1、31.2复数的几何意义目标 1.能说出复数与复平面内的点、平面向量之间的一一对应关系.2.会分析复数的几何意义，记住复数的模的几何意义重点 复数的几何意义与复数的模难点 复数的几何意义知识点一复平面填一填建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，虚轴上的点(0,0)不对应虚数答一答1实轴上的点一定表示实数，虚轴上的点一定表示虚数吗？提示：在复平面中，实轴上的点一定表示实数，但虚轴上的点不一定表示虚数事实上，虚轴上的点(0,0)是原点，它表示实数0，虚轴上的其他点都表示纯虚数知识点二复数的两种几何意义填一填复数zabi 复平面内的点Z(a，b)复数zabi 平面向量.答
2、一答2(1)在复平面中，复数zabi(a，bR)对应的点是Z(a，bi)吗？(2)复平面中，复数与向量一一对应的前提条件是什么？提示：(1)不是，在复平面中，复数zabi(a，bR)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，bi)(2)前提条件是：复数zabi(a，bR)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为在复平面内与相等的向量有无数个知识点三复数的模填一填向量的模r叫做复数zabi的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.答一答3(1)复数的模一定是正数吗？(2)若复数z满足|z|1，那么在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？提示：(1)不一定，复数的模是非负数，
3、即|z|0，当z0时，|z|0；反之，当|z|0时，必有z0.(2)点Z的轨迹是以原点为圆心，半径等于1的一个圆1对复数几何意义的理解(1)复数集中的复数zabi(a，bR)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的(2)复数zabi(a，bR)与平面向量(a，b)也是一一对应的(3)注意zabi(a，bR)对应的向量的起点必须为原点，因为复平面内与相等的向量有无数个2复数与其对应的点的关系复数实部、虚部的符号与其对应点所在象限密切相关，实数、纯虚数的对应点分别在实轴和虚轴上若实部为正且虚部为正，则复数对应点在第一象限；若实部为负且虚部为正，则复数对应点在第二象限；若实部为负且虚部为负，则复数对应
4、点在第三象限；若实部为正且虚部为负，则复数对应点在第四象限此外，若复数的对应点在某些曲线上，还可写出代数形式的一般表达式类型一复数与复平面内点的对应关系【例1】求实数a分别取何值时，复数z(a22a15)i(aR)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内；(2)在复平面内的x轴上方；(3)在直线xy70上【思路分析】由zabi(a，bR)与点Z(a，b)一一对应知第(1)问要求实部小于0，虚部大于0；第(2)问要求虚部大于0；第(3)问中用实部代x，虚部代y，解方程即可【解】(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a0，解得a5，或a0，(a22a3)(a1)220，故复数对应的点在第
5、四象限(2)已知复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数x的取值范围为(1,2)解析：因为复数x26x5(x2)i在复平面内对应的点在第三象限，所以所以所以1x2.即1x2为所求实数x的取值范围类型二复数与向量的对应关系【例2】已知向量对应的复数是43i，点A关于实轴的对称点为A1，将向量平移，使其起点移动到A点，这时终点为A2.(1)求向量对应的复数；(2)求点A2对应的复数【思路分析】根据复数与点、复数与向量的对应关系求解【解】(1)向量对应的复数是43i，点A对应的复数也是43i，因此点A坐标为(4,3)，点A关于实轴的对称点A1为(4，3)，故向量对应的复数是43i
6、.(2)依题意知，而(4，3)，设A2(x，y)，则有(4，3)(x4，y3)，x8，y0，即A2(8,0)，点A2对应的复数是8.(1)复数zabi(a，bR)是与以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应复数可能改变(1)已知复数z134i，z2a3i(aR)，z1，z2对应的向量分别为，且，则a4.(2)在复平面内，向量表示的复数为1i，将向量向右平移1个单位后，再向上平移2个单位，得到向量，则向量对应的复数是1i.解析：(1)依题意(3,4)，(a，3)，由于，所以0，即3a120，解得a4.(2)在复平面内，一
7、个向量作平移变换，从一个位置无论平移到哪一个位置，平移后的向量和原来的向量都是相等向量，对应的复数也都相等，所以.因此，向量对应的复数仍然是1i.类型三复数模的计算【例3】已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围【解】方法1：z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法2：如图，利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知：a.利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想.根据复数模的意义，
8、结合图形，也可利用平面几何知识解答本题.已知复数z满足|z|1，|z1|1，求复数z.解：设zabi(a，bR)，则解得或，zi.复数模的几何意义【例4】设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|2；(2)2|z|3.【解】(1)因为|z|2，即|OZ|2，所以满足|z|2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图.(2)不等式2|z|2的解集是圆|z|2外部所有的点组成的集合，不等式|z|3的解集是圆|z|3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集因此，满足条件2|z|3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边
9、界，如图.【解后反思】解决复数模的几何意义问题，需把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题来解决要注意掌握复数模的几何意义常与轨迹、最值等问题相结合命题(1)满足条件|zi|34i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是圆解析：由已知得|zi|5，令zxyi(x，yR)，则|x(y1)i|5.x2(y1)225.复数z在复平面上对应点的轨迹是圆(2)已知z12(1i)，且|z|1，则|zz1|的最大值为21.解析：|z|1，即|OZ|1，满足|z|1的点Z的集合是以(0,0)为圆心，以1为半径的圆，
10、又复数z12(1i)在坐标系内对应的点为(2，2)故|zz1|的最大值为点Z1(2，2)到圆上的点的最大距离，即|zz1|的最大值为21.1复数zi2对应的点在复平面的(B)A第一象限内 B实轴上C虚轴上 D第四象限内解析：由于zi21，它是一个实数，因此其对应的点在复平面的实轴上2已知复数z2ai(aR)对应的点在直线x3y40上，则复数za2i对应的点在(C)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：复数z2ai对应的点是(2，a)，在直线x3y40上，所以23a40，a2，于是复数za2i22i，对应的点在第三象限3复数zsin20isin70的模等于1.解析：|z|1.4若复数z的实部为8，模等于17，那么复数z对应的点在第二或三象限解析：依题意设z8bi(bR)，则有17，解得b15，即z815i或z815i，因此z对应的点在第二或第三象限5实数a取什么值时，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点(1)位于第二象限？(2)位于直线yx上？解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数za2a2(a23a2)i的点就是点Z(a2a2，a23a2)(1)由点Z位于第二象限得，解得2a1.故满足条件的实数a的取值范围为(2,1)(2)由点Z位于直线yx上得a2a2a23a2，解得a1.故满足条件的实数a的值为1.
