1、习题课:天体运动基础巩固1.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是()A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小相等D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零解析双星系统的结构是稳定的,故它们的角速度相等,故B项错误;两个星球间的万有引力提供向心力,根据牛顿第三定律可知,两个天体的向心力大小相等,故C项正确;根据牛顿第二定律,有Gm1m2L2=m12r1=m22r2其中:r1+r2=L故r1=m2m1+m2Lr2=m1m1+m2L故v1v2=r1r2=m2m1故质量大的天体线速度较小,A错误;若在圆心处放
2、一个质点,合力F=Gm1m0r12-Gm2m0r22=Gm0(m1+m2)2L2(m1m22-m2m12)0,故D错误。答案C2.如图所示,宇宙飞船A在低轨道上飞行,为了给更高轨道的空间站B输送物资,它可以采用喷气的方法改变速度,从而达到改变轨道的目的,则以下说法正确的是()A.宇宙飞船A应沿运行速度方向喷气,与B对接后运行周期变小B.宇宙飞船A应沿运行速度的反方向喷气,与B对接后运行周期变大C.宇宙飞船A应沿运行速度方向喷气,与B对接后运行周期变大D.宇宙飞船A应沿运行速度的反方向喷气,与B对接后运行周期变小解析飞船由低轨道向高轨道运行时,需要提高在轨道上的运行速度,故应沿运行速度的反方向喷
3、气;由Gm地mr2=mr42T2可知,r增大,T变大,选项B正确。答案B3.如图所示,地球赤道上的山丘e、近地卫星p和同步卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、a2、a3,则()A.v1v2v3B.v1v2a2a3D.a1a3a2解析卫星的速度v=Gm地r,可见卫星距离地心越远,即r越大,则速度越小,所以v3v1=r1,选项A、B均错误。由Gm地mr2=ma,得a=Gm地r2,同步卫星q的轨道半径大于近地卫星p的轨道半径,可知q的向心加速度a3a2。由于同步卫星q的角速度与地球自转的角速度相同,即与地球赤道上的山丘e的
4、角速度相同,但q轨道半径大于e的轨道半径,根据a=2r可知a1TT,故A正确,B错误;嫦娥三号在由高轨道降到低轨道时,都要在P点进行“刹车制动”,所以经过P点时,在三个轨道上的线速度关系为vvv,所以C错误;由于嫦娥三号在P点时的加速度只与所受到的月球引力有关,故D正确。答案AD5.设地球半径为R,a为静止在地球赤道上的一个物体,b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,c为地球的一颗同步卫星,其轨道半径为r。下列说法正确的是()A.a与c的线速度大小之比为rRB.a与c的线速度大小之比为RrC.b与c的周期之比为rRD.b与c的周期之比为RrRr解析物体a与同步卫星c角速度相等,由v=r可
5、得,二者线速度之比为Rr,选项A、B均错误;而b、c均为卫星,由T=2r3Gm地可得,二者周期之比为RrRr,选项C错误,D正确。答案D6.有a、b、c、d四颗地球卫星,a在地球赤道上未发射,b在地面附近近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图,则有()A.a的向心加速度等于重力加速度gB.b在相同时间内转过的弧长最长C.c在4 h内转过的圆心角是6D.d的运行周期有可能是20 h解析对于卫星a,根据万有引力定律、牛顿第二定律列式可得Gm地mr2-FN=ma向,又因为Gm地mr2=mg,故卫星a的向心加速度小于重力加速度g,选项A错误;由Gm地mr2=mv2r
6、得,v=Gm地r,故轨道半径越小,线速度越大,故b、c、d三颗卫星的线速度的大小关系为vbvcvd,而卫星a与同步卫星c的周期相同,故卫星c的线速度大于卫星a的线速度,选项B正确;由c是地球同步卫星,可知卫星c在4h内转过的圆心角是3,选项C错误;由Gm地mr2=m2T2r得,T=2r3Gm地,轨道半径越大,周期越大,故卫星d的周期大于同步卫星c的周期,选项D错误。答案B7.太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统,它们运行的原理可以理解为,质量为m0的恒星和质量为m的行星(m0m),在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示,我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做
7、匀速圆周运动(图中没有表示出恒星)。设引力常量为G,恒星和行星的大小可忽略不计。(1)试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置。(2)试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。解析(1)恒星运动的轨道和位置大致如图。(2)对行星m有F=m2Rm对恒星m0有F=m02Rm0根据牛顿第三定律,F与F大小相等由得Rm0=mm0a对恒星m0有m0v2Rm0=Gm0m(Rm+Rm0)2代入数据得v=mm0+mGm0a。答案见解析8.某宇宙飞船由运载火箭先送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道,在B点实施变轨后,再进入预定圆轨道,如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t,近地点A距地面高度为h1,
8、地球表面重力加速度为g,地球半径为R。求:(1)飞船在近地点A的加速度aA为多大?(2)远地点B距地面的高度h2为多少?解析(1)设地球质量为m地,飞船的质量为m,在A点飞船受到的地球引力为F=Gm地m(R+h1)2,地球表面的重力加速度g=Gm地R2由牛顿第二定律得aA=Fm=Gm地(R+h1)2=gR2(R+h1)2。(2)飞船在预定圆轨道飞行的周期T=tn由牛顿第二定律得Gm地m(R+h2)2=m2T2(R+h2)解得h2=3gR2t242n2-R。答案(1)gR2(R+h1)2(2)3gR2t242n2-R能力提升1.(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒
9、星,甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行,若三颗星质量均为m,万有引力常量为G,则()A.甲星所受合外力为5Gm24R2B.乙星所受合外力为Gm2R2C.甲星和丙星的线速度相同D.甲星和丙星的角速度相同解析由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力大小均为F1=GmmR2,甲、丙之间的万有引力为F2=Gmm(2R)2=Gm24R2,甲星所受两个引力的方向相同,故合力为F1+F2=5Gm24R2,选项A正确;乙星所受两个引力等大、反向,合力为零,选项B错误;甲、丙两星线速度方向始终不同,选项C错误;由题知甲、丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,选项D正确。答案AD2.a是地球
10、赤道上一栋建筑,b是在赤道平面内做匀速圆周运动的卫星,c是地球同步卫星,已知c到地心距离是b的二倍,某一时刻b、c刚好位于a的正上方(如图所示),经48 h,a、b、c的大致位置是图中的()解析在某时刻c在a的正上方,则以后永远在a的正上方,对b和c,根据Gm地mr2=m42T2r,推知Tc=22Tb,又由2Tc=nbTb,得nb=2225.66圈,所以B正确。答案B3.嫦娥三号环月变轨的示意图如图所示。在圆轨道运行的嫦娥三号通过变轨后绕圆轨道运行,则下列说法中正确的是()A.嫦娥三号在轨道的线速度大于在轨道的线速度B.嫦娥三号在轨道的角速度大于在轨道的角速度C.嫦娥三号在轨道的运行周期大于在
11、轨道的运行周期D.嫦娥三号由轨道通过加速才能变轨到轨道解析嫦娥三号在轨道和轨道都做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,则有Gm月mr2=mv2r=m2r=m42T2r,解得:v=Gm月r,=Gm月r3,T=2r3Gm月,因r1r2,故嫦娥三号在轨道的线速度小于在轨道的线速度,嫦娥三号在轨道的角速度小于在轨道的角速度,嫦娥三号在轨道的运行周期大于在轨道的运行周期,故A、B错误,C正确;由高轨道变轨到低轨道做近心运动,需要万有引力大于向心力,所以由轨道通过减速才能变轨到轨道,故D错误。答案C4.(2020山东潍坊期中)2020年3月27日记者从中国科学院国家天文台获悉,经过近两年观测研究,天文学家通
12、过俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜(FAST),在武仙座球状星团(M13)中发现一个脉冲双星系统。如图所示双星系统由两颗恒星组成,两恒星在万有引力的作用下,分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。下列说法正确的是()A.m1一定小于m2B.轨道半径为r1的星球线速度更大C.若双星的质量一定,双星间距离越大,其转动周期越大D.只要测得双星之间的距离L和双星周期T,即可计算出某一颗星的质量解析线速度v=2rT,双星的周期相同,r2r1,所以,v2v1,B错误;对m1可得Gm1m2L2=m142T2r1,m2=42r1L2GT2,对m2可得Gm1m2L2=m242T2r2,m1
13、=42r2L2GT2,故D错误;m1m2=r2r1,r2r1,所以m1m2,故A错误;m1+m2=42L3GT2,所以,当双星质量一定时,双星间的距离越大,周期越大,C正确。答案C5.宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统。其中有一种三星系统如图所示,三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点,三角形边长为R。忽略其他星体对它们的引力作用,三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动,引力常量为G。则每颗星做圆周运动的周期为多大?解析任意两个星体之间的万有引力F=GmmR2,每一颗星体受到的合力F1=3F由几何关系知,它们的轨道半径r=33R合力提供它们的向心力3GmmR2=m42rT2解得
14、T=2R33Gm。答案均为2R33Gm6.(2020福建厦门模拟)如图所示,质量分别为m和m的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动,星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线,星球A和B分别在O的两侧。引力常量为G。(1)求两星球做圆周运动的周期;(2)在地月系统中,若忽略其他星球的影响,可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时,常常认为月球是绕地心做圆周运动的,这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.981024 kg和7.351022 kg。求T2与T1两者二次方之比。(计算结果保留四
15、位有效数字)解析(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动,其角速度相同,周期也相同,其所需向心力由两者间的万有引力提供,设A、B的轨道半径分别为r1、r2,由牛顿第二定律知:对B有GmmL2=m42T2r2对A有GmmL2=m42T2r1又r1+r2=L联立解得T=2L3G(m+m)(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点做匀速圆周运动,地月距离设为L,由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2L3G(m地+m月)若认为月球围绕地心做匀速圆周运动,由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm地m月L2=m月42T22L解得T2=2L3Gm地则T2T1=m地+m月m地故T22T12=m地+m月m地=1.012。答案(1)2L3G(m+m)(2)1.012