1、考点规范练30等差数列及其前n项和考点规范练B册第18页基础巩固1.(2019河北唐山高三摸底考试)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a3+a11=4,则S13=()A.13B.26C.39D.52答案:B解析:由等差数列的性质可知,a1+a13=a3+a11=4,则S13=13(a1+a13)2=26,故选B.2.记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12答案:B解析:因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5
2、=a1+4d=-10.3.已知等差数列an的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.200C.210D.260答案:C解析:设an的前n项和为Sn.在等差数列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,30,70,S12-100成等差数列,270=30+S12-100,解得S12=210.4.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.21答案:C解析:a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则
3、an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.5.设Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,公差d=2,Sn+2-Sn=36,则n=()A.5B.6C.7D.8答案:D解析:(方法一)由题知Sn=na1+n(n-1)2d=n+n(n-1)=n2,Sn+2=(n+2)2,由Sn+2-Sn=36,得(n+2)2-n2=4n+4=36,所以n=8.(方法二)Sn+2-Sn=an+1+an+2=2a1+(2n+1)d=2+2(2n+1)=36,解得n=8.6.(2019广东汕头二模)记Sn为等差数列an的前n项和,若a1=1,2S3=
4、2a4+S2,则a8=()A.8B.9C.16D.15答案:D解析:由2S3=2a4+S2,得2(3a1+3d)=2(a1+3d)+(2a1+d),即2a1=d,d=2,故a8=a1+7d=15.7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.(注:“斤”非国际通用单位)答案:184解析:用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列
5、,且这8项的和为996,即8a1+87217=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.8.记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.能力提升9.(2019河北衡水高三下学期大联考)已知等差数列an的首项a1=31,公差为d(d为整数),若数列an的前8项和最大,则d=()A.-2B.-3C
6、.-4D.-5答案:C解析:由题意得a80,a90,即31+7d0,31+8d0,所以-317d0,d0,则S9=S10,且它们为Sn的最大值,故错误;S12-S7=a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,即S7=S12,故正确;S19=19(a1+a19)2=19a10=0,故正确.11.设数列an的前n项和是Sn,若点Ann,Snn在函数f(x)=-x+c的图象上运动,其中c是与x无关的常数,且a1=3.(1)求数列an的通项公式;(2)记bn=aan,求数列bn的前n项和Tn的最小值.解:(1)因为点Ann,Snn在函数f(x)=-x+c的图象上运动,所以Snn=-n+c,所以
7、Sn=-n2+cn.因为a1=3,所以c=4,所以Sn=-n2+4n,所以an=Sn-Sn-1=-2n+5(n2).又a1=3满足上式,所以an=-2n+5(nN*).(2)由(1)知,bn=aan=-2an+5=-2(-2n+5)+5=4n-5,故数列bn为等差数列.当n=1时,a1=-10,则Tn的最小值是T1=-1.12.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn,且满足a3a4=117,a2+a5=22.(1)求通项公式an;(2)求Sn的最小值;(3)若数列bn是等差数列,且bn=Snn+c,求非零常数c.解:(1)数列an为等差数列,a3+a4=a2+a5=22.又a3a4=11
8、7,a3,a4是方程x2-22x+117=0的两实根.又公差d0,a3a4,a3=9,a4=13,a1+2d=9,a1+3d=13,a1=1,d=4.通项公式an=4n-3.(2)由(1)知a1=1,d=4,Sn=na1+n(n-1)2d=2n2-n=2n-142-18.当n=1时,Sn最小,最小值为S1=a1=1.(3)由(2)知Sn=2n2-n,bn=Snn+c=2n2-nn+c,b1=11+c,b2=62+c,b3=153+c.数列bn是等差数列,2b2=b1+b3,即62+c2=11+c+153+c,2c2+c=0,c=-12(c=0舍去),故c=-12.高考预测13.已知各项均为正数
9、的等差数列an满足:a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有an的和:20n116;n能够被5整除.解:(1)a4=2a2,且a1,4,a4成等比数列,a1+3d=2(a1+d),a1(a1+3d)=16,解得a1=2,d=2.数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.(2)n同时满足:20n116;n能够被5整除,满足条件的n组成等差数列bn,且b1=20,d=5,bn=115,项数为115-205+1=20.bn的所有项的和为S20=2020+1220195=1 350.又an=2n,即an=2bn,满足条件的所有an的和为2S20=21 350=2 700.