝者 酷爱淘宝者 总计 男 600 400 1 000 女 700 300 1 000 总计 1 300 700 2 000 随机变量 K2 的观测值 k2 00060030040070021 3007001 0001 00021.97810.828.所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“酷爱淘宝者”与性别有关数学文化 数学文化常考点几何概型典例(2017昆明质检)圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，即圆在任意方向都有相同的宽度，具有这种性质的曲线可称为“等宽曲线”事实上存在着大量的非圆等宽曲线，
15、以工艺学家鲁列斯(Reuleaux)命名的鲁列斯曲边三角形，就是著名的非圆等宽曲线它的画法(如图 1)：画一个等边三角形 ABC，分别以 A，B，C 为圆心，边长为半径，作圆弧BC，CA，AB，这三段圆弧围成的图形就是鲁列斯曲边三角形它的宽度等于原来等边三角形的边长等宽曲线都可以放在边长等于曲线宽度的正方形内(如图 2)在图 2 中的正方形内随机取一点，则这一点落在鲁列斯曲边三角形内的概率为()A.8 B.23 34 C.22D.32解析 设鲁列斯曲边三角形的宽度为 a，则该鲁列斯曲边三角形的面积为 316a22 34 a2 3a22，所以所求概率 P 3a22a2 32.答案 D 点评(1)
16、本例解题的关键是准确理解题目背景，求出鲁列斯曲边三角形的面积；(2)求解数学文化试题主要分三步完成：理解数学文化背景，挖掘出题目包含的数学意义；联想相关的数学模型，将数学文化背景中的数学问题转化为纯数学问题；利用数学知识求解针对训练1(2017宝鸡质检)欧阳修卖油翁中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”卖油翁的技艺让人叹为观止设铜钱是直径为 4 cm 的圆，它中间有边长为 1 cm 的正方形孔若随机向铜钱上滴一滴油，则油滴(不计油滴的大小)正好落入孔中的概率为()A.14B.14 C.116D.116解析：依题意得，所求的概率 P 1222 14.答
17、案：A 2.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形内的概率为15，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()A.55B.2 55C.15D.33解析：法一：设大正方形的边长为 1，直角三角形较大的锐角为，则小正方形的边长为 sin cos，所以(sin cos)215，所以 sin cos 55，2sin cos 45，所以 sin cos 3 55，所以 sin 2 55.法二：由赵爽弦图可知，直角三角形较大的锐角一定大于4，所以其正弦值一定大于 22，故排除选项 A、C、D，选 B.答
18、案：B 3九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是()A.60289B.90289C.120289D.240289解析：如图，设 RtABC 的两直角边长分别为a，b，其内接正方形 CEDF 的边长为 x，则由ADFABC，得AFACDFBC，即axa xb，解得 x abab.从而正方形 CEDF 的面积为 S 正方形 CEDFabab2，又 RtABC 的面积为 SABCab2
19、，所以所求概率为 Pabab2ab2 2abab225125122 120289，故选 C.答案：C 高考大题通法点拨 概率与统计问题重在“辨”辨析、辨型、辨图思维流程策略指导概率与统计问题辨析、辨型与辨图的基本策略(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立等(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生等(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等(4)分清是古典概型还是几何概型后再求概率(5)会套用求b、K2 的公式求值，再作进一步求值与分析(6)理解各图表所给信息，利用信息找出所要数据 典例 微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发
20、送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商)为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各 50 名，其中每天玩微信超过 6 小时的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，调查结果如下：微信控 非微信控 总计 男性 26 24 50 女性 30 20 50 总计 56 44 100(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.4 的前提下认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 5 人中“微信控”和“非微信控”的
21、人数；(3)从(2)中抽取的 5 人中再随机抽取 2 人赠送 200 元的护肤品套装，求这 2 人中至少有 1 人为“非微信控”的概率参考公式：K2nadbc2abcdacbd，其中 nabcd.参考数据：P(K2k0)0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635 解(1)由列联表中的数据可得 K2 的观测值k100262030242564450500.6490.708，所以不能在犯错误的概率不超过 0.4 的前提下认为“微信控”与“性别”有关(2)依题意可知，所抽取的 5 位女性中，“微信控”有
22、530503(人)，“非微信控”有 520502(人)(3)记 5 人中的“微信控”为a，b，c，“非微信控”为 D，E，则所有可能的基本事件为(a，b)，(a，c)，(a，D)，(a，E)，(b，c)，(b，D)，(b，E)，(c，D)，(c，E)，(D，E)，共10 种，其中至少有 1 人为“非微信控”的基本事件有(a，D)，(a，E)，(b，D)，(b，E)，(c，D)，(c，E)，(D，E)，共 7 种，所以这 2 人中至少有 1 人为“非微信控”的概率为 710.(1)独立性检验是用来考察两个分类变量是否有关系，计算随机变量的观测值 K2，K2 越大，说明两个分类变量有关系的可能性越
23、大(2)古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助表格，树状图列举；同时注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都有等可能性题后悟通针对训练某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示)由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；(2)估计该公司投入 4 万元广告费
24、用之后，对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值)；(3)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入x(单位：万元)1 2 3 4 5 销售收益y(单位：万元)2 3 2 7 表中的数据显示，x 与 y 之间存在线性相关关系，请将(2)的结果填入空白栏，并求 y 关于 x 的回归方程附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为bi1nxiyin xyi1nx2in x 2，a y b x.解：(1)设各小长方形的宽度为 m，由频率分布直方图各小长方形的面积总和为 1，可知(0.080.100.140.120.040.02)m1，解得 m2，所以图中各小长
25、方形的宽度为 2.(2)由(1)可知各小组依次是0,2)，2,4)，4,6)，6,8)，8,10)，10,12，其 中 点 分 别 为1,3,5,7,9,11，对 应 的 频 率 分 别 为0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计平均值为 10.1630.2050.2870.2490.08110.045(万元)(3)空白栏中填 5.由题意可知 x 1234553，y 2325753.8，i15xiyi122332455769，i15x2i122232425255，所以b69533.8555321.2，a3.81.230.2，所以回归方程为y1.2x0.2.概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件 总结升华 “专题过关检测”见“专题检测(十六)”(单击进入电子文档)