1、(五)直线与圆锥曲线专练1过点Q(2，)作圆O：x2y2r2(r0)的切线，切点为D，且|QD|4.(1)求r的值；(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点，过点P作圆O的切线l，且l交x轴于点A，交y轴于点B，2如图，F是椭圆1(ab0)的右焦点，O是坐标原点，|OF|，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，OP0Q0的面积为.(1)求该椭圆的标准方程；(2)若过点M(，0)的直线l与上、下半椭圆分别交于点P，Q，且|PM|2|MQ|，求直线l的方程3已知点A(4，0)，直线l：x1与x轴交于点B，动点M到A，B两点的距离之比为2.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设C与x轴交于E，F两
2、点，P是直线l上一点，且点P不在C上，直线PE，PF分别与C交于另一点S，T，证明：A，S，T三点共线4设直线l：yk(x1)(k0)与椭圆x24y2m2(m0)相交于两个不同的点A，B，与x轴相交于点C，记O为坐标原点(1)证明：m2； (2)若，求OAB的面积取得最大值时椭圆的方程答 案1解：(1)由题可知，圆O的圆心为(0，0)，半径为r.过点Q(2，)作圆O：x2y2r2(r0)的切线，切点为D，且|QD|4，r|OD|3.(2)设直线l的方程为1(a0，b0)，即bxayab0，则A(a，0)，B(0，b)，直线l与圆O相切，3，3ab，6，|6，当且仅当ab3时，等号成立|的最小值
3、为6.2解：(1)由题设条件，|P0F|.易知|P0F|， 从而.又c|OF|，即a2b25，因此a2a50，解得a3或a，又a0，故a3，从而b2.故所求椭圆的标准方程为1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意y10，y20，并可设直线l：xty，代入椭圆方程得1，即(4t29)y28ty160.从而y1y2，y1y2.又由|PM|2|MQ|，得2，即y12y2.因此y1y2y2，y1y22y，故2，可解得t2.注意到y2且y20，因此t.故满足题意的直线l的方程为xy，即为2xy20.3解：(1)设点M(x，y)，依题意，2，化简得x2y24，即轨迹C的方程为x2y24.(2
4、)证明：由(1)知曲线C的方程为x2y24，令y0得x2，不妨设E(2，0)，F(2，0)，如图设P(1，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，则直线PE的方程为yy0(x2)，由得(y1)x24yx4y40，所以2x1，即x1，y1.直线PF的方程为y(x2)，由得(y9)x24yx4y360，所以2x2，即x2，y2.所以kAS，kAT，所以kASkAT，所以A，S，T三点共线4解：(1)证明：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故yk(x1)可化为xy1.将xy1代入x24y2m2，消去x，得(14k2)y22kyk2(1m2)0，由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得4k24k2(1m2)(14k2)0，整理得m2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由，得y1y2，由，得y13y2，代入上式，得y2.于是，OAB的面积S|OC|y1y2|2|y2|，其中，上式取等号的条件是4k21，即k.由y2，可得y2.将k，y2及k，y2这两组值分别代入，均可解出m2.所以，OAB的面积取得最大值时椭圆的方程是x2y21.
