1、2012年普通高等学校招生模拟考试数学（理科）试题卷一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1已知集合，则= （ ） （A） （B） （C） （D） 2复数的虚部为 （ ） （A） （B） （C） （D） （第4题图）3设的 （ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件4一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是 （ ） （A） （B） （C） （D）5 若点是两条异面直线外的任意一点，则 （ ） （）过点有且仅有一条直线与都平行 （B）过点有
2、且仅有一条直线与都垂直（C）过点有且仅有一条直线与都相交 （D）过点有且仅有一条直线与都异面6将函数的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则的值不可能等于 （ ）（A）4 （B）6 （C）8 （D）127已知实数满足 则的取值范围是 （ ）（） （B） （C） （D）8已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是 （ ）(A) (B) (C) (D) 9现安排5名同学去参加3个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案个数为 （ ）（A）72 （B）114 （C）144 （D）
3、15010半径为的球内部装4个有相同半径的小球，则小球半径的最大值是 （ ）（A） （B） （C） （D）侧视图俯视图（第12题图）二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）11 函数的定义域是 正视图12如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，且一个内角为的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为 13 P点在椭圆上运动,Q，R分别在两圆和上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为 14设，则 15在等边三角形ABC中，点P在线段AB上，满足，若，则实数的值是 16对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则 的取值范
4、围是 17某车站每天800900，9001000都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻810910830930850950概率一旅客820到车站，则它候车时间的数学期望为 三、 解答题: （本大题有5小题, 共72分）18（本题满分14分）已知向量.（）若求;（）设的三边满足，且边所对应的角为，若关于的方程有且仅有一个实数根，求的值.19（本题满分14分）等差数列的首项为，公差，前项和为，其中（）若存在，使成立，求的值；（）是否存在，使对任意大于1的正整数均成立？若存在，求出的值；否则，说明理由（第20题图）20（本题满分14分）如图，在四棱锥
5、PABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，ABCD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.（）试证：CD平面BEF;（）设PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.21（本题满分15分）过点作直线与抛物线相交于两点，圆（第21题图）（）若抛物线在点处的切线恰好与圆相切，求直线的方程；（）过点分别作圆的切线，试求的取值范围. 22.（本题满分15分）已知实数a满足0a2，a1，设函数f (x)x3x2ax（） 当a2时，求f (x)的极小值；（）若函数g(x)x3bx2(2b4)xln x (bR)的极小值点与f (x)的极小值点相同求证：g(x)的极大值小于
6、等于数学（理）答案1-5DAABB 6-10BDABB11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18（）.4分.7分（）, .11分结合图象可得:.14分19.（）由条件得，整理得：（2分）由求根公式，知必为完全平方数，逐个检验知，符合要求，当时，；当时，故（7分）（）由，代入得整理，变量分离得：，（11分）取到最小值，故存在，使对任意大于1的正整数均成立（14分）20() 解法一：（）证：由已知DFAB且DAD为直角，故ABFD是矩形，从而CDBF. .4分又PA底面ABCD,CDAD，故知CDPD.在PDC中，E、F分别PC、CD的中点，故EFPD,从而CDEF,由此得CD面
7、BEF. .7分（）连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在PAC中易知ECPA.又因PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中，过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. .10分设AB=a,则在PAC中，有BG=PA=ka.以下计算GH，考察底面的平面图（如答(19)图）.连结GD.因SCBD=BDGH=GBOF.故GH=.在ABD中，因为ABa,AD=2A,得BD=a而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH= 因此tanEHG=.12分由k0知是锐角，故要使，必须tan=解之得，k的取值范围为k.1
8、4分解法二：（）如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为：轴建立空间直角坐标系，设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),C(2a,2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0).从而=(2a,0,0), =(0,2a,0), =0,故 .设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 E.从而=. =0,故.由此得CD面BEF.（）设E在xOy平面上的投影为G，过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.由PAkAB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(
9、x,y,0)，则=(x-a,y-a,0), =(-a,2a,0),由=0得=a(x-a)+2a(y-a)=0,即x-2y=-a 又因=(x,a,y,0),且与的方向相同，故，即2x+y=2a 由解得x=a,y=a,从而，a.tanEHG=.由k0知，EHC是锐角，由EHC得tanEHGtan即故k的取值范围为k.21解：设由，得过点的切线方程为：，即 （3分） 由已知：，又， （5分），即点坐标为， （6分）直线的方程为：. （7分）（）由已知，直线的斜率存在，则设直线的方程为：， （8分）联立，得 （9分） 解法一： （12分） （13分） （15分）解法二： （12分） （13分） （15
10、分）解法三：, 同理， （13分）故的取值范围是. （15分） 22.() 解: 当a2时，f (x)x23x2(x1)(x2) 列表如下：x(，1)1(1，2)2(2，)f (x)00f (x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，f (x)极小值为f (2) 5分() 解：f (x)x2(a1)xa(x1)(xa)g (x)3x22bx(2b4)令p(x)3x2(2b3)x1， (1) 当1a2时，f (x)的极小值点xa，则g(x)的极小值点也为xa，所以p(a)0，即3a2(2b3)a10，即b，此时g(x)极大值g(1)1b(2b4)3b3 由于1a2，故 210分(2) 当0a1时，f (x)的极小值点x1，则g(x)的极小值点为x1，由于p(x)0有一正一负两实根，不妨设x20x1，所以0x11，即p(1)32b310，故b此时g(x)的极大值点xx1， 有 g(x1)x13bx12(2b4)x1lnx11bx12(2b4)x1(x122x1)b4x11 (x122x10)(x122x1)4x11x12x11(x1)21 (0x11) 综上所述，g(x)的极大值小于等于 14分
