1、保分专题(六)数 列全国卷3年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 2017 卷 等比数列的通项与前n项和公式、等差数列的判定T17 卷 等差、等比数列的通项及前n项和公式T17 卷 数列的递推关系及通项公式、裂项相消法求和T17 2016 卷 数列的通项公式及前n项和公式T17 卷 等差数列的通项公式及前n项和公式T17 卷 数列的递推关系及通项公式T17 2015 卷 等差数列的通项公式及前n项和公式T7 等比数列的概念及前n项和公式T13 卷 等差数列的通项公式、性质及前n项和公式T5 等比数列的通项公式及性质T9 命题分析 1.高考主要考查两类基本数列(等差数列、等比数列)、两种数列
2、求和方法(裂项相消法、错位相减法)、两类综合(与函数综合、与不等式综合)，主要突出数学思想的应用2.若以解答题形式考查，往往与三角在17题交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注等差数列与等比数列师生共研悟通1等差数列的通项公式及前n项和公式ana1(n1)d；Snna1an2na1nn12d.2等比数列的通项公式及前n项和公式ana1qn1(q0)；Sna11qn1qa1anq1q(q1)典例(1)(2017昆明质检)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 2，Sn，an成等差数列，则 S17()A0 B2C
3、2D34解析 由 2，Sn，an成等差数列，得 2Snan2，即 2Sn1an12，整理得an1an 1.又 2a1a12，所以 a12，所以数列an是首项为 2，公比为1 的等比数列，所以 S1721117112.答案 B(2)(2017全国卷)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，等比数列bn的前 n 项和为 Tn，a11，b11，a2b22.若 a3b35，求bn的通项公式；若 T321，求 S3.解 设an的公差为 d，bn的公比为 q，则 an1(n1)d，bnqn1.由 a2b22 得 dq3.()由 a3b35 得 2dq26.()联立()()解得d3，q0(舍去)或d1，q2
4、.因此bn的通项公式为 bn2n1.由 b11，T321，得 q2q200，解得 q5，q4.当 q5 时，由()得 d8，则 S321.当 q4 时，由()得 d1，则 S36.1等差(比)数列的基本运算在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(或 q)的方程组求解，但要注意消元法及整体代换，以减少计算量2判断和证明数列是等差(比)数列的 2 种方法(1)定义法：对于 n1 的任意自然数，验证 an1an或an1an为与正整数 n 无关的一常数(2)中项法：若 2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若 a2nan1an1(n
5、N*，n2)，则an为等比数列类题通法即学即用练通1(2017全国卷)等差数列an的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6 成等比数列，则an前 6 项的和为()A24 B3C3D8解析：设等差数列an的公差为 d，因为 a2，a3，a6 成等比数列，所以 a2a6a23，即(a1d)(a15d)(a12d)2.又 a11，所以 d22d0.又 d0，则 d2，所以an前 6 项的和 S661652(2)24.答案：A 2设数列an满足：a11，a23，且 2nan(n1)an1(n1)an1，则 a20 的值是()A.215B.225 C.235D.245解析：2nan(n1)an1
6、(n1)an1，数列nan是以 a11 为首项，2a2a15 为公差的等差数列，20a20151996，a20245.答案：D 3(2017长春质检)已知数列an满足 a132，an13an1(nN*)，数列bn满足 bnan12.(1)求证：bn是等比数列；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.解：(1)证明：由已知得 an1123an12(nN*)，从而有bn13bn，又 b1a1121，所以bn是以 1 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 bn3n1，从而 an3n112，所以 Sn1123123n112 133n1n23nn12.等差数列、等比数列的性质师生共研悟通等差数列
7、等比数列 性质 若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq 若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq anam(nm)d anamqnm Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)典例(1)(2016全国卷)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则 a100()A100 B99C98 D97解析 法一：an是等差数列，设其公差为 d，S992(a1a9)9a527，a53.又a108，a14d3，a19d8，a11，d1.a100a199d199198.答案 C 法二：an是等差数列，S992(a1a9
8、)9a527，a53.在等差数列an中，a5，a10，a15，a100 成等差数列，且公差 da10a5835.故 a1003(201)598.(2)在数列an中，a15，(an12)(an2)3(nN*)，则该数列的前 2 018 项的和是_解析 依题意得(an12)(an2)3，则(an22)(an12)3，因此 an22an2，即 an2an，所以数列an是以 2 为周期的数列又 a15，因此(a22)(a12)3(a22)3，故 a23，a1a28.注意到 2 01821 009，因此该数列的前 2 018 项的和等于 1 00988 072.答案 8 072类题通法等差(比)数列性质
9、应用策略(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解；(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如周期性、单调性(如本例(2)及即学即用练通第 3 题)即学即用练通1(2017长沙模拟)等比数列an中，a56，则数列log6an的前 9 项和的值为()A6B9C12D16解析：因为 a56，所以 log6a1log6a2log6a9log6(a1a2a9)log6a959log669.答案：B 2(2017湖南湘中名校高三联考)若an是等差数列，首项 a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，则使前 n 项
10、和 Sn0 成立的最大正整数 n 是()A2 016B2 017C4 032D4 033解析：因为 a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以 d0，a2 0160，a2 0170，所以 S4 0324 032a1a4 03224 032a2 016a2 01720，S4 0334 033a1a4 03324 033a2 0170，所以使前 n 项和 Sn0 成立的最大正整数 n 是 4 032.答案：C 3已知数列an中，a1a，an13an8n6，若an为递增数列，则实数 a 的取值范围为_解析：由 an13an8n6，得 an14(n1)53(an4n5)，即a
11、n14n15an4n53，所以数列an4n5是首项为 a9，公比为 3 的等比数列，所以 an4n5(a9)3n1，即 an(a9)3n14n5，所以 an1(a9)3n4n9.因为数列an为递增数列，所以 an1an，即(a9)3n4n9(a9)3n14n5，即(a9)3n6 恒成立因为 nN*，所以a9632 恒成立，解得 a7.答案：(7，)数列求和数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等典例(2017全国卷)设数列an满足 a13a2(2n1an2n.(1)求an的通项公式；(2)求数列an2n1的前 n 项和解
12、答示范(一)搭桥找突破口第(1)问：欲求 an 的通项公式，应知数列an的类别或关于 an 的关系式，即构造两关系式相减，消去多余项，得出 an 的通项公式；(一)搭桥找突破口第(2)问：欲求an2n1 的前 n 项和，应知an2n1的表达式，借助(1)的结论得出，再选用适当的求和方法师生共研悟通(二)建桥寻关键点有什么想到什么注意什么信息：数列(2n1)an的前 n 项和的关系式信息：求an的通项公式信息：数列an2n1(1)由有关 an与 Sn递推关系式求解问题时注意 n2 时的条件，并要验证 n1 时是否符合所求得的通项公式(2)裂项相消法求和适用的通项关系式及通项拆项后调整前面的系数、
13、裂项求和抵消后剩余的项有哪些类比 an 与 Sn的 关 系 式 求an 的方法求 数 列 通 项公式的方法借助 an 的表达式求an2n1的表达式解(1)因为 a13a2(2n1)an2n，故当 n2 时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2，所以 an22n1(n2)又由题设可得 a12，满足上式，从而an的通项公式为 an22n1.(2)记an2n1 的前 n 项和为 Sn.由(1)知an2n122n12n112n112n1.则 Sn1113131512n112n1 2n2n1.1分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组2裂项相消的规
14、律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多类题通法3错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列an与等比数列bn对应项相乘(anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式类题通法即学即用练通1已知数列an的通项公式是 an(1)n(3n2)，则 a1a2a10 等于()A15 B12C12 D15解析：an(1)n(3n2)，a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.答案：A 2(2017合肥一检)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足S424，S763.(1)求数列an的通项
15、公式；(2)若 bn2 an，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)an为等差数列，S44a1432 d24，S77a1762 d63，解得a13，d2，an2n1.(2)bn2 an22n1(2n1)24n(2n1)，Tn2(4424n)(352n1)2414n14 n32n1283(4n1)n22n.anan3(2018 届高三张掖诊断)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若an3Sn4，bnlog2an1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)令 cn bn2n11nn1，其中 nN*，若数列cn的前n 项和为 Tn，求 Tn.解：(1)由 a13a14，得 a11，由 an3Sn
16、4，知 an13Sn14，两式相减并化简得 an114an，an14n1，bnlog2an1log214n2n.(2)由题意知，cnn2n1nn1.令 Hn12 222 323n2n，则12Hn 122 223n12n n2n1，得，12Hn12 122 123 12n n2n11n22n1.Hn2n22n.又 Mn11212131n 1n11 1n1 nn1，TnHnMn2n22n nn1.创新应用 数列与其他知识的交汇问题数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用.典例
17、(1)设数列an满足 a2a410，点 Pn(n，an)对任意的 nN*，都有向量PnPn1(1,2)，则数列an的前 n 项和Sn_.解析 Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，PnPn1(1，an1an)(1,2)，an1an2，数列an是公差d为2的等差数列又由a2a42a14d2a14210，解得a11，Snnnn122n2.答案 n2(2)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12，则数列an的通项公式an_.解析 由题意知，a1f(2)，an1f(2n1)2f(2n)2nf(2
18、)2an2n1，则an12n1an2n1，所以an2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以an2nn，ann2n.答案 n2n(1)本例(1)是平面向量与数列的交汇，本例(2)是函数与数列的交汇；(2)解答此类问题的一般思路为利用已知条件结合平面向量、函数的知识转化为数列的问题进行求解类题通法针对训练1设直线 nx(n1)y 2(nN*)与两坐标轴围成的三角形的面积为 Sn，则 S1S2S2 017_.解析：当 x0 时，y2n1，当 y0 时，x 2n，所以三角形的面积 Sn12 2n 2n11nn11n 1n1，所以 S1S2S2 017112121312 01712 018112 01
19、82 0172 018.答案：2 0172 0182(2017江苏高考节选)对于给定的正整数 k，若数列an满足：ankank1an1an1ank1ank2kan，对任意正整数 n(nk)总成立，则称数列an是“P(k)数列”证明：等差数列an是“P(3)数列”证明：因为an是等差数列，设其公差为 d，则 ana1(n1)d，从而，当 n4 时，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以 an3an2an1an1an2an36an，因此等差数列an是“P(3)数列”数学文化 数学文化常考点数列我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题
20、可转化为等差、等比数列问题.典例(1)张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为今有一女子擅长织布，且从第 2 天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织 5 尺布，现在一个月(按 30 天计)共织390 尺布则该女子最后一天织布的尺数为()A18 B20C21D25解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为an，其中 a15，前 30 项和为 390，于是有305a302390，解得 a3021，即该织女最后一天织 21 尺布答案 C(2)(2017全国卷)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红
21、光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯()A1 盏 B3 盏C5 盏 D9 盏解析 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前 7 项的和 S7381，公比 q2，依题意，得 S7a112712381，解得 a13.答案 B 点评 本例中的两题均以古代传统文化为背景第(1)题考查等差数列及前 n 项和有关的计算问题；第(2)题考查等比数列及前 n 项和有关的计算问题针对训练1(2017合肥二检)中国古代数学有着很多令人惊叹的成就北宋沈括在梦溪笔谈卷十八技艺篇中首创隙积术
22、隙积术意即：将木桶一层层堆放成坛状，最上一层长有 a 个，宽有 b 个，共计 ab 个木桶，每一层长宽各比上一层多一个，共堆放 n 层，设最底层长有 c 个，宽有 d 个，则共计有木桶n2acb2caddb6个假设最上层有长 2 宽1 共 2 个木桶，每一层的长宽各比上一层多一个，共堆放15 层，则木桶的个数为()A1 260 B1 360C1 430 D1 530解析：根据题意可知，a2，b1，n15，则 c21416，d11415，代入题中所给的公式，可计算出木桶的个数为152034151461 360.答案：B 2朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有
23、如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝第一天派出 64 人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多 7 人修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升，共发出大米 40 392 升，问修筑堤坝多少天”在这个问题中，第 5 天应发大米()A894 升 B1 170 升C1 275 升 D1 467 升解析：由题意知，每天派出的人数构成首项为 64，公差为 7的等差数列，则第 5 天的总人数为 564542 7390，所以第 5 天应发大米 39031 170 升答案
24、：B 3我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列 1，12，13，14，1n.第二步：将数列的各项乘以 n，得数列(记为)a1，a2，a3，an.则 a1a2a2a3an1an 等于()An2 B(n1)2Cn(n1)Dn(n1)解析：a1a2a2a3an1ann1n2n2n3 nn1nnn2112 1231n1nn21121213 1n11nn2n1n n(n1)答案：C 高考大题通法点拨 数列问题重在“归”化归思维流程策略指导化归的常用策略利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考
25、查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列典例(2016山东高考)已知数列an的前 n项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.(1)求数列bn的通项公式；(2)令 cnan1n1bn2n，求数列cn的前 n 项和 Tn.解(1)由题意知当n2时，anSnSn16n5.当n1时，a1S111，符合上式所以an6n5.设数列bn的公差为 d.由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，解得b14，d3.所以 bn3n1.(2)由(1)知 cn6n6n13n3n 3(n1)2n1.又 Tnc1c2cn，得 Tn3222323(n1
26、)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn3222232n1(n1)2n234412n12 n12n23n2n2，所以Tn3n2n2.题后悟通求解数列问题的关键步骤针对训练(2018 届高三广东五校联考)数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1，且 a1，a21，a3 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn an1SnSn1，求数列bn的前 n 项和 Tn.解：(1)Sn2ana1，当 n2 时，Sn12an1a1.得，an2an2an1，即 an2an1.由 a1，a21，a3 成等差数列，得 2(a21)a1a3，2(2a11)a14a1，解得 a12.数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列an2n.(2)an2n，Sn2ana12n12，Sn12n22.bn an1SnSn12n12n122n22 1212n112n11.数列bn的前 n 项和Tn121211221 12211231 12n112n1112112n11 2n12n11.“专题过关检测”见“专题检测(十二)”(单击进入电子文档)