1、高考资源网（） 您身边的高考专家第2讲导数及其应用考情研析1.导数的几何意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.核心知识回顾1.导数的几何意义(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，即kf(x0)(2)曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的单调性(1)在某个区间(a，b)内，如果f(x)0(f(x)0或f(x)0，则x0)，f(x).由f(x)0，得ln x1，解得0xe.函数f(x)的单调递增区间为(0，e)故选B
2、.(3)若函数f(x)x2在上是增函数，则实数a的取值范围是_答案解析由已知得，f(x)2xa，若函数f(x)在上是增函数，则当x时，2xa0恒成立，即a2x恒成立，即amax，设u(x)2x，则u(x)20，即函数u(x)在上单调递减，所以当x时，函数u(x)取得最大值u，所以a.故实数a的取值范围是.(1)大多数试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域1函数f(x)exex，xR的单
3、调递增区间是()A(0，)B(，0)C(，1)D(1，)答案D解析由题意知，f(x)exe，令f(x)0，解得x1，故选D.2(2019新疆乌鲁木齐高三第二次质量检测)f(x)的定义域是(0，)，其导函数为f(x)，若f(x)1ln x，且f(e)e2(其中e是自然对数的底数)，则()Af(2)2f(1)B4f(3)0时，f(x)0D当x0时，f(x)ex0答案D解析设h(x)，则h(x)，则h(x)ln x(ln x)2c(c为常数)，又f(e)e2得h(e)ln e(ln e)2ce，即1ce，ce，即h(x)ln x(ln x)2e，h(x)，x0，由h(x)0得1ln x0，得0xe，
4、此时函数h(x)为增函数由h(x)0得1ln xe，此时函数h(x)为减函数则h(2)h(1)，即，则f(2)2f(1)，故A错误h(3)h(4)，即，则4f(3)3f(4)，故B错误由h(x)的表达式可得，当x时，h(x)，而h(x)，故当x0时，f(x)0不成立，故C错误由h(x)的单调性可知，当x0时，h(x)h(e)，即h(e)e，故f(x)ex0.故选D.3设f(x)x3x22ax.若f(x)在上存在单调增区间，则a的取值范围为_答案a解析由f(x)x2x2a22a，当x时，f(x)的最大值为f2a；令2a0，得a，所以，当a时，f(x)在上存在单调递增区间考向3 利用导数研究函数的
5、极值、最值例3(1)(2019鞍山一中高三三模)已知函数f(x)xexax3ax2有三个极值点，则a的取值范围是()A(0，e)BC(e，)D答案C解析由题意，函数的导数f(x)exxexax2ax，若函数f(x)xexax3ax2有三个极值点，等价于f(x)exxexax2ax0有三个不同的实根(1x)exax(x1)0，即(x1)(exax)0，则x1，所以exax0有两个不等于1的根，则a.设h(x)，则h(x)，则由h(x)0得x1，由h(x)0得x1且x0，则当x1时，h(x)取得极小值h(1)e，当x时，求函数f(x)在b，)上的最小值解f(x).因为x是函数yf(x)的一个极值点
6、，所以f0，因此aa10，解得a.经检验，当a时，x是yf(x)的一个极值点，故所求a的值为.由可知，f(x)，令f(x)0，得x1，x2.f(x)与f(x)随x的变化情况如下：xf(x)00f(x)所以f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是.当b0得0xe，由f(x)e，故f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(e)，无极小值和最小值，故选D.2(2019白银市靖远县高三第四次联考)若x1是函数f(x)x3x2ax1的极值点，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线的斜率为()A1B1C5D5答案C解析由题意可知，f(x)3x2
7、2xa，则f(1)5a0，解得a5，所以kf(0)5，故选C.3(1)已知函数f(x)，若函数f(x)在区间上存在极值，则正实数a的取值范围为_；(2)设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_答案(1)(2)(1，)解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).令f(x)0，得x1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减所以x1为f(x)的极大值点，所以a1a，故a1，即正实数a的取值范围为.(2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.所以
8、f(x)axa1.若a0，当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以x1是f(x)的极大值点若a0，由f(x)0，得x1或x.因为x1是f(x)的极大值点，所以1，解得1a0，综合可得a的取值范围是a1，即(1，).真题押题真题模拟1(2019南阳市六校高二下学期第一次联考)设函数f(x)是R上可导的偶函数，且f(3)2，当x0，满足2f(x)xf(x)1，则x2f(x)18的解集为()A(，3)B(，3)(3，)C(3，)D(3,3)答案B解析令g(x)x2f(x)，函数f(x)在(，)上是可导的偶函数，g(x)x2f(x)在(，)上也是偶函数，又当x0时，2f(x)xf(x)1，2xf
9、(x)x2f(x)x0，g(x)0，g(x)x2f(x)在(0，)上是增函数f(3)2，由x2f(x)18，得x2f(x)1832f(3)，g(|x|)g(3)，|x|3，x(，3)(3，)故选B.2(2019淮南高三检测)函数f(x)x3ax2(a3)x(aR)的导函数是f(x)，若f(x)是偶函数，则以下结论正确的是()Ayf(x)的极大值为1Byf(x)的极大值为2Cyf(x)的极小值为2Dyf(x)的极小值为2答案D解析由题意可得，f(x)3x22axa3，又f(x)f(x)，a0，f(x)x33x，f(x)3x23，故f(x)在x1处取得极大值2，在x1处取得极小值2，选D.3(20
10、19全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1Bae，b1Cae1，b1Dae1，b1答案D解析yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选D.4(2019沈阳模拟)若函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是()A(2,0)B(0,1)C(1，)D(，2)答案D解析由题意，知f(x)1，函数f(x)x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点，当10时，bx2，又x(1,2)，b(1,4)令f(x)0，解得
11、x，即f(x)的单调递增区间为(，)，(，)，b(1,4)，(，2)符合题意，故选D.金版押题5已知函数f(x)xeax1ln xax，a，函数f(x)的最小值为M，则实数M的最小值是()A1BC0D答案C解析求得f(x)eax1axeax1aeax1(1ax)(1ax).考查yeax1是否有零点，令y0，可得a，记(x)，(x)，故(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，所以(x)min (e2)，即，因为a，所以aeax10，故可知，当x时，1ax0，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，1ax0，f(x)0，f(x)单调递增由上知f(x)minfe21ln .设t(0，e
12、2，M1ln te2tln t1(0te2)，记h(t)ln t1(0te2)，h(t)0，h(t)在(0，e2上单调递减，h(t)h(e2)0，M的最小值为0.故选C.6已知函数f(x)exln x，则其图象在点(1，f(1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为_答案解析因为f(x)ex，故f(1)e1，又f(1)e，故切线方程为ye(e1)(x1)，整理得切线方程为y(e1)x1，故其与坐标轴围成的三角形的面积S1.7若函数f(x)x(xa)2在x2处取得极小值，则a_.答案2解析求导函数可得f(x)3x24axa2，所以f(2)128aa20，解得a2或a6，当a2时，f(x)3x28x
13、4(x2)(3x2)，函数在x2处取得极小值，符合题意；当a6时，f(x)3x224x363(x2)(x6)，函数在x2处取得极大值，不符合题意，所以a2.配套作业一、选择题1(2019山西大学附属中学高二下学期模块诊断)若函数f(x)sinxkx存在极值，则实数k的取值范围是()A(1,1)B1,1C(1，)D(，1)答案A解析f(x)sinxkx，f(x)cosxk.函数f(x)sinxkx存在极值，f(x)cosxk0有变号零点，又1cosx1，1k0；当x(e，)时，f(x)f(3)f(2)故选D.4(2019汉中市高三年级教学质量第二次检测)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x
14、0时，f(x)ex(x1)；函数f(x)有3个零点；f(x)0的解集为(1,0)(1，)；x1，x2R，都有|f(x1)f(x2)|0时，有x0，由奇函数定义可知f(x)f(x)，所以f(x)ex(x1)ex(x1)，命题正确；当x0时，f(x)ex(x1)0，解得x1，即f(1)0，根据奇函数的性质可知f(1)0，又因为定义域是R，所以f(0)0，因此函数f(x)有3个零点，命题正确；当x0，即ex(x1)0，解得x1，1x0时，通过的分析，可知f(x)ex(x1)ex(x1)，当f(x)0时，即ex(x1)0，解得x1，x1，命题正确；当x0，函数f(x)单调递增，当x(，2)，f(x)0
15、，函数f(x)单调递减，f(x)的极小值为f(2)，当x0时，f(x)1，根据可知，当1x0，当x1时，f(x)0，所以当x0时，f(x)0时，1f(x)，而f(0)0，所以当xR时，1f(x)1，即|f(x1)f(x2)|2恒成立，命题正确综上所述，这4个命题都是正确的，故选A.5已知f(x)x2cosx，f(x)为f(x)的导函数，则f(x)的图象大致为()答案A解析因为f(x)x2cosx，所以f(x)xsinx，这是一个奇函数，图象关于原点对称，故排除B，D；又f(1)sin1sin0，f(2)1sin20，所以f(x)的图象大致为A.6(2019遵义航天高级中学高三第四次模拟)已知定
16、义在R上的函数yf(x)满足：函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，且当x(，0)时，f(x)xf(x)bcBbacCcabDacb答案B解析由已知可知函数yf(x1)的图象关于直线x1对称，所以函数yf(x)关于x0对称，也就是关于y轴对称，因此yf(x)是偶函数，所以有f(x)f(x)构造函数g(x)xf(x)，g(x)xf(x)xf(x)g(x)，所以g(x)是R上的奇函数当x(，0)时，g(x)f(x)xf(x)，由已知可知f(x)xf(x)0，即g(x)0，所以当x(，0)时函数g(x)是减函数，由奇函数性质可知：g(0)0，g(x)是R上的减函数a0.76f(0.76)g(0.7
17、6)，b(log0.76)f(log0.76)g(log0.76)，c60.6f(60.6)g(60.6)，log0.7600.761ac，故选B.7(2019东北三省四市高三第一次模拟)已知函数f(x)若x1x2，且f(x1)f(x2)2，则x1x2的取值范围是()A2，)Be1，)C32ln 2，)D32ln 3，)答案C解析设x1x11，则f(x1)f(x2)1ln x11ln x22ln (x1x2)2，x1x21，不成立；若x1x21，则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)12，x1x22，不成立；若x11x2，则f(x1)f(x2)x11ln x2x1ln x22，x112ln
18、 x2，x1x212ln x2x2，设g(x)12ln xx(x1)，则g(x)1，当1x2时，g(x)2时，g(x)0，则g(x)单调递增g(x)ming(2)12ln 2232ln 2，x1x232ln 2，)，故选C.二、填空题8(2019福建龙岩市高三阶段性测试)已知函数f(x)exax在x0处取得极小值，则a_.答案1解析由题意得f(x)exa.因为函数f(x)在x0处取得极小值，所以f(0)1a0，解得a1.当a1时，f(x)ex1，所以当x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x0时，函数f(x)取得极小值因此a1即为所求9已知函数f(x).若函数f(x)在区间
19、(t0)上不是单调函数，则实数t的取值范围为_答案t1解析f(x)(x0)，由f(x)0，得0x1；由f(x)0，得x1.所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减因为函数f(x)在区间(t0)上不是单调函数，所以解得t1.10已知函数f(x)axln x，当x(0，e(e为自然常数)时，函数f(x)的最小值为3，则a的值为_答案e2解析易知a0，由f(x)a0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在x时取得最小值f1ln .当0e时，由1ln 3，得ae2，符合题意；当e时，x(0，e，f(x)minf(e)，即aeln e
20、3，得a，舍去三、解答题11(2019云南省第二次高中毕业生复习统一检测)已知函数f(x)exax2.(1)证明：当a1，x0时，exx2；(2)若f(x)有极大值，求a的取值范围解(1)证明：当a1时，f(x)exx2，f(x)ex2x，令(x)f(x)，则(x)ex2.当0xln 2时，(x)ln 2时，(x)0，(x)单调递增当x0，)时，(x)min(ln 2)2(1ln 2)0.当x0，)时，f(x)0，f(x)在0，)上单调递增当x0，)时，f(x)f(0)10，即exx2.(2)由题意得f(x)ex2ax.由f(x)有极大值得f(x)0有解，且a0.令g(x)f(x)，则g(x)
21、ex2a.由g(x)0得xln (2a)当xln (2a)时，g(x)ln (2a)时，g(x)0，g(x)单调递增g(x)mingln (2a)2a1ln (2a)当g(x)min0，即0a时，g(x)0，即f(x)0，此时，f(x)在(，)上单调递增，无极值；当g(x)min时，g(0)10，gln (2a)2a1ln (2a)0，即2a2ln (2a)ln (2a)存在x1(0，ln (2a)，x2(ln (2a)，2a)，使g(x1)g(x2)0.当x(，x1)时，g(x)0，即f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，即f(x)单调递增x1是f(x)唯一的极大值点综上所述，
22、所求a的取值范围为.12已知函数f(x)x32x2ax(aR)(1)若a3，试求函数f(x)的图象在x2处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数f(x)在区间0,2上的最大值为2，试求实数a的值解(1)因为a3，所以f(x)x32x23x，所以f(x)x24x3，所以f(2)224237.因为f(2)8612，所以切线方程为y127(x2)，即y7x2.所以直线与坐标轴的交点坐标分别为(0，2)，所以该直线与坐标轴围成的三角形的面积S2.(2)f(x)x24xa(x2)2a4.若a40，即a4，则f(x)0在0,2上恒成立，所以函数f(x)在0,2上单调递减，所以f(x)maxf(0)
23、2，此时a不存在若a0，则f(x)0在0,2上恒成立，所以函数f(x)在0,2上单调递增，所以f(x)maxf(2)82a2a62，解得a2，因为a0，所以此时a不存在若4a0，则函数f(x)在0,2上先单调递减后单调递增，所以f(x)maxmaxf(0)，f(2)当2a6，即a0时，f(x)maxf(2)2a62，解得a2，所以a2符合题意；当2a6，即4a时，f(x)maxf(0)2，此时a不存在综上所述，a2.13(2019新疆乌鲁木齐地区高三第二次质量监测)已知函数f(x)ex(其中e是自然对数的底数)(1)当t0时，求f(x)的最值；(2)若t0时，f(x)在上的最小值为1，求实数t
24、的取值范围解(1)当t0时，f(x)exx，则f(x)ex1，令f(x)0，解得x0，函数f(x)在(0，)是增函数；令f(x)0，解得x0，函数f(x)在(，0)是减函数；所以f(x)有最小值，无最大值，且f(x)minf(0)1.(2)当t0时，由x，所以tx10，f(x)exexex11，不符合题意；当t0时，f(x)ex(tx1)2ex令g(x)(tx1)2ex，易知y(tx1)2，yex在上均为增函数，所以g(x)(tx1)2ex在上也为增函数，且g(0)0，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0，故f(x)minf(0)1，符合题意；所以实数t的取值范围为(，0)14已知f(x
25、)x22axln x.(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)为f(x)的导函数，f(x)有两个不相等的极值点x1，x2(x10)，f(x)2x20，所以f(x)在区间(0，)上单调递增(2)f(x)2x2a，由题意得，x1和x2是方程2x22ax10的两个不相等的正实根，则解得a，2ax12x1,2ax22x1.由于，所以x1，x2.所以2f(x1)f(x2)2(x2ax1ln x1)(x2ax2ln x2)2xx4ax12ax2ln x22ln x12xxln 1xln 1xln x2ln 21.令tx，g(t)tln t2ln 21，则g(t)1，当t1时，g(t)1时，g
26、(t)0.所以g(t)在上单调递减，在(1，)上单调递增，则g(t)ming(1)，所以2f(x1)f(x2)的最小值为.15(2019江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学高三联考)已知函数f(x)axa1(其中a为常数且aR)(1)若函数f(x)为减函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围，并说明理由解(1)f(x)axa1，f(x)a，若函数f(x)为减函数，则f(x)0，即a对x(0，)恒成立设m(x)，m(x)，m(x)在区间(0，e)上单调递减，在(e，)上单调递增m(x)minm(e)，a，即ae3，故实数a的取值范围是(，e3
27、(2)易知函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，设h(x)ax2(a1)xln x，则问题转化为函数h(x)有两个不同的零点，求实数a的取值范围h(x)ax(a1)，当a0时，函数h(x)在区间(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，若函数h(x)有两个不同的零点，则必有h(1)a12.此时，在x(1，)上有h(2)2a2(a1)ln 22ln 20，在x(0,1)上，h(x)a(x22x)xln x，1x22xaxln x，haeln e0，h(x)在区间(0,1)，(1，)上各有一个零点，故a2符合题意；当a1时，h(x)0，函数h(x)在区间(0，)上单调递减，函数h(x)至多有一个零点，不符合题意；当1a0，函数h(x)至多有一个零点，不符合题意；当a0，函数h(x)至多有一个零点，不符合题意综上所述，实数a的取值范围是(2，) - 21 - 版权所有高考资源网