1、黑龙江省大庆实验中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合=，=，则等于（ ）A（1,2）BCD2复数（i为虚数单位），则z等于（ ）ABCD3函数的定义域为（ ）ABCD4对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ） 线性相关系数为 线性相关系数为 线性相关系数为 线性相关系数为A B C D5已知在等比数列中，则（ ）ABCD6下列说法中正确的是（ ）A平行向量不一定是共线向量B单位向量都相等C若满足且与同向，则D对于任意向量，必有 7若，则（ ）A B C或 D或8函数 图象大致为( )AB
2、CD 9若把单词“error的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）A17B18C19D2010已知函数，若的最小值，且的图象关于点对称，则函数的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ）ABCD11魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为：4. 在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为12设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”现有下面四个关于“似周期函数”的
3、命题：如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；函数是“似周期函数”；如果函数是“似周期函数”，那么或以上正确结论的个数是（ ）A0B1C2D3二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_.14已知向量，则在方向上的投影为_.15在展开式中，的偶数次幂项的系数之和为8，则_.16函数满足，当时，方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为_三、 解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出直线的普
4、通方程和曲线的参数方程：（2）P为曲线上任一点，Q为直线上任一点，且直线PQ与所成角为30，求的最大值与最小值.18（本题12分）已知向量，函数.（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间.19（本题12分）从某小组的5名女生和n名男生中任选3人去参加速滑比赛.(1)求n;(2)求所选3人中男生人数的分布列及数学期望.20（本题12分）若函数(，)满足下列条件：的图像向左平移个单位时第一次和原图像重合，对任意的都有成立.（1）求的解析式；（2）若锐角的内角满足，且角B的对边，求的周长的取值范围.21（本题12分）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像
5、孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产
6、品的性能指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.16.3024.870.411.64表中，.根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（i）建立关于的回归方程；（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取）.参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.22.（本题12分）已知正实数a，函数，
7、（1）讨论函数的单调性；（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为若，求的取值范围大庆实验中学20202021学年度上学期第一次月考高三数学（理）试题参考答案四、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）DCBBD DCCCC CC五、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 14 15 16六、 解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本题10分）【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的参数方程为；（2）最大值为；最小值为.【解析】（1）直线的参数方程为（为参数），故其普通方程为：；曲线的极坐标方程为，故可得，曲线的直角坐标方程为：，曲线的参数
8、方程为（2）由（1）不妨设点坐标为，点到直线的距离为，根据题意可得，故可得.18（本题12分）【答案】（1）；（2）【解析】（1），.即的最小正周期是.（2）19（本题12分）【答案】（1）4；（2）见解析.【解析】（1）n=4（2）随机变量的可能取值有、，.所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，随机变量的数学期望为.20【答案】（1）.（2）【解析】（1）由题意可得：最小正周期，由，解得：， ， 且，又，. （2），而，又， ，即周长.21【答案】（1）每件产品的平均销售利润4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费.【解析】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5
9、，3.5，5.5，由直方图可得，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，所以，所以随机变量的分布列为：1.53.55.50.150.450.4所以，故每件产品的平均销售利润为4元；（2）（i）由得，令，则，由表中数据可得，则，所以，即，因为，所以（ii）设年收益为万元，则，设，则，当时，在单调递增，当时，在单调递减，所以，当，即时，有最大值为768，即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.22.【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】（1）.，.当，即时，在上单调递减；当，即时，当时，；当时，在上减，在上增.综上：当时，在上减；当时，在上减，在上增.（2）是的极值点，即，解得：或（舍），此时，.方程为：，令，得：；同理可得：.，整理得：，又，则，解得：，.令，则，设，在上单调递增，又，即的取值范围为