1、考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积一、选择题1.(2022江西萍乡二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.3B.2C.1D.2.(2022山西临汾二模)如图所示,网格中小正方形边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.B.C.D.3.(2022新疆二模)如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的侧面积等于()A.10+2B.6+2()C.6+2()D.10+2()4.我国古代数学家利用“牟合方盖”(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形
2、成“牟合方盖”的一种模型,它的正视图、侧视图、俯视图依次是()A.B.C.D.5. (2022辽宁模拟预测)如图所示,在平面五边形ABCDE中,AB=DE=1,BC=CD=2,AE=,ABC=BCD=CDE=90,则五边形ABCDE绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为()A.B.7C.D.6.(2022新高考4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上
3、升到157.5 m时,增加的水量约为(2.65)()A.1.0109 m3B.1.2109 m3C.1.4109 m3D.1.6109 m37.(2022江西二模)已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的四个面中面积的最大值为()A.B.2C.D.8.(2022北京首都师大附中开学考试)如图所示,将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起,使正方体的一个顶点正好是球的球心,则这个组合体的体积为()A.+1B.+C.+1D.+19.(2022江苏二模)已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为2,高为6,则球O的表面积为()A.32B.48C.64D.8010.(2022山
4、西二模)已知圆柱两个底面圆的圆心分别是O1,O2,圆柱的高O1O2=8,圆O1、圆O2都在球O的表面上,且球O的表面积是圆柱O1O2侧面积的2倍,则球O的半径为()A.4B.32C.4D.411.在三棱锥P-ABC中,PAC是等边三角形,平面PAC平面ABC,AB=,AC=2,CAB=60,则三棱锥P-ABC的外接球体积为()A.B.C.D.12.(2022江西景德镇三模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A.B.32C.D.64二、填空题13.(2022山西怀仁一中二模)已知圆锥顶点为P,底面的中心为O,过直线OP的平面截该圆锥所得的截面是面积为3的正三角形,则该圆锥的
5、体积为.14.(2022江西上饶一中二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.15.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为.16. 如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将DAP绕直线DP翻转至DAP处,使得平面APD平面PDCB,则三棱锥A-DPB的外接球的表面积是.考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积1. C解析: 由三视图可知,该几何体为如下图所示的三棱锥A-BCD,VA-BCD=3=1.故选C.2. C解析: 根据三视图可知,几何体是正方体切掉了一个三棱锥.故体积为2
6、3-111=.故选C.3. C解析: 由三视图可知,这个几何体是底面为直角梯形的棱锥(如图所示),因为PB=2,BC=2,PC=2,所以PCBC,所以其侧面积为(22+22+22+42)=6+2+2.故选C.4.C解析: 由三视图的定义可知:正视图为;侧视图为;俯视图为.故选C5. D解析: 如图所示,由题意可知五边形ABCDE可看作正方形BCDF切去一个等腰直角三角形AEF,得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥,设圆柱和圆锥的体积分别为V1,V2,所以五边形ABCDE绕直线AB旋转一周所成的几何体的体积为V=V1-V2=222-121=.故选D.6.C解析: 由题意可得,此棱台的高h=157.
7、5-148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0 km2=1.4108 m2,S2=180.0 km2=1.8108 m2,故该棱台的体积V棱台=h(S1+S2+)=9(1.4108+1.8108+)1.4109(m3),即增加的水量约为1.4109 m3.故选C.7. B解析: 由三视图作出原几何体的直观图如图所示.由三视图可知AB平面BCD,且AB=BC=2,BD=CD=,则BD2+CD2=BC2,所以BDCD,所以SBCD=BDCD=1,因为BD,BC平面BCD,则ABBD,ABBC
8、,SABD=ABBD=,SABC=BCAB=2,AD=,AC=2,所以AD2+CD2=AC2,所以ADCD,SACD=CDAD=,因此该三棱锥的四个面中面积的最大值为2.故选B.8.A解析: 由题意,该组合体的体积可以看成一个正方体和个球体的体积之和,其体积为13+13=1+.故选A.9.C解析: 当球心在圆锥外部时,设球的半径为R,则(R-6)2+(2)2=R2,解得R=4,不符合题意.故球心在圆锥的内部且在高上,设球心到圆锥底面的距离为d,则有(6-d)2-d2=,解得d=2,则球的半径R=6-d=4,所以球的表面积S=4R2=64.故选C.10.C解析: 设圆柱的底面半径为r,球O的半径
9、为R,则R2=r2+42=r2+16,因为球O的表面积是圆柱侧面积的2倍,所以4R2=2r82,即R2=8r,所以r2+16=8r,所以r=4,R=4,故选C.11. C解析: 在ABC中,BC=3,所以AC2=AB2+BC2,则ABC=90,设点D是AC的中点,则点D是ABC的外心,又PAC是等边三角形,所以PDAC,而平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PD平面PAC,所以PD平面ABC,设PAC的外心是点O,则点O到点P,A,C的距离都是2=2,连接OB,则OB=2,所以PAC的外心O为三棱锥P-ABC外接球的球心,所以球的半径R=2,球的体积V=R3=.故选C.12. C
10、解析: 依据题中的三视图,可得该几何体直观图如图所示.设M为BD的中点,则BM=MD=AM=2,BDAM,BDCM,CM=2,平面ABD平面CBD.由BM=MD=AM=2,BDAM,可知ABD为等腰直角三角形,点M是ABD的外心.又由平面ABD平面CBD,平面ABD平面CBD=BD,CDBD,得CM平面ABD,所以三棱锥A-BCD外接球的球心位于直线CM上,设三棱锥A-BCD外接球的半径为R,则R2=22+,解得R=.则三棱锥A-BCD外接球的表面积为S=4R2=4.故选C.13. 3解析: 由题意,过直线PO的平面截该圆锥所得的截面是面积为3的正三角形,设该正三角形的边长为a,可得a2=3,
11、解得a=2,所以圆锥底面圆的半径为r=,圆锥的高为h=3,所以该圆锥的体积为V=r2h=3=3.14.30解析: 该几何体为一个被切去一个角的三棱柱,体积为V=346-343=30.15. 3解析: 由图知,球与ABC和A1B1C1没有交线;与四边形AA1B1B和四边形AA1C1C的交线分别是以点A为圆心、2为半径的圆弧,长度分别为;与四边形BB1C1C的交线是以BC长为直径的半圆,故长为.因此,交线的长度之和为3.故答案为3.16. 40解析: 由题可知DPA为等腰直角三角形,取PD的中点为O1,则点O1为DPA的外接圆的圆心.在平面PDCB中,过O1作PD的垂线l,因为平面APD平面PDCB,平面APD平面PDCB=PD,所以直线l平面PDA.设DPB的外接圆圆心为点O2,由题意可知,直线l在平面PBCD内,且经过O2,则点O2也是三棱锥A-DPB的外接球球心,设外接球的半径为R,则DBP的外接圆半径也为R,因为在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,所以BD=2,DPB=135,所以2R=2,即R=,所以三棱锥A-DPB的外接球的表面积是4R2=40.故答案为40.
