1、考点规范练45直线的倾斜角与斜率、直线的方程考点规范练A册第31页基础巩固1.经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为34,则y=()A.-1B.-3C.0D.2答案:B解析:tan 34=2y+1-(-3)4-2=2y+42=y+2,因此y+2=-1,y=-3.2.已知直线l:ax+y-2+a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是()A.1B.-1C.2或1D.-2或1答案:C解析:当a=0时,直线方程为y=2,显然不符合题意,当a0时,令y=0,得到直线在x轴上的截距是2-aa,令x=0,得到直线在y轴上的截距为2-a,根据题意得2-aa=2-a,解得a=2或a=1,故
2、选C.3.直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,则a,b,c应满足()A.ab0,bc0,bc0C.ab0D.ab0,bc0答案:A解析:因为直线ax+by+c=0经过第一、第二、第四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y=-abx-cb,易知-ab0,故ab0,bc0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.答案:16解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为xa+yb=1,又C(-2,-2)在该直线上,故-2a+-2b=1,所以-2(a+b)=ab.又ab0,故a0,b0.根据基本不等式ab=-2(a+b)4ab,从而ab0(舍去)或a
3、b4,故ab16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.6.一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线y=13x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是.答案:3x-y-33=0解析:因为直线y=13x的倾斜角为30,所以所求直线的倾斜角为60,即斜率k=tan 60=3.又该直线过点A(2,-3),故所求直线为y-(-3)=3(x-2),即3x-y-33=0.7.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行;(4)直线l与y轴垂
4、直.解:(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=17.(2)令x=0,得y=2m-62m2+m-1,根据题意可知2m-62m2+m-1=6,解得m=-13或m=0.(3)直线与y轴平行,则有m2-2m-30,2m2+m-1=0,解得m=12.(4)直线与y轴垂直,则有m2-2m-3=0,2m2+m-10,解得m=3.8.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).
5、若线段AB被点P平分,求直线l的方程.解:点B在直线l2:2x+y-8=0上,可设点B的坐标为(a,8-2a).点P(0,1)是线段AB的中点,点A的坐标为(-a,2a-6).又点A在直线l1:x-3y+10=0上,将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为x4+y1=1,即x+4y-4=0.能力提升9.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1,15B.-,12(1,+)C.(-,1)15,+D.(-,-1)12,+答
6、案:D解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=12,满足条件的直线l的斜率范围是(-,-1)12,+.10.已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,当AOB的面积取最小值时,直线l的方程为.答案:2x+3y-12=0解析:方法1:易知直线l的斜率k存在且k0,则直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0,b0),将点P(3,2)代入得3a+2b=126ab,即ab24,当且仅当3a=2b,即a=6,b=4时等号成立,又SAOB=12ab,所以
7、当a=6,b=4时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为x6+y4=1,即2x+3y-12=0.11.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.解:直线l的斜率为k,则k0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A1-1k,0,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=1-1+1k2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+1k22+2k21k2=4,当且仅当k2=1k2,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.高考预测12.过点A(1,4)引一条直线l,它与x轴、y轴的正半轴的交点分别为(a,0)和(0,b),当a+b取得最小值时,求直线l的方程.解:(方法一)由题意,设直线l:y-4=k(x-1),且k0,b0).由于l经过点A(1,4),故1a+4b=1,则a+b=(a+b)1a+4b=5+4ab+ba9,当且仅当4ab=ba,即b=2a时等号成立,此时a=3,b=6.故所求直线l的方程为x3+y6=1,即y=-2x+6.