1、空间向量的数量积运算基础过关练题组一数量积的概念及其运算1.下列各命题中,不正确的命题的个数为()aa=|a|;m(a)b=(m)ab(m,R);a(b+c)=(b+c)a;a2b=b2a.A.0B.3C.2D.12.(2019山东省实验中学高二下期中)已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AEAF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a23.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,则a(b+c)的值为()A.1B.0C.-1D.-2题组二利用空间向量的数量积求夹角4.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a-
2、b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.1505.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为()A.30B.45C.60D.以上都不对6.(2019湖北襄阳第五中学高二上月考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为(易错)A.3B.2C.23D.3或237.已知|a|=2,|b|=1,=60,则使向量a+b与a-2b的夹角为钝角的实数的取值范围是.题组三利用空间向量的数量积求距离(线段长度)8.(2019湖南常德桃源一中高二上质检)已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60,那么|a+
3、3b|=()A.13B.13C.2D.59.(2020吉林第一中学阶段测试)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB,AD,AA1两两的夹角均为60,且|AB|=1,|AD|=2,|AA1|=3,则|AC1|等于()A.5B.6C.4D.810.如图,在120的二面角-l-中,Al,Bl,AC,BD且ACAB,BDAB,垂足分别为A,B,已知AC=AB=BD=6,则线段CD的长为.题组四利用空间向量的数量积证明垂直11.若向量m垂直于向量a和b,向量n=a+b(,R且,0),则()A.mnB.mnC.m既不平行于n,也不垂直于nD.以上三种情况都有可能12.(2020北京陈经纶中学高二
4、上期中)已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不一定为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD13.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+b,=135,mn,则=.14.已知空间四边形OABC中,AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,用向量方法证明OGBC.15.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,且PA底面ABCD,如果BCPB,求证四边形ABCD是矩形.能力提升练题组一利用空间向量的数量积求角度1.(2020四川师大附属中学
5、高二上期中,)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.332.(2020安徽合肥一六八中学高二上月考,)正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长相等,E为SC的中点,则BE与SA所成角的余弦值为()A.13B.12C.33D.323.(2020山西大同第一中学高二上月考,)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.234.(多选)()在正方体A
6、BCD-A1B1C1D1中,若M是线段A1C1上的动点,则下列结论正确的有()A.异面直线AM,BD所成的角为2B.异面直线CM,AB所成的角可为3C.异面直线CM,BD所成的角为2D.异面直线CM,B1B所成的角可为25.(2020北京十一学校高二上期中,)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,AD1B=3,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为.6.(2020广西柳州高级中学期中,)如图所示,在三棱锥A-BCD中,DA,DB,DC两两垂直,且DB=DC=DA=2,E为BC的中点.(1)证明:AEBC;(2)求直线AE与DC所成角的余弦值.题组二利用空间向量的数量积求距离(长
7、度)7.(2020河北冀州中学高二月考,)如图所示,在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,BCCD,且AB=BC=1,CD=2,点E为CD的中点,则AE的长为(深度解析)A.2B.3C.2D.58.(2020山东济南历城第二中学高二上月考,) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60,M是PC的中点,设AB=a,AD=b,AP=c.(1)试用a,b,c表示向量BM;(2)求BM的长.题组三利用空间向量的数量积证明垂直9.(多选)()已知长方体ABCD-A1B1C1D1,则下列向量的数量积可以为0的是()A.AD1B1CB
8、.BD1ACC.ABAD1D.BD1BC10.(2020四川广元中学高二上期中,)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:(1)CDAE;(2)PD平面ABE.答案全解全析基础过关练1.D是向量模的计算公式,命题正确;是向量数乘运算的结合律,命题正确;a(b+c)=ab+ac=ba+ca=(b+c)a,命题正确;a2b与向量b共线,b2a与向量a共线,命题不正确.故选D.2.C由题意得,AEAF=12(AB+AC)12AD=14(ABAD+ACAD)=142aacos60=14a2.3.B由题意得a(b+c)
9、=ab+ac=0.4.B设a与b的夹角为.由(2a-b)b=0得2ab=b2,即2|a|b|cos=|b|2=|a|b|,cos=12,=60.5.D设a与b的夹角为.由a+b+c=0,得a+b=-c,两边平方,得a2+2ab+b2=c2,所以4+223cos+9=16,解得cos=14,故选D.6.A设正方体的棱长为1,BC1=CC1-CB,CABC1=CA(CC1-CB)=-CACB=-1,cos=CABC1|CA|BC1|=-122=-12,异面直线AC和BC1所成角的大小为3.易错警示向量夹角的取值范围是0,而异面直线所成的角的取值范围是0,2,因此利用数量积求异面直线所成角时,要注意
10、角之间的关系,当0,2时,它们相等;当2,时,它们互补.异面直线所成的角的余弦值一定是非负的.7.答案(-1-3,-1+3)解析a+b与a-2b的夹角为钝角,则(a+b)(a-2b)0,且a+b2b-a,即2+2-20且-12,解得-1-3-1+3.8.B(a+3b)2=a2+6ab+9b2=1+61112+9=13,则|a+3b|=13,故选B.9.A|AC1|2=(AB+AD+AA1)2=|AB|2+|AD|2+|AA1|2+2ABAD+2ABAA1+2AA1AD=1+4+9+2+3+6=25,|AC1|=5,故选A.10.答案12解析因为ACAB,BDAB,所以CAAB=0,BDAB=0
11、.又因为二面角-l-的平面角为120,所以=60.所以|CD|2=(CA+AB+BD)2=|CA|2+|AB|2+|BD|2+2CAAB+2CABD+2ABBD=36+36+36+36=144,所以|CD|=12.11.B由已知得ma=0,mb=0,所以mn=m(a+b)=ma+mb=0,故mn,故选B.12.A由PA平面ABCD,及三垂线定理可知DAPB,PDAB,PACD,故B,C,D选项中两向量的数量积为零,无法判断PC与BD是否存在垂直关系,故数量积不一定为零.13.答案-32解析mn,mn=0,即(a+b)(a+b)=a2+(1+)ab+b2=18-12(1+)+16=0,解得=-3
12、2.14.证明设OA=a,OB=b,OC=c,由题意得|a|=|b|=|c|,OG=12(OM+ON),因为OM=12a,ON=12(b+c),所以OG=14(a+b+c),又BC=c-b,所以OGBC=14(a+b+c)(c-b)=14(ac-ab)+14(c2-b2)=0,所以OGBC.15.证明因为PA平面ABCD,所以PABC,所以PABC=0,又BCPB,所以PBBC=0.由AB=PB-PA,得ABBC=(PB-PA)BC=PBBC-PABC=0,所以ABBC,又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是矩形.能力提升练1.CAB1=BB1-BA,BC1=BC+CC1,AB1B
13、C1=BB1BC+BB1CC1-BABC-BACC1=0+1-21-12-0=2.易知|AB1|=5,|BC1|=2,cos=AB1BC1|AB1|BC1|=252=105,故选C.2.C设正四棱锥的侧棱长与底面边长均为a.由题意知,BE=12(BS+BC),SABE=12(SABS+SABC)=12aa-12+aa-12=-12a2.易得|BE|=32a,|SA|=a,cos=BESA|BE|SA|=-12a232aa=-33,故BE与SA所成角的余弦值为33.故选C.3.B设AB=a,AD=b,AA1=c,且|a|=|b|=|c|=2,则OE=12(a+b+c),FD1=12b+c,所以O
14、EFD1=12(a+b+c)12b+c=1212b2+c2=3,又|OE|=3,|FD1|=5,所以cos=OEFD1|OE|FD1|=155,故选B.4.ABC设正方体的棱长为1,且C1M=C1A1(01),则AMBD=(AA1+A1M)BD=AA1BD+(1-)A1C1BD=0,A正确;CMAB=(CC1+C1M)AB=CC1AB+C1A1AB=-,cos=CMAB|CM|AB|=-1+22,异面直线CM,AB所成角的余弦值为1+22,又1+22=12(01)有解,B正确;CMBD=(CC1+C1M)BD=CC1BD+C1A1BD=0,C正确;B1BC1C,CM与B1B所成的角等于CM与C
15、1C所成的角,易得该角小于2,D不正确.故选ABC.5.答案1414解析设AB=a,AD1=AA1+AD,BD1=BA+BB1+BC,则AD1BD1=AA1BA+AA1BB1+AA1BC+ADBA+ADBB1+ADBC=0+1+0+0+0+1=2,|AD1|=2,|BD1|=2+a2.由222+a2=12,得a=6(负值舍去),AB1=AA1+AB,BC1=BB1+BC,AB1BC1=AA1BB1+AA1BC+ABBB1+ABBC=1+0+0+0=1,又|AB1|=7,|BC1|=2,cos=AB1BC1|AB1|BC1|=172=1414.6.解析(1)证明:AE=DE-DA=12(DB+D
16、C)-DA,BC=DC-DB,所以AEBC=12DB+12DC-DA(DC-DB)=12DBDC-12DBDB+12DCDC-12DCDB-DADC+DADB=0-2+2-0-0+0=0,所以AEBC.(2)AEDC=12DB+12DC-DADC=12DBDC+12DCDC-DADC=0+2-0=2,|AE|=(2)2+22=6,所以cos=AEDC|AE|DC|=262=66,即直线AE与DC所成角的余弦值为66.7.BAE2=(AB+BC+CE)2=AB2+BC2+CE2+2ABBC+2ABCE+2BCCE=AB2+BC2+14CD2=1+1+1=3,所以|AE|=3,故选B.方法总结用数
17、量积求两点间距离的步骤:用向量表示此距离;用已知长度和夹角的向量表示此向量;用公式aa=|a|2,通过向量运算求|a|;|a|即为所求距离.8.解析(1)M是PC的中点,BM=12(BC+BP).AD=BC,BP=AP-AB,BM=12AD+(AP-AB),结合AB=a,AD=b,AP=c,得BM=12b+(c-a)=-12a+12b+12c.(2)AB=AD=1,PA=2,|a|=|b|=1,|c|=2.ABAD,PAB=PAD=60,ab=0,ac=bc=21cos60=1.由(1)知BM=-12a+12b+12c,BM2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac
18、+2bc)=14(1+1+4-0-2+2)=32,|BM|=62,即BM的长等于62.9.ABC若AA1=AD,则AD1B1C,A正确;若AB=AD,则BD1AC,B正确;AB平面AA1D1D,ABAD1,C正确;BD1和BC分别为矩形A1D1CB的对角线和边,两者不可能垂直,D错.故选ABC.10.证明(1)因为PA底面ABCD,所以PACD,所以APCD=0,又ACCD,所以ACCD=0,又AE=12(AP+AC),所以AECD=12(AP+AC)CD=12APCD+12ACCD=0,所以CDAE.(2)设PA=AB=BC=1,因为ABC=60,AB=BC=1,所以AC=1.又ACCD,所以CDAC=(AD-AC)AC=0,得ACAD=1.因为PDAE=(AD-AP)12(AP+AC)=12(ADAP+ADAC-AP2-APAC)=12(0+1-1-0)=0,PDAB=(AD-AP)AB=0,所以PDAE,PDAB,又AEAB=A,所以PD平面ABE.