1、开卷速查(三十六)基本不等式A级基础巩固练12014重庆若log4(3a4b)log2，则ab的最小值是()A62B72C64 D74解析：因为log4(3a4b)log2，所以log4(3a4b)log4(ab)，即3a4bab，且即a0，b0，所以1(a0，b0)，ab(ab)77274，当且仅当时取等号，故选D。答案：D2若正实数x，y满足xy5，则xy的最大值是()A2 B3C4 D5解析：xy，x0，y0，xy5.设xyt，即t5，得到t25t40，解得1t4，xy的最大值是4。答案：C32016马鞍山模拟设x0，y0，且2xy6，则9x3y有()A最大值27 B最小值27C最大值5
2、4 D最小值54解析：因为x0，y0，且2xy6，所以9x3y22254，当且仅当x，y3时，9x3y有最小值54。答案：D4若正数a，b满足1，则的最小值为()A1 B6C9 D16解析：方法一：因为1，所以abab(a1)(b1)1，所以2 236。方法二：因为1，所以abab，b9a10(b9a)1016106。方法三：因为1，所以a1，所以(b1)2236。答案：B5设a0，b0，若是3a与32b的等比中项，则的最小值为()A8B4C1D.解析：由题意可知33a32b3a2b，即a2b1。因为a0，b0，所以(a2b)4248，当且仅当，即a2b时取“”。答案：A62016黄冈模拟若实
3、数x，y，z满足x2y2z22，则xyyzzx的取值范围是()A1,2 B1,2C1,1 D2,2解析：因为(xy)2(xz)2(yz)20，所以x2y2z2xyxzyz，所以xyyzzx2。又(xyz)2x2y2z22(xyyzxz)0，所以xyxzyz(x2y2z2)1。综上可得：1xyxzyz2。故选A。答案：A7已知正数x，y满足x2y2，则的最小值为_。解析：由已知得1，则(102)9，当且仅当x，y时取等号。答案：98已知x，y为正实数，3x2y10，的最大值为_。解析：由 得 2，当且仅当x，y时取等号。答案：292016青岛模拟下列命题中正确的是_(填序号)。y23x(x0)的
4、最大值是24；ysin2x的最小值是4；y23x(x0)的最小值是24。解析：正确，因为y23x222 24。当且仅当3x，即x时等号成立。不正确，令sin2xt，则0t1，所以g(t)t，显然g(t)在(0,1上单调递减，故g(t)ming(1)145。不正确，因为x0，所以x0，最小值为24，而不是24。答案：10已知f(x)。(1)若f(x)k的解集为x|x3或x2，求k的值；(2)若对任意x0，f(x)t恒成立，求实数t的范围。解析：(1)f(x)kkx22x6k0，由已知其解集为x|x3，或x2，得x13，x22是方程kx22x6k0的两根，所以23，即k。(2)x0，f(x)，由已
5、知f(x)t对任意x0恒成立，故实数t的取值范围是。B级能力提升练112016太原模拟正数a，b满足1，若不等式abx24x18m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A3，) B(，3C(，6 D6，)解析：因为a0，b0，1，所以ab(ab)1010216，由题意，得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，而x24x2(x2)26，所以x24x2的最小值为6，所以6m，即m6。答案：D122016吉林模拟已知各项均为正数的等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为()A. B.C. D.解析：由各项均为正数的等比数列an满足a7a62a
6、5，可得a1q6a1q52a1q4，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)。因为4a1，所以qmn216，所以2mn224，所以mn6，所以(mn)(54)。当且仅当，即m2，n4时，等号成立，故的最小值等于。答案：A13如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?解析：方法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k为比例系数
7、，且k0，依题意，即所求的a，b值使y最小。据题意有：4b2ab2a60(a0，b0)，所以b(0a30)。所以abaa323434218。当a2时取等号，y达到最小值。此时解得a6，b3。答：当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。方法二：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y，其中k为比例系数，且k0，依题意，即所求的a，b值使y最小。据题意有：4b2ab2a60(a0，b0)，即2baba30，因为a2b2，所以30aba2b2。所以ab2300。因为a0，b0，所以0ab18，当a2b时取等号，ab达到最大值18。此时解得a6，b3。答：当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。142015郑州模拟若a0，b0，且。(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由。解析：(1)因为a0，b0，且，所以2 ，所以ab2，当且仅当ab时取等号。因为a3b3224，当且仅当ab时取等号，所以a3b3的最小值为4。(2)由(1)可知，2a3b2246，故不存在a，b，使得2a3b6成立。
