1、1导数与导函数的概念(1)当 x1 趋于 x0，即 x 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数 yf(x)在 x0 点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数 yf(x)在 x0 点的导数，通常用符号 f(x0)表示，记作 f(x0)limx1x0fx1fx0 x1x0limx0fx0 xfx0 x.(2)如果一个函数 f(x)在区间(a，b)上的每一点 x 处都有导数，导数值记为 f(x)：f(x)limx0fxxfxx，则 f(x)是关于 x 的函数，称 f(x)为 f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数的几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的
2、几何意义是曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(实数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)1xf(x)logax(a0，a1)f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxg
3、xfxgxfxgxgx2(g(x)0)【知识拓展】1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2 1fxfxfx2(f(x)0)3af(x)bg(x)af(x)bg(x)4函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲
4、线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数 f(x)sin(x)的导数是 f(x)cos x()1(2017西安一中联考)设 f(x)xln x，若 f(x0)2，则 x0 等于()Ae2BeC.ln 22Dln 2答案 B解析 f(x)ln x1，f(x0)ln x012，ln x01，x0e.2如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么 yf(x)，yg(x)的图像可能是()答案 D解析 由 yf(x)的图像知 yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C.又由图像知 yf(x)与 yg(x)的图像在 x
5、x0 处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图像在 xx0 处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.3(2016襄阳模拟)函数 f(x)excos x 的图像在点(0，f(0)处的切线的倾斜角为()A0B.4C1D.2答案 B解析 由 f(x)excos x，得 f(x)excos xexsin x所以 f(0)e0cos 0e0sin 01，即倾斜角 满足 tan 1.根据 0，)，得 4.4设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1).答案 2解析 f(ex)xex，令 tex，则 xln t(t0)，f(t)ln tt(t0)，得 f(x)ln xx(x0)
6、则 f(x)1x1(x0)，故 f(1)2.5曲线 y5ex3 在点(0，2)处的切线方程是答案 5xy20解析 因为 y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为 y(2)5(x0)，即 5xy20.题型一 导数的计算例 1 求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)yln x1x；(3)ycos xex；解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x1x)(ln x)(1x)1x1x2.(3)y(cos xex)cos xexcos xexex2sin xcos xex.思维升华 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行
7、化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(1)f(x)x(2 016ln x)，若 f(x0)2 017，则 x0 等于()Ae2B1Cln 2De(2)若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于()A1B2C2D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx1x2 017ln x，故由 f(x0)2 017，得 2 017ln x02 017，则 ln x00，解得 x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且 f(1)2，f(1)2.题型二 导数
8、的几何意义命题点 1 求切线方程例 2(1)(2016全国丙卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x)3x，则曲线 yf(x)在点(1，3)处的切线方程是(2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程为()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10答案(1)2xy10(2)B解析(1)设 x0，则x0，f(x)ln x3x，又 f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)1x3，f(1)2，切线方程为 y2x1，即 2xy10.(2)点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x0，y0)又f(x)
9、1ln x，y0 x0ln x0，y011ln x0 x0，解得 x01，y00，切点为(1,0)，f(1)1ln 11，直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 B.命题点 2 求参数的值例 3(1)(2016泉州模拟)函数 yex 的切线方程为 ymx，则 m.(2)已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图像都相切，与 f(x)图像的切点为(1，f(1)，则 m 等于()A1B3C4D2答案(1)e(2)D解析(1)设切点坐标为 P(x0，y0)，由 yex，得00|exxxy，从而切线方程为000ee()xxyxx，又切线过
10、定点(0,0)，从而000ee()xxx，解得 x01，则 me.(2)f(x)1x，直线 l 的斜率 kf(1)1.又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0，于是解得 m2.故选 D.命题点 3 导数与函数图像的关系例 4 如图，点 A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点 E 作 OB 的垂线 l.记AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S，则函数 Sf(x)的图像为下图中的()答案 D解析 函数的定义域为0，)，当 x0,2时，在单位长度改变量
11、 x 内面积改变量 S 大于 0 且越来越大，即斜率 f(x)在0,2内大于 0 且越来越大，因此，函数 Sf(x)的图像是上升的且图像是下凸的；当 x(2,3)时，在单位长度改变量 x 内面积改变量 S 大于 0 且越来越小，即斜率 f(x)在(2,3)内大于 0 且越来越小，因此，函数 Sf(x)的图像是上升的且图像是上凸的；当 x3，)时，在单位长度改变量 x 内面积改变量 S 为 0，即斜率 f(x)在3，)内为常数 0，此时，函数图像为平行于 x 轴的射线思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点
12、处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k.(3)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1fx1，y0y1fx1x0 x1 求解即可(4)函数图像在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图像在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图像升降的快慢(1)(2016郑州模拟)已知曲线 yx243ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A3B2C1D.12(2)(2016昆明模拟)设曲线 y1cos xsin x在点(2，1)处的切线与直线 xay10 平行，则实数 a等于()A1B.12C2D
13、2答案(1)A(2)A解析(1)设切点的横坐标为 x0，曲线 yx243ln x 的一条切线的斜率为12，yx23x，即x023x012，解得 x03 或 x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为 3.(2)y1cos xsin2x，2xy1.由条件知1a1，a1.3求曲线的切线方程典例 若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 yx33x22x 和 yx2a 都相切，求 a 的值错解展示现场纠错解 易知点 O(0,0)在曲线 yx33x22x 上(1)当 O(0,0)是切点时，由 y3x26x2，得 y|x02，即直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y2x.由y2x，yx2a
14、，得 x22xa0，依题意 44a0，得 a1.(2)当 O(0,0)不是切点时，设直线 l 与曲线 yx33x22x 相切于点 P(x0，y0)，则 y0 x303x202x0，0|xxky3x206x02，又 ky0 x0 x203x02，联立，得 x032(x00 舍去)，所以 k14，故直线 l 的方程为 y14x.由y14x，yx2a，得 x214xa0，依题意，1164a0，得 a 164.综上，a1 或 a 164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况1若 f(x)2xf(1)x2，则 f(0)等于()A2B0C2D4答案 D解析 f(x)
15、2f(1)2x，令 x1，则 f(1)2f(1)2，得 f(1)2，所以 f(0)2f(1)04.2(2016长沙模拟)若曲线 f(x)x4x 在点 P 处的切线平行于直线 3xy0，则点 P 的坐标为()A(1,2)B(1，3)C(1,0)D(1,5)答案 C解析 设点 P 的坐标为(x0，y0)，因为 f(x)4x31，所以 f(x0)4x3013，即 x01.把 x01 代入函数 f(x)x4x，得 y00，所以点 P 的坐标为(1,0)3若直线 yx 是曲线 yx33x2px 的切线，则实数 p 的值为()A1B2C.134D1 或134答案 D解析 y3x26xp，设切点为 P(x0
16、，y0)，3x206x0p1，x303x20px0 x0，解得x00，p1或x032，p134.4已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()AeBeC.1eD1e答案 C解析 yln x 的定义域为(0，)，且 y1x，设切点为(x0，ln x0)，则001|xxyx，切线方程为 yln x01x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得 x0e，故此切线的斜率为1e.5.(2016郑州质检)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)等于()A1B0C
17、2D4答案 B解析 由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于13，f(3)13.g(x)xf(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知 f(3)1，g(3)13(13)0.6已知函数 f(x)x1，g(x)aln x，若在 x14处函数 f(x)与 g(x)的图像的切线平行，则实数 a 的值为()A.14B.12C1D4答案 A解析 由题意可知 121,2fxxg(x)ax，由 f(14)g(14)，得1211(),1244a可得 a14，经检验，a14满足题意7已知函数 f(x)满足 f(x)f(1)ex1f(0)x12x2，那么 f(x)的解析
18、式为答案 f(x)exx12x2解析 由已知得 f(x)f(1)ex1f(0)x，所以 f(1)f(1)f(0)1，即 f(0)1.又 f(0)f(1)e1，所以 f(1)e.从而 f(x)exx12x2.8(2016 邯郸模拟)曲线 ylog2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于答案 12ln 2解析 y 1xln 2，k 1ln 2，切线方程为 y 1ln 2(x1)，三角形面积 S121 1ln 2 12ln 2.9若函数 f(x)12x2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是答案 2，)解析 f(x)12x2axln x，定义域为(0，)，
19、f(x)xa1x.f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点，即 x1xa0 有解，ax1x2.10.(2016哈 122 中学期末)已知点 P 在曲线 y4ex1上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是答案 34，)解析 y4ex1，y 4exex124exex22ex14ex1ex21(当且仅当 ex1ex，即 x0 时取等号)，1tan 0.又0，34 0)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)在 x1 处的切线斜率相同，求 a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线解 根据题意有曲线 yf(x)在 x1 处的切线斜率为 f(1)3，曲线 yg(x)在 x1 处的切线斜
20、率为 g(1)a.所以 f(1)g(1)，即 a3.曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为yf(1)3(x1)，又 f(1)1，得 y13(x1)，即切线方程为 3xy40.曲线 yg(x)在 x1 处的切线方程为yg(1)3(x1)，又 g(1)6，得 y63(x1)，即切线方程为 3xy90，所以两条切线不是同一条直线13.设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值(1)解 方程 7x4y120 可化为
21、 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3，故 f(x)x3x.(2)证明 设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2，知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0,2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值且此定值为6.