1、2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等难度.1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇
2、函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果函数f(x)是奇函数或偶函数，则f(x)的定义域关于原点对称2已知函数f(x)满足下列条件，你能否得到函数f(x)的周期？(1)f(xa)f(x)(a0)(2)f(xa)(a0)(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|；(2)T2|a|；(3)T|ab|.3
3、若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)f(2ax)，或f(ax)f(ax)，则函数f(x)关于直线xa对称题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数yx2，x(0，)是偶函数()(2)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()题组二教材改编2下列函数中为奇函数的是_(填序号)f(x)2x43x2；f(x)x32x；f(x)；f(x)x31.答案3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，
4、且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.答案2解析f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.4.设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_答案(2,0)(2,5解析由图象可知，当0x0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5题组三易错自纠5函数f(x)是_函数(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案奇解析由得1x0或0x0，且a1)；(4)f(x)解(1)由于f(x)x3x，x1,4的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函
5、数(2)f(x)的定义域为(2,2)，f(x)lnlnf(x)，函数f(x)为奇函数(3)f(x)的定义域为x|xR，且x0，其定义域关于原点对称，并且有f(x)1f(x)即f(x)f(x)，f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2018全国)已知函数f(x)ln(x)1，f(a)4，则f(a)_.答案2解析f(x)f(x)ln(x)1ln(x)1ln
6、(1x2x2)22，f(a)f(a)2，f(a)2.(2)若函数f(x)在区间4,4上的最大值、最小值分别为p，q，则pq的值为_答案6解析f(x)3，x4,4，令h(x)，则h(x)为奇函数，h(x)maxh(x)min0，f(x)maxf(x)min6，即pq6.命题点3函数的对称性例3已知函数f(x)的定义域为R，当x2,2时，f(x)单调递减，且函数yf(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()Af()f(3)f()Bf()f()f(3)Cf()f(3)f()Df()f()f(3)答案C解析yf(x2)为偶函数，f(x2)f(x2)，f(3)f(1)，f()f(4)041f(1)f()，
7、f()f(3)f()，故选C.思维升华 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f(xa)为偶函数(奇函数)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(关于点(a,0)对称)跟踪训练1(1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是()Af(x)xsin 2x Bf(x)x2cos xCf(x)3x Df(x)x2tan x答案D解析对于选项A，函数的定义域为R，f(x)xsin 2(x)(xsin 2x)f(x)，所以f(x)xsin
8、 2x为奇函数；对于选项B，函数的定义域为R，f(x)(x)2cos(x)x2cos xf(x)，所以f(x)x2cos x为偶函数；对于选项C，函数的定义域为R，f(x)3xf(x)，所以f(x)3x为奇函数；只有f(x)x2tan x既不是奇函数也不是偶函数故选D.(2)设f(x)exex，g(x)exex，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是()A|g(x)|是偶函数 Bf(x)g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数 Df(x)g(x)是奇函数答案D解析f(x)exexf(x)，f(x)为偶函数g(x)exexg(x)，g(x)为奇函数|g(x)|g(x)|g(x)
9、|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)g(x)2ex，f(x)g(x)2exf(x)g(x)，所以f(x)g(x)不是奇函数，D错误，故选D.(3)设函数f(x)在1，)上为增函数，f(3)0，且g(x)f(x1)为偶函数，则不等式g(22x)0的解集为_答案(0,2)解析由已知g(x)在0，)上为增函数，g(2)0，又g(x)为偶函数，g(22x)0可化为g(22x)g(2)，|22x|2，22x22，解得0x2. 函
10、数的周期性1设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x1,1)时，f(x)则f_.答案1解析ff4221.2已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)2，且对任意的x都有f(x2)，则f(2 020)_.答案2解析由f(x2)，得f(x4)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f(2 020)f(4)因为f(22)，所以f(4)2.故f(2 020)2.3(2019石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x)f(2x)，当x0,1时，f(x)4x1，则f_.答案1解析因为f(x)f(2x)，所以ff，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以fff.因为当x0,1时，f(x)4x
11、1，所以f11，则f1.4设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：f(x)f(x)0；f(x)f(x2)；当0x1时，f(x)2x1，则ff(1)ff(2)f_.答案1解析依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)f(1)0，f(1)f(1)，即f(1)0.ff(1)ff(2)ff0ff(0)ffff(0)fff(0)12011.思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题 函数性质的综合应用命题点1函数的奇偶性与单调性相结合例4(2017全国改编)函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(
12、x2)1的x的取值范围是_答案1,3解析因为函数f(x)在(，)上单调递减，且f(1)1，所以f(1)f(1)1，由1f(x2)1，得1x21，所以1x3.命题点2函数的奇偶性与周期性相结合例5设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间2,0)(0,2上，f(x)则f(2 019)_.答案解析设0x2，则2xf()，则a的取值范围是_答案解析f(2|a1|)f()f()，又由已知可得f(x)在(0，)上单调递减，2|a1|，|a1|，a0.给出下列命题：f(3)0；直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴；函数yf(x)在9，6上为增函数；函数yf(x)在9,9上有四个零点其中所有正确
13、命题的序号为_答案解析f(36)f(3)f(3)又f(x)是R上的偶函数，所以f(3)0，故正确；由知f(x6)f(x)，所以f(x)的周期为6.又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x6)f(x)，而f(x)的周期为6，所以f(x6)f(6x)，f(x)f(x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴故正确；当x1，x20,3，且x1x2时，都有0，所以函数yf(x)在0,3上为增函数因为f(x)是R上的偶函数，所以函数yf(x)在3,0上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数yf(x)在9，6上为减函数故错误；f(3)0，f(x)的周期为6，所以f(9
14、)f(3)f(3)f(9)0，所以函数yf(x)在9,9上有四个零点故正确1(2019合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx3 By|x|1Cyx21 Dy2|x|答案B解析y|x|1是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合题意2已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A B C D答案D解析由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知正确
15、，故选D.3已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x0时，f(x)x(1x)，那么当x0时，f(x)等于()Ax(1x) Bx(1x)Cx(1x) Dx(1x)答案B解析当x0，f(x)(x)(1x)，又f(x)f(x)，f(x)x(1x)5已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 021)等于()A4 B2 C2 Dlog27答案C解析函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，f(2 021)f(45051)f(1)f(1)1，且当x时，f(x)log2(3x1)，f(1)log23(1)12，f(2 02
16、1)f(1)2.6已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案A解析由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)7若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.答案解析函
17、数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln(1e3x)ln e3xaxln(e3x1)ax，即3xaxax，所以2ax3x0恒成立，所以a.8已知yf(x)x2是奇函数，且f(1)1，若g(x)f(x)2，则g(1)_.答案1解析令H(x)f(x)x2，则H(1)H(1)f(1)1f(1)10，f(1)3，g(1)f(1)21.9(2019广东六校联考)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且f(x)其中aR，若f(5)f(4.5)，则a_.答案2.5解析由f(x1)f(x1)，得f(x2)f(x1)1f(x1
18、)1f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数又f(5)f(4.5)，所以f(1)f(0.5)，即1a1.5，解得a2.5.10设奇函数f(x)在(0，)上是增函数，且f(1)0，则不等式xf(x)f(x)0的解集为_答案x|1x0或0x1解析f(x)f(x)，不等式xf(x)f(x)0可化简为xf(x)0，又f(1)0，f(1)0，奇函数f(x)在(0，)上是增函数，从而函数f(x)的大致图象如图所示，则不等式xf(x)f(x)0的解集为x|1x0或0x111已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解(1)设x0，所以f(x
19、)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 023)_.答案1解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 023)f(50641)f(1)因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).由f(x)0，得f(1)1，所以f(2 023)f(1)1.14(2019湖北鄂州三校联考)若函数f(x2)为
20、奇函数，f(2)0，且f(x)在区间2，)上单调递减，则不等式f(3x)0的解集为_答案(5，)解析因为函数f(x2)为奇函数，所以f(x2)图象的对称中心为点(0,0)因为f(x)的图象可由f(x2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(2,0)对称因为f(x)在2， )上单调递减，所以f(x)在( ，2上也单调递减因为f(3x)0f(2)，所以3x5.15(2019河北保定两校联考)对于函数yf(x)，若存在x0，使f(x0)f(x0)0，则称点(x0，f(x0)是曲线f(x)的“优美点”已知f(x)若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k的取值范围为_答案(，22解析由
21、“优美点”的定义，可知若点(x0，f(x0)是曲线yf(x)的“优美点”，则点(x0，f(x0)也在曲线yf(x)上如图所示作出函数yx22x(x0)设过定点(0,2)的直线yk1x2与曲线yf(x)x22x(x0)切于点A(x1，f(x1)，则k12x12，解得x1或x1(舍去)，所以k122.由图可知，若曲线yf(x)存在“优美点”，则k22.16若f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且当x0,1)时f(x)为增函数，求不等式f(x)f0的解集解f(x)为奇函数，且在0,1)上为增函数，f(x)在(1,0)上也是增函数f(x)在(1,1)上为增函数f(x)f0f(x)ffx.不等式f(x)f0的解集为.