1、第1章 常用逻辑用语1.1 命题及其关系自我检测1解：（1）是命题，它是能作出真假判断的语句，因为12=34，所以它是一个真命题；（2）是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题，因为没有考虑“在同一个三角形中”这个条件；（3）不是命题，因为没有作出判断，疑问句不是命题；（4）是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题，因为1既不是质数也不是合数。 2（1）原命题：若a=0，则ab=0；逆命题: 若ab=0，则a=0；否命题: 若a0，则ab0；逆否命题: 若ab0，则a0；（2）原命题：对角线相等的平行四边形是矩形，逆命题：如果一个平行四边形是矩形，那么这个平行四边形的对角线相等
2、，否命题：对角线不相等的平行四边形不是矩形，逆否命题：如果一个平行四边形不是矩形，那么这个平行四边形的对角线不相等。 3（1）充分非必要 （2）充分非必要 （3）必要非充分 （4）充要4（1）必要非充分。提示：（1-|x|）(1+x)0的解集为， |x|0，所以=1+4m0, x2+x-m=0有实根，故原命题是真命题，逆否命题也是真命题 6逆命题：若x2y2，则xy，真命题；否命题：若x=y，则x2=y2，真命题；逆否命题：若x2=y2，则x=y，假命题 7（1）p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；（2）p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件8（1）（C） （2）（D） （
3、3）（A） （4）（F）9充分不必要条件。提示：由能推出，但不能推出 ，如取a=1.5，b=0.8 10必要条件 11必要不充分12充分不必要条件 13必要不充分 14充分不必要 15充分不必要 16 k0，则x0；逆命题：若x0，则x+y0；逆否命题：若x0，则x+y0.19原命题：若一个整数的末位数是0，则这个整数可以被5整除；逆命题：若一个整数可以被5整除，则这个整数的末位数是0；否命题：若一个整数的末位数不是0，则这个整数不能被5整除；逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数不是0。20原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数；逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数；
4、否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数；逆否命题：若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数。21（1）、（4） 22假命题有2个，真命题有2个23逆命题：若AB=A，则AB，真命题 24逆命题：当a0时，若-axa，则|x|0时，若|x|a，则x-a或xa，真命题；逆否命题：当a0时，若x-a或xa，则|x|a，真命题。2526充分不必要条件。提示：只要P在圆x2+y2=2的弧AB和弧CD（除去点A、B、C、D）上，都有APD=BPC。27s是p的必要条件 r是q的充要条件 在p、q、s、r中，q与s、s与r、r与q三对互为充要条件28。提示：利用集合间关系、数形结合求解 29（1）当a
5、=0时，ax2+2ax+10即为10，不等式的解集为R，符合题意；（2）当a0时，因为ax2+2ax+10的解集为R ，所以有，解得0a7；7=7。逻辑联结词：或(4)简单命题：三角形是等腰三角形；三角形是直角三角形。逻辑联结词：且(5)简单命题：方程x2+1=0有实数根。逻辑联结词：非2（1）p或q：0N或6N；p且q：0N且6N；非p：0N。因为命题p、q都是真命题，所以复合命题“p或q”、“p且q”都是真命题，复合命题“非p”是假命题。（2）p或q：3.14或3 4；p且q：3.14且3 4；非p：1或e；p且q：-31且e；非p：-31。因为命题p是假命题，命题q是真命题，所以复合命题
6、“p或q” 是真命题，复合命题“p且q” 是假命题，复合命题“非p” 是真命题。课后巩固练习1（3） 2（4） 3（2） 4（2） 5假；真 6真命题是：非p ，p或q ；假命题是：p且q，非q 7（1） 8（1） 9（2） 10(3)11（1）命题是p或q的形式，假 p：54；q：5=4。（2）这个命题是p且q的形式，假 p：平行四边形的对角线互相垂直；q：平行四边形的对角线互相平分。（3）这个命题是非p的形式，假 p：方程x2-6x-3=0有实数解。12小于900的角有锐角、零角和负角，p假 q真，所以 “p或q”真，填（4）13（1）这个命题是p或q的形式， p：8是30的约数；q：6是
7、30的约数。 （2）这个命题是p且q的形式， p：矩形的对角线互相垂直；q：矩形的对角线互相平分。 （3）这个命题是非p的形式， p：方程x2+x+1=0有实数根。14命题A“两次都击中飞机”可表示为：p1且p2；命题B“两次都没有击中飞机” 可表示为：非p1且非p2；命题 C“恰有一次击中飞机” 可表示为：非p1且p2或p1且非p2；命题D“至少有一次击中了飞机” 可表示为：p1且p2或 非p1且p2或p1且非p2（p1或p2 ）15. (1)、(3)1.3 全称量词与存在量词自我检测1（1）全称量词：每一 （2）存在量词：有时 （3）全称量词：所有 （4）存在量词：有些 2（1）“小学生的
8、年龄都在6岁以上”的否定是“有的小学生的年龄不在6岁以上”；（2）“有的同学乘公共汽车” 的否定是“所有的同学都不乘公共汽车”；（3）“钝角都相等”的否定是“有些钝角不相等”；（4）“我们班上有的学生不会跳绳”的否定是“我们班上所有的学生都会跳绳”。课后巩固练习1（1）是存在性命题；（2）是全称命题；（3）是存在性命题；（4）是全称命题。2（1）因为2x2-x+5的=1-40=-390恒成立。故“xR，2x2-x+50”是真命题； （2）因为当x=1时，x3x2不成立，所以“xN，x3x2”是假命题；（3）因为使x2=2成立的数只有，而它们都不是有理数，所以“xQ,x2=2”是假命题； （4）
9、因为1与7是7的约数，所以“xN*，使x为7的约数” 是真命题。3（1）“四边形的内角和是3600”的否定是“存在这样的四边形，它的内角和不是3600”；（2）“相似三角形都是全等三角形”的否定是“有些相似三角形不是全等三角形”；（3）“一元二次方程没有实数解”的否定是“有的一元二次方程有实数解”；（4）“有的实数没有算术根”的否定是“所有的实数都有算术根”。（5）“所有菱形都是正方形”的否定是“存在一个菱形，它不是正方形”； （6）“xR，x2+2x+40” 的否定是“xR，x2+2x+40”；（7）“质数都是奇数”是指所有的质数都是奇数，它的否定是“存在一个质数，它不是奇数”；（8）“xR
10、，x2+2x+4=0” 的否定是“xR，x2+2x+40”。4（1）是全称命题；（2）是全称命题 5（1）假；（2）真6（1）“矩形的对角线互相平分” 是全称命题，真命题；（2）“有一个偶数是质数” 是存在性命题，真命题。（3）“一切正方形是矩形”是全称命题，真命题7（1）x=-1R ，但-10”是假命题。（2）当x=2时，x2+2x-3=50，“xR，x2+2x-30”是假命题。8（1）“xR，2x2-x+40”的否定是“xR，2x2-x+40”，假命题；（2）“x0，2，4，4x-20”的否定是“x0，2，4，4x-20”， 真命题；（3）“xN,x2+x+22x+2” 的否定是“xN,x
11、2+x+22x+2” ，假命题；（4）“xN*，使x为11的约数” 的否定是“xN*，x为11的约数”，假命题。9（1）“矩形的对角线相等” 的否定是“有矩形的对角线不相等”，假命题；（2）“平行直线的倾斜角相等” 的否定是“存在平行的直线，它们的倾斜角不相等”，假命题；（3）“3是方程x2-9=0的根” 的否定是“3不是方程x2-9=0的根”，假命题；（4）“有些三角形是直角三角形”的否定是“任意三角形都不是直角三角形”，也就是“没有一个三角形是直角三角形”，或者是“没有直角三角形”，假命题10（1）“nM，都有n12”的否定是“nM，使n12”，真命题；（2）“奇数m，使mM”的否定是“奇
12、数m，都有mM”，假命题。单元自我检测一、填空题1 可以判断真假的陈述句2逆否命题 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题30 ，仅仅是充分条件 ，仅仅是充分条件；，仅仅是充分条件4 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性5充分不必要条件6充分不必要条件 ， ，充分不必要条件7若至少有一个为零，则为零8充分条件 9必要条件；充分条件；充分条件，10 恒成立，当时，成立；当时， 得；11必要条件 左到右来看：“过不去”，但是“回得来”12真13.14.二、解答题15（本题16分）解：（1） ；假，真； -4分 （2） 每一个素数都不是偶数；真，假； -8分（3） 存在一个正整数不是质数且
13、不是合数；假，真； -12分（4） 存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆；真，假-16分16（本题12分）解：真命题：（2）（6），假命题：（1）（3）（4）（5） -12分17（本题14分）证明：恒成立 -14分18（本题16分）解： -5分 -10分 而，即 -16分19（本题16分）解：若 , ,显然在上没有零点, 所以 . 令 , 解得 当 时, 恰有一个零点在上; 当，即时，在上也恰有一个零点. 当在上有两个零点时, 则 或解得或综上若函数在区间上有零点则 或 ；又当 或 时，函数在区间上有零点。故函数在区间上有零点的充要条件是 或 20. （本题16分）证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，则：=-=0，（n=1,2,3,）成立；又=6（常数）（n=1,2,3,）数列为等差数列。 -6分充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1,2,3,）， 得：= 从而有得：，由得：（n=1,2,3,），由此，不妨设（n=1,2,3,），则（常数）故从而得：，故（常数）（n=1,2,3,），数列为等差数列。 综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1,2,3,）。 -16分