1、专题一 函数与导数、不等式第3讲 导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A(1，1B(0，1C1，) D(0，)解析：由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1答案：B2(2016四川卷)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a()A4 B2 C4 D2解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，当x2时，f(x)0；当2x2时，f(x)1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立x1，00，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，若tab，则t
2、的最大值为()A2 B3 C6 D9解析：f(x)4x3ax22bx2，f(x)12x22ax2b，又f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0ab6，a0，b0，ab2，ab9，当且仅当ab3时等号成立答案：D5已知函数f(x)x3ax23x1有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，)B(，)C(，)D(，)(，)解析：f(x)x22ax3.由题意知方程f(x)0有两个不相等的实数根，4a2120，解得a或a.答案：D二、填空题6(2016北京卷)函数f(x)(x2)的最大值为_解析：f(x)，当x2时，f(x)0，所以f(x)在2，)上是减函数，故f(x)maxf(2)2.答案：2
3、7(2016广东肇庆三模)已知函数f(x)x3ax23x9，若x3是函数f(x)的一个极值点，则实数a_.解析：f(x)3x22ax3，由题意知x3为方程3x22ax30的根，3(3)22a(3)30，解得a5.答案：58 (2016衡水期末)若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析：f(x)x4.由f(x)0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.(导学号 55460102)(1)讨论f(x)
4、在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解：(1) f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)a0，x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，当0a1时，f(x
5、)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值综上可知，当a4时，f(x)取得最大值和最小值时x的值分别为1和0；当0a4时，f(x)取得最大值时x的值为；当0a1时，f(x)取最小值时x的值为1；当a1时，f(x)取得最小值时x的值为0或1；当1a4时，f(x)取得最小值时x的值为0.11(2016广州综合测试(二)已知函数f(x)exax(xR)(导学号 55460103)(1)当a1时，求函数f(x)的最小值；(2)若x0时，f(x)ln(x1)1，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)exx，则f(x)1.令f(x)
6、0，得x0.当x0时，f(x)0时，f(x)0.函数f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增当x0时，函数f(x)取得最小值，其值为f(0)1.(2)若x0时，f(x)ln(x1)1，即exaxln(x1)10.(*)令g(x)exaxln(x1)1，则g(x)exa.若a2，由(1)知exx1，即ex1x，故ex1x.g(x)exa(x1)a2a2a0.函数g(x)在0，)上单调递增g(x)g(0)0.(*)式成立若a2，令(x)exa，则(x)ex0.函数(x)在0，)上单调递增由于(0)2a0.故x0(0，a)，使得(x0)0.则当0xx0时，(x)(x0)0，即g(x)0.函数g(x)在(0，x0)上单调递减g(x0)g(0)0，即(*)式不恒成立综上所述，实数a的取值范围是2，)
