1、第7讲三角函数的图象与性质1(2014陕西高考)函数f(x)cos的最小正周期是()A. B C2 D4【解析】T，T，故选B.【答案】B2(2014全国大纲高考)设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()Aabc Bbca Ccba Dcab【解析】bcos 55sin 35asin 33，ctan 35bsin 35.cba.【答案】C3(2014四川高考)为了得到函数ysin(2x1)的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点()A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动1个单位长度D向右平行移动1个单位长度【解析】ysin(2x1)sin 2(x
2、)，只需将ysin 2x的图象向左平移个单位即可，故选A.【答案】A4(2014四川高考)已知函数f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，fcoscos 2，求cos sin 的值【解】(1)因为函数ysin x的单调递增区间为，kZ，由2k3x2k，kZ，得x，kZ.所以，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由已知，有sincos(cos 2sin 2)，所以sin coscos sin(cos 2sin 2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kZ.此时，cos sin .当sin
3、 cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin 0，故原式sin cos .【答案】(1)D(2)A【规律感悟】三角函数的定义是求三角函数值的基础，同角三角函数间的关系、诱导公式以及三角函数式的化简在运算中起着重要的作用，解题要时注意依据已知条件正确地选择公式，并注意应用公式所具备的条件(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两条射线，分别求解(2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号一定要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中
4、，开方后的符号要根据角所在的象限确定创新预测1(1)(2014河南三市三模)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y3x上，则cos 2 ()A. B. C D【解析】由已知条件知：当终边落在第一象限时，在直线y3x上取一点P(1,3)，则cos ，cos 22cos21.当终边落在第三象限时，在直线y3x上取一点P(1，3)，则cos ，此时cos 2.故选D.【答案】D(2)(2014辽宁五校联考)已知cos()，且(，)，则tan ()A. B. C D【解析】因为cos()，所以sin ，显然在第三象限，所以cos ，故tan .故选B.【答案】B【例2】(
5、1)(2014衡水中学二调)已知函数f(x)Asin(x)(其中A0，|)的部分图象如图所示，为了得到g(x)sin 2x的图象，则只需将f(x)的图象()A向右平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向左平移个长度单位(2)(2013福建高考)将函数f(x)sin(2x)(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P(0，)，则的值可以是()A. B. C. D.【解析】(1)由题中图象可知A1，T4()，则2.因为图象过点(，1)，所以sin(2)1.则2k(kZ)，2k(kZ)，因为|，所以.则f(x)sin(2x)sin 2(x)，所以向
6、右平移个长度单位故选A.(2)先求出解析式中的字母的取值，再利用代入法确定答案P(0，)在f(x)的图象上，f(0)sin .(，)，f(x)sin(2x)，g(x)sin2(x)g(0)，sin(2).验证，时，sin(2)sin()sin()成立【答案】(1)A(2)B【规律感悟】1.确定函数yAsin(x)B解析式的方法：(1)给出yAsin(x)的图象求解析式，常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)给出yAsin(x)B的图象求解析式，参数A、B，A，B；参数、的确定方式参照(1)2函数yAsin(x)的图象变换的技巧
7、及注意事项：(1)函数图象的平移变换规则是“左加右减”(2)在变换过程中务必分清先相位变换，还是先周期变换(3)变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向创新预测2(1)(2014江苏高考)已知函数ycosx与ysin(2x)(00，0)若f(x)在区间上具有单调性，且fff，则f(x)的最小正周期为_(2)(2014天津高考)已知函数f(x)cos xsincos 2x，xR.求f(x)的最小正周期；求f(x)在闭区间上的最大值和最小值【解析】(1)因为f(x)在区间上单调且fff，所以f(x)的图象与x轴的一个交点为且与其相邻的最
8、值点的横坐标为，T.【答案】(2)【解】由已知，有f(x)cos xcos 2xsin xcos xcos 2xsin 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin.所以，f(x)的最小正周期T.因为f(x)在区间上是减函数，在区间上是增函数f，f，f.所以，函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为.【规律感悟】函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路：第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题创新预测3(1)(预测题)已知0，函数f(x)
9、sin(x)在(，)上单调递减，则的取值范围是()A， B，C(0， D(0,2【解析】x，x，x.只须.故选A.【答案】A(2)(2014福建高考)已知函数f(x)2cos x(sin xcos x)求f()的值；求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间【解】法一f()2cos (sin cos )2cos (sin cos )2.因为f(x)2sin xcos x2cos2 xsin 2xcos 2x1sin(2x)1，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.法二f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1sin(2x
10、)1.f()sin1sin12.T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.总结提升通过本节课的学习，需掌握以下三点失分盲点1(1)忽视符号判断：在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(2)忽视化简求值原则：利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正，大化小，化到锐角为终了(3)忽视隐含条件：解题时容易忽视对条件的深刻挖掘，直接根据已知条件确定符号，扩大角的范围致误(4)忽视函数名称：在平移变换中易忽视平移前后两个函数的名称变化，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数(5)错误理解平移单位数
11、：由函数yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数是，而不是|.2求yAsin(x)的单调区间时，注意以下几点：(1)若0，应先利用诱导公式将函数化为yAsin(x)再结合ysin x的单调性求其单调区间(2)别忘掉写2k，或k等，别忘掉写kZ.(3)书写单调区间时，不要把弧度和度混在一起，如0,90应写为0，3ysin |x|不是周期函数，ycos |x|是以2为最小正周期的函数，y|sin x|与y|cos x|都是以为最小正周期的函数4研究三角函数的性质或作三角函数图象时，一定要将三角函数式化为yAsin(x)B的形式答题指导(1)看到三角函数的化简求值问题，想到同
12、角三角函数关系式，诱导公式及两角和与差及倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，注意结合一些角的变换技巧，在变换中注意三角函数值符号的确定(2)看到有关三角函数的问题时，想到三角函数的图象及性质(3)看到形如函数yAsin(x)形式的问题，想到整体思想方法的运用，清楚函数的平移变换及伸缩变换规律.三角函数图象变换中的推理论证1在解答数学试题中起主要作用的数学能力是逻辑推理能力、空间想象能力和运算求解能力，运算求解实际是简单的逻辑推理，逻辑推理能力在数学解题中占有重要地位高考从不同的侧面考查逻辑推理能力2三角函数从解析式看是数的内容，但画出其图象后又是形的内容，三角函数的解析式和图象从数与形两个方面刻
13、画了同一种变化规律在三角函数问题中有时要通过平移、伸缩变换由一个函数图象得到另一个函数图象，图象变换的同时函数的解析式也随之变化在三角函数的图象与解析式的变化中，从一个方面得到另一个方面不单纯是运算，逻辑推理也占有重要成分方法规律(1)利用三角函数的图象与性质求三角函数值域的方法(2)利用公式求三角函数的周期的方法(3)利用整体代换求三角函数的单调区间的方法(4)利用平移变换与伸缩变换求函数的解析式的方法【典例】函数f(x)3sin(2x)的部分图象如图所示(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；(2)求f(x)在区间，上的最大值和最小值【解】(1)f(x)的最小正周期为，x0，y
14、03.(2)因为x，所以2x，0于是，当2x0，即x时，f(x)取得最大值0；当2x，即x时，f(x)取得最小值3.【规律感悟】三角函数的性质是高考重点内容之一，本试题围绕图象、周期性、单调性、最值等来考查，全面考查分析问题、解决问题的能力以及运算能力、推理论证能力题目特点常表现为通过周期性、奇偶性、对称性来判断函数解析式，再依据解析式研究单调性和最值建议用时实际用时错题档案45分钟一、选择题1(原创题)下列各选项中，与sin 2 015最接近的数是()AB.C. D【解析】sin 2 015sin(2 160145)sin 145.sin 145接近sin 150，sin 2 015最接近的
15、数是，故选A.【答案】A2已知sin cos ，(0，)，则tan ()A1 BC. D1【解析】(cos 1)20.cos ，sin ，tan 1.【答案】A3(2013山东高考)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A. B.C0 D【解析】利用平移规律求得解析式，验证得出答案ysin(2x)ysin2(x)sin(2x)当时，ysin(2x)sin 2x，为奇函数；当时，ysin(2x)cos 2x，为偶函数；当0时，ysin(2x)，为非奇非偶函数；当时，ysin 2x，为奇函数故选B.【答案】B4(2014辽宁高考)将函数y3
16、sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增【解析】y3sin的图象y3sin的图象，由图象知选B.【答案】B5(2014天津高考)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.在曲线yf(x)与直线y1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为()A. B.C D2【解析】f(x)2sin(x)，由f(x)1，得sin(x)，x2k或x2m(k，mZ)x1，x2.|x2x1|min.取k0，m0，.2，f(x)2sin(2x)，T.故选C.【答案】C二、填空题6(2014大庆质检)已知(，
17、)，sin ，则tan 2_.【解析】(，)，sin ，cos ，tan 2，tan 2.【答案】7(2014重庆高考)将函数f(x)sin(x)(0，)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysin x 的图象，则f()_.【解析】ysin xysin(x)ysin(x)f()sin()sin.【答案】8(2014辽宁三校联考)已知函数f(x)|cos x|sin x，给出下列五个说法：f()；若|f(x1)|f(x2)|，则x1x2k(kZ)；f(x)在区间上单调递增；函数f(x)的周期为；f(x)的图象关于点(，0)成中心对称其中正确说法的序号是_【解
18、析】f()f(671)|cos(671)|sin(671)cos (sin )，正确令x1，x2，则|f(x1)|f(x2)|，但x1x2，不满足x1x2k(kZ)，不正确f(x)，f(x)在上单调递增，正确f(x)的周期为2，不正确f(x)|cos x|sin x，f(x)|cos x|sin x，f(x)f(x)0，f(x)的图象不关于点(，0)成中心对称，不正确综上可知，正确说法的序号是.【答案】三、解答题9(2014重庆高考)已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f，求cos的值【解】(1)因f(x)的图象上相邻两个最
19、高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.因得k0，所以.(2)由(1)得fsin，所以sin.由得0，所以cos.因此cossin sinsincoscossin.10.已知函数f(x)Asin(x)(xR，0,0)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)f(x)f(x)的单调递增区间【解】(1)由题设图象知，周期T2()，所以2.因为点(，0)在函数图象上，所以Asin(2)0，即sin()0.又因为0，所以.从而，即.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin1，解得A2.故函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x)(2)g(x)2sin2(x)2sin2(x)2sin 2x2sin(2x)2sin 2x2(sin 2xcos 2x)sin 2xcos 2x2sin(2x)由2k2x2k，得kxk，kZ.所以函数g(x)的单调递增区间是k，k，kZ.