1、保分专题(八)直线与圆全国卷 3 年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2017 卷 直线与圆相切、椭圆的离心率T11 1.圆的方程近两年为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现2.直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第12题或第16题位置，难度很大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.2016 卷 直线与圆的位置关系及圆的面积问题T15 卷 直线与圆的位置关系T15 2015 卷 两点间的距离公式、三角形的外心T7 直线的方程师生共研悟通1两条直线平行与垂直的判定若两条不重
2、合的直线 l1，l2 的斜率 k1，k2 存在，则 l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d|C1C2|A2B2.(2)点(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离公式 d|Ax0By0C|A2B2.典例(1)“c5”是“点(2,1)到直线3x4yc0的距离为 3”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析 由点(2,1)到直线 3x4yc0 的距离 d|64c|3242 3，解得 c5 或 c25，故“c5”是“点(2
3、,1)到直线 3x4yc0 的距离为 3”的充分不必要条件答案 B(2)已知直线 l：xy10，l1：2xy20.若直线 l2与 l1关于直线 l 对称，则直线 l2 的方程是()Ax2y10Bx2y10Cxy10Dx2y10解析 法一：l1 与 l2 关于 l 对称，则 l1 上任意一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1,0)在 l2 上又易知(0，2)为 l1 上的一点，设其关于 l 的对称点为(x，y)，则x2y22 10，y2x 11，解得x1，y1.即(1,0)，(1，1)为 l2 上两点，故可得 l2 的方程为 x2y10.法二：设 l2 上任一点为(x
4、，y)，其关于 l 的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知xx12yy1210，yy1xx111，解得x1y1，y1x1.(x1，y1)在 l1 上，2(y1)(x1)20，即 l2 的方程为 x2y10.答案 B 解决直线方程问题的 2 个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性(2)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线类题通法即学即用练通1若直线l1：xay60与l2：(a2)x3y2a0平行，则l1
5、与l2间的距离为()A.2B.8 23 C.3D.8 33解析：由l1l2得(a2)a13，且a2a36，解得a1，l1：xy60，l2：xy230，l1与l2间的距离d62312128 23.答案：B 2过点P(2,2)作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有()A3条B2条C1条D0条解析：由题意可设直线l的方程为xayb1(a0)，于是2a 2b1，12ab8，解得ab4，故满足条件的直线l一共有1条答案：C 3已知a0，直线ax(b2)y40与直线ax(b2)y30互相垂直，则ab的最大值为()A0 B2C4 D 2解析：法一：若b2，两直线方程
6、分别为y a4 x1和x3a，此时两直线相交但不垂直；若b2，两直线方程分别为x 4a 和y a4 x 34，此时两直线相交但不垂直；若b2，两直线方程分别为y ab2x 4b2和y ab2x答案：B 3b2，由两直线垂直得，ab2 ab2 1，即 a2b24，因为 a2b242ab，当且仅当 ab 时等号成立，所以ab2，所以 ab 的最大值为 2.法二：由两直线垂直，得 a2(b2)(b2)0，即 a2b24.因为 a2b242ab，当且仅当 ab 时等号成立，所以 ab2，所以 ab 的最大值为 2.圆的方程师生共研悟通圆的3种方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的
7、一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)典例(1)(2016天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为4 55，则圆C的方程为_解析 因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a0，所以圆心到直线2xy0的距离d2a54 55，解得a2，所以圆C的半径r|CM|453，所以圆C的方程为(x2)2y29.答案(x2)2y29(2)(2016浙江高考)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐
8、标是_，半径是_解析 由二元二次方程表示圆的条件可得 a2a2，解得 a2 或1.当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即 x2y2x2y520，配方得x122(y1)2540，不表示圆；当 a1 时，方程为 x2y24x8y50，配方得(x2)2(y4)225，则圆心坐标为(2，4)，半径是 5.答案(2，4)5类题通法求圆的方程的2种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 即学即用练通1已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则ABC外接圆的
9、圆心到原点的距离为()A.53 B.213 C.2 53D.43解析：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，1DF0，3 3EF0，72D 3EF0，D2，E4 33，F1，ABC外接圆的圆心为 1，2 33，故ABC外接圆的圆心到原点的距离为12 332 213.答案：B 2已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程是()A(x1)2y22B(x1)2y28C(x1)2y22D(x1)2y28解析：根据题意直线xy10与x轴的交点为(1,0)因为圆与直线xy30相切，所以半径为圆心到切线的距离，即rd|103|1212 2，则圆的方程为
10、(x1)2y22.答案：A直线与圆、圆与圆的位置关系师生共研悟通判断直线与圆的位置关系的2种方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离典例(1)(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|23，则圆C的面积为_解析 圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径ra22，因为|AB|23，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d|0a2a|2|a|2，由勾股定理得2 322|a|22
11、a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案 4(2)(2016全国卷)已知直线l：x3 y60与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|_.解析 作出示意图如图所示，直线AB的方程为x 3y60，kAB 33，BPD30，从而BDP60.在RtBOD中，|OB|2 3，|OD|2.取AB的中点H，连接OH，则OHAB，OH为直角梯形ABDC的中位线，|OC|OD|，|CD|2|OD|224.答案 4弦长问题的2种求解方法(1)利用半径r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理d2l22r2求解；(2)若斜率为k的直线l与圆
12、C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|1k2|x1x2|.类题通法即学即用练通1已知圆(x1)2y21被直线x 3y0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()A12 B13C14 D15解析：(x1)2y21的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d112 3212，所以较短弧所对的圆心角为23，较长弧所对的圆心角为43，故两弧长之比为12.答案：A 2(2017惠州三调)已知直线yax与圆C：x2y22ax2y20交于两点A，B，且CAB为等边三角形，则圆C的面积为_解析：圆 x2y22ax2y20 化为标准方程为(xa)2(y1)2a21，因此圆心 C 到直线
13、yax 的距离为32 a21|a21|a21，解得 a27，所以圆 C 的面积为(a21)26.答案：63(2018届高三广东五校联考)两圆x2y22axa240和x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR，bR且ab0，则 1a2 1b2的最小值为_解析：两圆 x2y22axa240 和 x2y24by14b20 配方得，(xa)2y24，x2(y2b)21.由题意得两圆相外切，故a24b2123，即 a24b29，所以 1a2 1b2a29 4b29 1a2 1b219 a29b24b29a249592 a29b24b29a21，当且仅当 a29b24b29a2，即 a22b23 时等
14、号成立，故 1a2 1b2的最小值为 1.答案：1创新应用 直线和圆与其他知识的交汇问题高考对直线和圆的考查重在基础，多以选择题、填空题形式出现，将直线和圆与函数、不等式、平面向量、数列及圆锥曲线、概率等知识交汇，体现命题创新.典例(1)已知不等式组xy2 20，x2 2，y2 2表示平面区域，过区域中的任意一个点P，作圆x2y21的两条切线且切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，cosAPB的值为()A.78 B.12C.34D.32解析 作出平面区域和单位圆x2y21的图象如图所示，设l：xy2 20，数形结合可得S四边形PAOB2SPAO2 12|PA|1|PA|.又|PA|O
15、P|2|OA|2|OP|21，当P到原点距离最小时，四边形PAOB的面积最小，此时POl，且|PO|2 2|22，故APO6，APB3，cosAPB12.答案 B(2)已知直线AxByC0与圆x2y21相交于P，Q两点，其中A2，C2，B2成等差数列，O为坐标原点，则 OP PQ()A1 B0C1D1解析 依题意A2B22C2，圆x2y21的圆心到直线AxByC0的距离d|C|A2B2 22，圆x2y21的半径为1，故POQ90，可得 OP OQ 0.OP PQ OP(OQ OP)OP OQ OP2011.答案 A 对于这类问题的求解，首先要注意理解直线和圆等基础知识及它们之间的深入联系，其次
16、要对问题的条件进行全方位的审视，特别是题中各个条件之间的相互关系及隐含条件的挖掘，再次要掌握解决问题常用的思想方法，如数形结合、化归与转化等思想方法类题通法针对训练1已知f(x)x3ax2b，若f(x)的图象在切点P(1，2)处的切线与圆(x2)2(y4)25相切，则3a2b_.解析：由题意得f(1)2，即a2b3.又f(x)3x2a，f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为y2(3a)(x1)，即(3a)xya50，|3a24a5|3a212 5，解得a52，b14，3a2b7.答案：72已知集合 Ax x1x20，若 kZ，且 kA，使得过点B(1,1)的任意直线与圆 x2y2kx2y38k0 总有公共点的概率为_解析：由题意知A1,2)，又k24 32 k0总成立，kZ，且kA，所以k有1,0,1三个值，过点B(1,1)的任意直线与圆x2y2kx2y 38 k0总有公共点，即点B(1,1)在圆上或圆内，即2k238k0，得k0，即k有1,0两个值，由古典概型的概率公式知所求概率为P23.答案：23 “专题过关检测”见“专题检测(十四)”(单击进入电子文档)
