1、第四讲指数与指数函数1.2020大同市高三调研设a=20.5,b=log0.50.6,c=tan45,则()A.abc B.cbaC.bca D.caca B.cab C.cbaD.acb3.原创题已知函数f (x)=2x+x - 5,则不等式 - 2f (4x - 1)6的解集为()A.-1,-12 B.-12,12 C.12,1D.1,324.2019安徽省第二次联考若函数f (x)=(12)x - a的图象经过第一、二、四象限,则f (a)的取值范围为()A.(0,1)B.( - 12,1) C.( - 1,1)D.( - 12,+)5.已知定义在R上的函数f (x)=2|x - m|
2、- 1为偶函数,记a=f (log0.53),b=f (log25),c=f (2m),则()A.abc B.acb C.cabD.cb0且a1)的定义域和值域都是0,2,则实数a的值为.8.2019济南市质检已知定义在R上的奇函数f (x)的周期为4,当x( - 2,0)时,f (x)=2x+1,则f (5)=.9.2019昆明市高考模拟能说明“已知f (x)=2|x - 1|,若f (x)g(x)对任意的x0,2恒成立,则在0,2上,f (x)ming(x)max”为假命题的一个函数g(x)=.(填出一个函数即可) 10.2019湖南四校联考已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x+5
3、2)+f (x)=0,当 - 54x0时,f (x)=2x+a,则f (16)=.11.2020山西大学附中诊断已知函数f (x)=x - 4+9x+1,x(0,4),当x=a时,f (x)取得最小值b,则函数g(x)=a|x+b|的图象为()12.多选题已知函数f (x)=ex - e - x,g(x)=ex+e - x,则下列结论错误的是()A.任意的x1,x2R且x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2 0B.任意的x1,x2R且x1x2,都有g(x1)-g(x2)x1-x20),若存在x0R使得f (x0)m(x0 - 1) - 1成立,则实数m的取值范围是()A.(0,+) B
4、. - 1,0)(0,+) C.( - , - 11,+)D.( - , - 1(0,+)14.2019武汉市模拟设函数f (x)=2-x,x1,x2,x1,则y=2f (f (x) - f (x)的取值范围为()A.( - ,0 B.0,22-12 C.22-12,+)D.( - ,022-12,+)15.已知函数f (x)=21-x,x0,1-log2x,x0,若|f (a)|2,则实数a的取值范围是.16.已知点P(a,b)在函数y=e2x的图象上,且a1,b1,则aln b的最大值为.17.已知函数f (x)=ex,若关于x的不等式f (x)2 - 2f (x) - a0在0,1上有解
5、,则实数a的取值范围为.第四讲指数与指数函数1.Ba=20.520=1,0b=log0.50.6log0.50.5=1,由245,可知c=tan450,故cb - 0.8可得a=3 - 0.63 - 0.8=b,且baln e=1,所以cab.故选B.3.C因为函数y=2x与y=x - 5在R上均为增函数,所以函数f (x)=2x+x - 5在R上为增函数.易知f (1)= - 2,f (3)=6,所以不等式 - 2f (4x - 1)6等价于f (1)f (4x - 1)f (3),等价于14x - 13,解得12x1,故选C.【素养落地】本题将不等式 - 2f (4x - 1)6等价转化为
6、f (1)f (4x - 1)f (3),体现了对逻辑推理核心素养的考查;整个过程都涉及计算,体现了对数学运算核心素养的考查.4.B依题意可得f (0)=1 - a,则01-a1,-a0, 解得0a1,f (a)=(12)a - a.设函数g(x)=(12)x - x,则g(x)在(0,1)上为减函数,故f (a)( - 12,1).故选B.5.C函数f (x)=2|x - m| - 1为偶函数,则m=0,故f (x)=2|x| - 1,a=f (log0.53)=2|log0.53| - 1=2log23 - 1=2,b=f (log25)=2log25 - 1=4,c=f (0)=20 -
7、 1=0.所以cab,故选C.6.Af (x)=4x - 2x+1+b=(2x)2 - 22x+b.设2x=t,则g(t)=t 2 - 2t+b=(t - 1)2+b - 1.因为x - 1,1,所以t12,2.当t=1时,g(t)取最小值,为b - 1;当t=2时,g(t)取最大值,为3,即1+b - 1=3,解得b=3.于是f (x)min=2.故选A.7.3当0a1时, f (x)=ax - 1在0,2上为增函数,又函数f (x)的定义域和值域都是0,2,所以f(0)=0,f(2)=a2-1=2,a1,解得a=3,所以实数a的值为3.【易错警示】本题的易错点有两处:一是忽略对参数a的分类
8、讨论;二是由函数f (x)的定义域和值域都是0,2,得关于参数a的方程组,却忽略了参数a本身的条件限制,导致产生增解.一般地,对于底数含有参数的指数(对数)函数,当涉及函数的单调性、值域或最值,以及解不等式等问题时,一般需对底数进行分类讨论.8. - 1根据函数的周期性与奇偶性可知f (5)=f (1)= - f ( - 1)= - 2 - 1+1= - 1.9.x - 12(答案不唯一)易知函数f (x)=2|x - 1|在x0,2上的最小值是1,取g(x)=x - 12,作出f (x),g(x)在0,2上的图象如图D 2 - 4 - 4,图D 2 - 4 - 4满足f (x)g(x)对任意
9、的x0,2恒成立,但g(x)=x - 12在0,2上的最大值是32,不满足f (x)ming(x)max,所以 g(x)=x - 12能说明题中命题是假命题.【思路梳理】要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.本题是开放性问题,所举反例只要满足f (x)g(x)在0,2上恒成立,且g(x)max1即可.10.12由f (x+52)+f (x)=0,得f (x)= - f (x+52)=f (x+5),所以函数f (x)是以5为最小正周期的周期函数,则f (16)=f (35+1)=f (1).又f (x)是定义在R上的奇函数,所以f (0)=0,即1+a=0,解得a= - 1,所以当 -
10、 54x0时,f (x)=2x - 1,所以f ( - 1)= - 12,则f (1)= - f ( - 1)=12,故f (16)=12.11.A因为x(0,4),所以x+11,所以f (x)=x - 4+9x+1=x+1+9x+1 - 529x+1(x+1) - 5=1,当且仅当x=2时取等号,此时函数f (x)取得最小值1,所以a=2,b=1,所以g(x)=2|x+1|=2x+1,x-1,(12)x+1,x-1,函数g(x)的图象可以看作由函数y=2x,x0,(12)x,x0的图象向左平移1个单位长度得到.结合指数函数的图象及选项可知A正确.故选A.12.ABC对于A,令h(x)=ex,
11、u(x)= - e - x,易知h(x),u(x)在R上均是增函数,所以f (x)是R上的增函数,故A错误;对于B,因为g( - x)=e - x+ex=g(x)(xR),所以g(x)是偶函数,所以g(x)在R上不可能是减函数,故B错误;对于C,因为f ( - x)= - (ex - e - x)= - f (x)(xR),所以f (x)是奇函数,又f (x)在R上是增函数,所以f (x)无最值,故C错误;对于D,对任意的x1,x20,+),不妨设x10,ex1 - ex20,所以g(x1) - g(x2)0,所以g(x1)0时,一定存在x00使得x0m(x0 - 1) - 1,也就是存在x0
12、0使得f (x0)m(x0 - 1) - 1.当m=0时,直线y=m(x - 1) - 1= - 1,不存在x0R使得f (x0)m(x0 - 1) - 1.当m0符合题意,排除C;当m= - 2,x0=0时,f (0)=0,而 - 2(0 - 1) - 1=10,满足条件,排除A,B,选D.14.B作出f (x)=2-x,x1,x2,x1的图象如图D 2 - 4 - 6中实线所示,图D 2 - 4 - 6由图可知f (x)12,+),设f (x)=t,则t12,+),因为y=2f (f (x) - f (x),所以y=2f (t) - t,t12,+),所以12t1,y=21-t-t或t1,
13、y=0.因为y=21 - t - t在12,1上单调递减,所以0y22-12,所以y=2f (f (x) - f (x)的取值范围为0,22-12,故选B.15.( - ,128,+)当a0时,1 - a1,21 - a2,所以|f (a)|2成立;当a0时,由|f (a)|2可得|1 - log2a|2,所以1 - log2a2或1 - log2a - 2,解得00),则ln t=ln a2 - ln a= - (ln a)2+2ln a= - (ln a - 1)2+11,当ln a=1时,“=”成立,此时ln t=1,所以t=e,即aln b的最大值为e.17.( - ,e2 - 2e由f (x)2 - 2f (x) - a0在0,1上有解,可得存在x0,1,af (x)2 - 2f (x),即ae2x - 2ex.令g(x)=e2x - 2ex(0x1),则ag(x)max.因为0x1,所以1exe,则当ex=e,即x=1时,g(x)max=e2 - 2e,即ae2 - 2e,故实数a的取值范围为( - ,e2 - 2e.