1、1四种命题及相互关系2四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系3充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果pq，但qp，则p是q的充分不必要条件；(3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件；(4)如果qp，且pq，则p是q的必要不充分条件；(5)如果pq，且qp，则p是q的既不充分也不必要条件【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若AB，则p
2、是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x30”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”()(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件()1下列命题为真命题
3、的是()A若，则xy B若x21，则x1C若xy，则 D若xy，则x2y2，则xy”的逆否命题是()A若xy，则x2y，则x2y2 D若xy，则x2y2答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，则x2y2”3(教材改编)“(x1)(x2)0”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B解析由(x1)(x2)0可得x1或x2，11，2，“(x1)(x2)0”是“x1”的必要不充分条件4(2017西安一中质检)已知a，b是实数，则“a2且b2”是“ab4且ab4”的()A必要而不充分条件B充分而不
4、必要条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案B解析反之不正确，故“a2且b2”是“ab4且ab4”的充分不必要条件5(教材改编)下列命题：“x2”是“x24x40”的必要不充分条件；“圆心到直线的距离等于半径”是“这条直线为圆的切线”的充分必要条件；“sin sin ”是“”的充要条件；“ab0”是“a0”的充分不必要条件其中为真命题的是_(填序号)答案题型一命题及其关系例1(2016潍坊一模)有下列四个命题：若“xy1，则x，y互为倒数”的逆命题；“面积相等的三角形是全等三角形”的否命题；“若m1，则x22xm0有实数解”的逆否命题；“若ABB，则AB”的逆否命题其中真命题为()A BC
5、 D答案D解析的逆命题：“若x，y互为倒数，则xy1”是真命题；的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；的逆否命题：“若x22xm0没有实数解，则m1”是真命题；命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题故选D.思维升华(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假(1)命题“若x0，则x20
6、”的否命题是()A若x0，则x20B若x20，则x0C若x0，则x20D若x20，则x0(2)某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A不拥有的人们会幸福B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福D不拥有的人们不幸福答案(1)C(2)D题型二充分必要条件的判定例2(1)(2015四川)设a，b都是不等于1的正数，则“3a3b3”是“loga3logb3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x1或xx2，则綈p是綈q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案(1)B(2)A解析(1)3a3b3
7、，ab1，此时loga3logb3正确；反之，若loga33b3，例如当a，b时，loga3b1.故“3a3b3”是“loga3x2，得2x3，即q：2x1且y1，q：实数x，y满足xy2，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知p：xy2，q：x，y不都是1，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)当x1，y1时，xy2一定成立，即pq，当xy2时，可以x1，y4，即qp，故p是q的充分不必要条件(2)(等价法)因为p：xy2，q：x1或y1，所以綈p：xy2，綈q：x1且
8、y1，因为綈q綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.题型三充分必要条件的应用例3已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP.则当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3引申探究1本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解若xP是xS的充要条件，则PS，方程组无解，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件2本例条件不变，若x綈P是x綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围 解由例题知Px|2x10，綈
9、P是綈S的必要不充分条件，PS且SP.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_(2)已知命题p：4xa0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是_答案(1)(0,3)(2)1,6解析(1)令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，MN，解得0a3.
10、故答案为(0,3)(2)由p：4xa4成立，得a4x0成立，得2x0；条件q：xa，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是()A1，) B(，1C1，) D(，3思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化解析(1)因为“p且q是真命题”等价于“p，q都为真命题”，且“綈p是假命题”等价于“p是真命题”，所以“p且q是真命题”是“綈p是假命题”的充分不必要条件 (2)由x22x30，得x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件x|xa
11、x|x1，a1.答案(1)A(2)A1命题“若，则tan 1”的否命题是()A若，则tan 1B若，则tan 1C若tan 1，则D若tan 1，则答案A2命题“如果xa2b2，那么x2ab”的逆否命题是()A如果xa2b2，那么x2abB如果x2ab，那么xa2b2C如果x2ab，那么xa2b2D如果xa2b2，那么x2ab答案C解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，“”的否定是“”故答案C正确 3(2016山东重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的()A逆命题 B否命题C逆否命题 D否定答案B解析命题p：“
12、正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题4(2015重庆)“x1”是“log(x2)0”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由x1x23log(x2)0，log(x2)0x21x1，故“x1”是“log(x2)0”成立的充分不必要条件故选B.5(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行
13、或异面或相交，故选A.6已知集合AxR|2x8，BxR|1x2 Dm|2m2答案C解析AxR|2x8x|1x3，即m2，故选C.7设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由Venn图易知充分性成立反之，AB时，由Venn图(如图)可知，存在AC，同时满足AC，BUC.故“存在集合C使得AC，BUC”是“AB”的充要条件8函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0aC.a1答案A解析因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有
14、零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系得a|a1，故选A.9设a，b为正数，则“ab1”是“a2b21”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析ab1，即ab1.又a，b为正数，a2(b1)2b212bb21，即a2b21成立，反之，当a，b1时，满足a2b21，但ab1不成立所以“ab1”是“a2b21”的充分不必要条件10有三个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若ab，则a2b2”的逆否命题；“若x3，则x2x60”的否命题其中真命题的序号为_答案解析命题为“若x，y互为相
15、反数，则xy0”是真命题；因为命题“若ab，则a2b2”是假命题，故命题是假命题；命题为“若x3，则x2x60”，因为x2x603x2，故命题是假命题综上知只有命题是真命题11给定两个命题p、q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析因为綈p是q的必要不充分条件，所以q綈p但綈pq，其逆否命题为p綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件12若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或0m2.13若“数列an
16、n22n(nN)是递增数列”为假命题，则的取值范围是_答案，)解析若数列ann22n(nN)为递增数列，则有an1an0，即2n12对任意的nN都成立，于是可得32，即.故所求的取值范围是，) 14.(2016贵州七校联考)以下四个命题中，真命题的个数是_“若ab2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；存在正实数a，b，使得lg(ab)lg alg b；“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；在ABC中，AB是sin Asin B的充分不必要条件答案2解析原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则ab2，而a2，b2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时ab0，
17、故是假命题；根据对数的运算性质，知当ab2时，lg(ab)lg alg b，故是真命题；“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，故是真命题；根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知ABab(a，b为角A，B所对的边)2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)sin Asin B，故可知AB是sin Asin B的充要条件，故是假命题，真命题个数是2. 15.已知集合Ay|yx2x1，x，2，Bx|xm21，若“xA”是“xB”的充分条件，求实数m的取值范围解yx2x1(x)2，x，2，y2.Ay|y2由xm21，得x1m2，Bx|x1m2“xA”是“xB”的充分条件，AB，1m2，解得m或m，故实数m的取值范围是(，)