1、江西省赣州一中2019-2020学年高二数学下学期3月月考试题 理（含解析）一、单选题1.设为虚数单位，复数满足，则A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可【详解】由，得，故选【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算2.函数的单调减区间是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出，令，解不等式即可【详解】函数的定义域为，由得，得，得，即函数的单调递减区间为故选D【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题3.已知函数在处取极值10，则（ ）A. 4或B. 4或C.
2、4D. 【答案】C【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于的方程组，解方程组并进行验证可得所求详解：，由题意得，即，解得或当时，故函数单调递增，无极值不符合题意故选C点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点（2）对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值4.函数图像大致为 ()A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：为奇函数，舍去A,舍去D;，所以
3、舍去C；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 5.利用反证法证明：若，则，假设为()A. 都不为0B. 不都为0C. 都不为0，且D. 至少有一个为0【答案】B【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.【详解】的否定为，即，不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.6.曲线y=2sinx+cosx在点(，1)处的切线方程为A.
4、B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【详解】当时，即点在曲线上则在点处的切线方程为，即故选C【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程7.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A.
5、 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元【答案】B【解析】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可详解：由题意得，样本中心为回归直线过样本中心，解得，回归直线方程为当时，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元故选B点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题8.从分别写有的张卡片中随机抽取张，放回后再随机抽取张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基
6、本事件总数n=55=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= 故答案为D9.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得
7、到答案【详解】当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选C【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./10.如图，若在矩形中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率.【详解】，又，豆子落在图中阴影部分的概率为.故选A.【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键.11.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成
8、立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时，又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数.12.设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.【详解】设，由题意知，函数在直
9、线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，.所以，函数的最小值为.又，.直线恒过定点且斜率为，故且，解得，故选D.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.二、填空题13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市.丙说：我们三个去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为_【答案】A【解析】试题分析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A考点：进行简单的合
10、情推理14._【答案】【解析】【分析】分别求得和的值，相加求得表达式的结果.【详解】由于表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分，故.故原式.【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题.15.已知，点P的坐标为，则当时，且满足的概率为_【答案】【解析】【分析】集合表示的区域为正方形，的坐标在圆的外部.先求得圆在内的面积，再用总面积减去这个面积，进而求得相应的概率.【详解】因为，所以M表示区域为正方形，面积为，因为实心圆在M中区域为四分之一圆，所以面积为因此概率为【点睛】本小题主要考查几何概型的知识，考查圆的方程以及圆内、圆外的表示方法.属于基础题.16.已知直线
11、是曲线的一条切线，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据题意，求出曲线的切线方程，再根据对应关系表示出和值，表示出，再采用构造函数求导的方法可求得的范围【详解】设，切点，所以，所以令，当时，单调递增；当时，单调递减又，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线切线方程为三、解答题17.如图，已知多面体ABC-A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）证明见解析；（）
12、.【解析】【分析】分析:方法一：（）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论；（）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论；（）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.【详解】详解：方法一：（）由得，所以.故.由， 得，由得，由，得，所以，故.因此平面.（）如图，过点作，交直线于点，连结.由平面得平面平面，由得平面，所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.方
13、法二：（）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.（）设直线与平面所成的角为.由（）可知设平面的法向量.由即可取.所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.18.已知数列的前项和为，.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给予证明.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（
14、1）由题设所给条件，分别令可得（2）猜想数列的通项公式为，采用数学归纳法证明即可【详解】（1）分别取得，解得，.（2）猜想时，由（1）知，猜想成立，假设时，则所以因为，所以所以，时成立，综上所述，任意，【点睛】本题难度不大，考差数列递推关系的应用，数学归纳法用来证明数列的一般方法，注意在证明时需用上假设，化为的基本形式19.已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由和可由点斜式得切线方程；（2）由函数在上是减函数，可得在上恒成立，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当时， 所以， 所以曲线在点处的
15、切线方程为.（2）因为函数在上是减函数，所以在上恒成立. 做法一：令,有，得故.实数的取值范围为 做法二： 即在上恒成立，则在上恒成立， 令，显然在上单调递减，则，得实数的取值范围为 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .20.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）, 其频率分布直方图如下： （1）记A表示事件“旧养殖法的箱产量
16、低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 【答案】（1）0.62（2）有99%的把握 （3）新养殖法优于旧养殖法【解析】【详解】试题分析：(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为0.62.据此，事件A的概率估计值为0.62.(2)由题意完成列联表，计算K2的观测值k15.7056.635，则有99%的把握认为箱产量
17、与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法试题解析：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62.因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2的观测值k15.705.由于15.7056.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3) 由频率分布直方图可得：旧养殖法100个网箱产量的平均数1（27.50.012+32.50.014+37.50.024+42.50.034+47
18、.50.040+52.50.032+57.50.032+62.50.012+67.50.012）559.4247.1；新养殖法100个网箱产量的平均数2（37.50.004+42.50.020+47.50.044+52.50.054+57.50.046+62.50.010+67.50.008）5510.4752.35；比较可得：12，故新养殖法更加优于旧养殖法点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点
19、的横坐标之和.独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释21.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设可知，动圆与定圆相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心的轨迹方程；（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为，直线斜率存在时，设坐标，直线方程，联立椭圆与直线方程，通过和韦达定理表示出，最后运用换元法
20、和函数的性质，确定最大值.【详解】解：（1）设圆的半径为，题意可知，点满足：，所以， 由椭圆定义知点的轨迹为以 为焦点的椭圆，且进而，故轨迹方程为： （2）当直线斜率不存在时，或，此时弦长 当直线斜率存在时，设的方程为：，由 消去得：， 由 恒成立， 设、，可得：， ，令8，则， 综上，弦长的最大值为【点睛】本题考查确定曲线轨迹方程的定义法，考查椭圆的定义、圆与圆的位置关系、直线与椭圆的位置关系的应用，考查了分类讨论思想、等价转化思想，是综合题.22.已知函数，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求出函
21、数的定义域和导数，由得出和，然后对和的大小关系进行分类讨论，分析导数符号，可得出函数的单调增区间和减区间；（2）由，得出，得出，构造函数，将问题转化为，其中，然后利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数定义域为，.当时，令，可得或.当时，即当时，对任意的，此时，函数的单调递增区间为；当时，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，即当时，令，得或；令，得.此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）由题意，可得，可得，其中.构造函数，则.，令，得.当时，；当时，.所以，函数在或处取得最小值，则，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数单调区间的求解，同时也考查了利用导数研究函数不等式成立问题，在求解时充分利用参变量分离法求解，可简化分类讨论，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.