1、22.3 实际问题与二次函数一、选择题1.长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x0），面积为 ycm2 ，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ） A.y=x2B.y=12x2C.y=(12-x)xD.y=2x(12-x)2.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m)，则y关于x的函数表达式是( ) A.y=-x+50xB.y= -12 x+24xC.y= -12 x2+25xD.y= -12 x2+26x3.已知一个直角三角形的两
2、边长分别为a和5，第三边长是抛物线y=x-10x+21与x轴交点间的距离，则a的值为( ) A.3B.41C.3或 41D.不能确定4.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- 112 (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ） A.3mB.4mC.8mD.10m5.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90得到点F，连接CF，则CEF面积的最小值是（ ） A.16B.15C.12D.116.如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测
3、得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（ ） A.0.55米B.1130 米C.1330 米D.0.4米7.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h20t5t2 下列叙述正确是（） A.小球的飞行高度不能达到15mB.
4、小球的飞行高度可以达到25mC.小球从飞出到落地要用时4sD.小球飞出1s时的飞行高度为10m8.如图，边长为2的正方形ABCD，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿A-D-C的路径向点C运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度沿B-C-D-A的路径向点A运动，当点到达终点时，点P停止运动，设PQC的面积为S，运动时间为t秒，则能大致反映S与t的函数关系的图象是( )A.B.C.D.二、填空题9.用一根长为20cm的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为xcm ， 面积为ycm2 ， 则y与x之间的关系式为_ 10.一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，
5、门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，围成的鸡舍面积最大是_平方米. 11.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式_12.如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x米，花圃面积为S平方米，则S关于x的函数解析式是_（不写定义域）13.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m ，水面下降
6、1m ，水面宽度增加_ m . 14.某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20x40，且x为整数）出售，可卖出（40x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为_元. 三、解答题15.用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？ 16.某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通
7、过大门？ 17.要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m ， 水柱落地处离池中心3m ， 水管应多长？ 18.如图，直线y34x6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y54x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿轴向左运动过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）（1）求点C的坐标；（2）当0t5时，求S与t之间的
8、函数关系式，并求S的最大值；（3）当t0时，直接写出点（4，92）在正方形PQMN内部时t的取值范围答案一、选择题1.解：长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x0）， 长方形的另一边长为：242-x=(12-x)cm，长方形的面积为：y=(12-x)x故答案为：C先根据长方形的周长公式求出另一边长，再利用长方形的面积公式写出关系式即可2.解：由题意得y=x50+2-x2=-12x2+26x 故答案为：D. 由题意可知矩形的长+2宽=52，用含x的代数式表示出矩形的宽，再利用矩形的面积公式就可求出y与x的函数解析式。3.解：当y=0时，x-10x+21=0, 解之：x1=7，x2=3
9、， 抛物线与x轴的交点间的距离为：|3-7|=4， 直角三角形的三边长分别为4，a，5 当斜边长为5时，则a=52-42=3; 当直角边的长为4和5时，a=52+42=41; a的值为3或41. 故答案为：C. 求出当y=0时，建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到抛物线与x轴的两个交点坐标，再求出两交点之间的距离，可得到直角三角形的三边长分别为4，a，5；再分情况讨论：当斜边长为5时；当直角边的长为4和5时，分别利用勾股定理求出a的值。4.由题意得，当y=0时， -112(x-4)2+3=0 ，解得： x1=10 ， x2=-2 （舍去）故选D.求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数
10、关系式，求出x的值即可得到成绩.5.解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H， A=H=90，FEB=90，FEH=90-BEA=EBA，FEHEBA， HFAE=HEAB=EFBE,G 为 BE 的中点，FE=GE=12BE, HFAE=HEAB=EFBE=12,设AE=x， AB =8,AD=4,HF =12x,EH=4,DH=AE=x, SCEF=SDHFC+SCED-SEHF=12x(12x+8)+128(4-x)-12412x =14x2+4x-16-4x-x =14x2-x+16, 当 x=-1214=2 时，CEF面积的最小值 =144-2+16=15.故答案为：B.过点F作A
11、D的垂线交AD的延长线于点H，则FEHEBA，设AE=x，可得出CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值.6.解：如图， 以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x1.25 54 ，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为yax2+bx+c， 9a+3b+c=0-b2a=54c=0.8 ，解得： a=-815b=43c=45 ，所以解析式为：y -815 x2+ 43 x+ 45 ，当x2.75时，y 1330 ，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08 1330 1130 ，故答案为：B.如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题
12、意得到对称轴为x1.25 54 ，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论.7.A、当h15时，1520t5t2 ， 解得：t11，t23，故小球的飞行高度能达到15m，故此选项不符合题意；B、h20t5t25（t2）2+20，故t2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项不符合题意；C、h0时，020t5t2 ， 解得：t10，t24，小球从飞出到落地要用时4s，故此选项符合题意；D、当t1时，h15，故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项不符合题意；故答案为：C直接利用h15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案8.解：当0t1时，CQ=2-2t
13、，高为DC=2 S=12CQDC=1222-2t=2-2t； 当1t2时，CQ=2t-2，PD=2-t S=12CQDP=122t-22-t=-t2+3t-2 抛物线的开口向下； 当2t3时，点P在CD上，点Q在AD上， PC=4-t，PD=2t-4, S=12CPDP=124-t2t-4=-t2+6t-8, 抛物线的开口向下， 故答案为：C. 分段进行讨论：当0t1时，CQ=2-2t，高为DC=2，利用三角形的面积公式列出S与t的函数解析式；当1t2时，CQ=2t-2，PD=2-t，利用三角形的面积公式列出S与t的函数解析式；当2t3时，点P在CD上，点Q在AD上，PC=4-t，PD=2t-
14、4，利用三角形的面积公式列出S与t的函数解析式；根据抛物线的开口方向，即可作出判断。二、填空题9.解：由题意知：y=x（ 20-2x2 ）=x（10-x）=-x2+10x 故答案为：y=-x2+10x 先求出长方形的另一边长，利用长方形的面积=长宽，即可得出y与x的关系式.10.解：设鸡舍面积为y平方米，ABxm，则AD 116-4x+22 +1（602x）m 由题意得：yx（602x）2x2+60x当x b2a 15时，围成的鸡舍面积最大，最大值为：2152+6015450（平方米）故答案为：450. 根据矩形面积=长宽可列出面积y与AB的长x之间的函数关系式，并将这个函数解析式配成顶点式结
15、合二次函数的性质即可求解.11.解：如图所示由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），设抛物线的表达式为y=ax2+11，将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： a=-364 ，所以抛物线的表达式为：y= 364 x2+11由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），代入抛物线的解析式求出解析式12.矩形垂直于墙的一边长为x米，则另一边为（102 x）m，所以花圃面积为S=x(102x)，即S=2x2+10x；故答案为： S=-2x2+10x矩形的面积=长宽。由题意知矩形垂直于墙的一边长为x米，则另一边为（102 x）m，所以花圃面积为S=x(102x)=2x2+10x
16、。13.如右图建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=ax2 ， 由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，则-2=a22 ， 解得 a=-12 ， y=-12x2 ，当y=-3时， -3=-12x2 ，解得， x=6 ，此时水面的宽度为： 6-(-6)=26 ，水面的宽度增加 26-4 ，故答案为 26-4 根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决14.设商品所获利润为w元 由题意得： w=(x-20)(40-x)=-x2+60x-800=-(x-30)2+100由二次函数的性质可知，当 20x30 时，w随x的增大而增大；当 3
17、0x40 时，w随x的增大而减小则当 x=30 时，w取得最大值，最大值为100元故每件商品的售价应为30元故答案为：30.设商品所获利润为w元，先根据“利润 = （售价 - 进价） 销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得.三、解答题15.根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解.16.本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可.如果设C点是原点，那么A的坐标就是（-2，-4.4），B的坐标是（2，-4.4），可设这个函数为y=kx2 ， 那么将A的坐标代入后即可得
18、出y=-1.1x2 ， 那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y-1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4-1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门.17.以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为ya（x1）2+3（0x3），将（3，0）代入求得a值，则x0时得的y值即为水管的长18.（1）利用已知函数解析式，求两直线的交点，得点C的坐标即可；（2）根据几何关系把s用t表示，注意当MN在AD上时，这一特殊情况，进而分类讨论得出；（3）利用（2）中所求，结合二次函数最值求法求出即可