1、重庆市第一中学2018-2019学年高三数学上学期期中试题 理（含解析）注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知集合则A B C D2等比数列中，若，则A6 B C12 D183计算的结果是A B C D4下列函数为奇函数的是A BC
2、 D5已知非零向量的夹角为，且则A B C D6圆半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为A BC D7过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则A4 B2 C1 D8已知双曲线过点且其渐近线方程为，的顶点恰为的两焦点，顶点在上且，则A B C D9若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A B C D10已知，的导函数的部分图象如图所示，则下列对的说法正确的是A最大值为且关于点中心对称B最小值为且在上单调递减C最大值为且关于直线对称D最小值为且在上的值域为11已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且（其中为原点），则双曲
3、线的离心率为A B C D12已知的内角满足，且的面积等于，则外接圆面积等于A B C D二、填空题13直线的倾斜角为_；14已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则_15数列满足前项和为，且，则的通项公式_；16已知函数满足，且对任意恒有，则_三、解答题17在中，角所对的边分别为，且。（1）证明：成等比数列；（2）若，且，求的周长。18已知数列满足，数列满足，且.（）求及；（）令，求数列的前项和19如图1，在直角中，分别为的中点，连结并延长交于点，将沿折起，使平面平面，如图2所示（）求证：；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值20已知椭圆的左右焦点分别为，且为抛物线的焦点，的准线被
4、和圆截得的弦长分别为。（1）求方程；（2）已知动直线与抛物线相切（切点异于原点），且与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，使得，求实数的取值范围。21已知函数。（1）求的单调区间；（2）若，证明：（其中是自然对数的底数，）。22在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为，设直线与曲线相交于两点（）写出直线和曲线的直角坐标方程；（）求的值23设函数。（1）解不等式；（2）记函数的最大值为，若，证明：。2019届重庆市第一中学高三上学期期中考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1D【解析】【分析】化简集合，根据并集运算即
5、可.【详解】因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，属于容易题.2A【解析】【分析】根据等比数列可知，所以，故可求出.【详解】因为，所以，故，所以选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，属于中档题.3B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为 ，故选B.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式，属于中档题.4D【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A选项中故不是奇函数，B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中，是奇函数，故选D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定，属于中档题.5B【解析】【分析】根据数量积的性质，
6、展开计算即可. 【详解】因为，所以选B.【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质，属于中档题.6D【解析】设圆心 ,则 ,因此圆的方程为 即,选D.7B【解析】【分析】设A，根据抛物线的定义知，又 ，联立即可求出p.【详解】设A，根据抛物线的定义知,又 ，联立解得，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.8A【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为，由过点，可得双曲线方程，利用正弦定理可知 ,根据双曲线方程即可求出.【详解】设双曲线方程为，因为过点，代入得，即双曲线方程为，故，由正弦定理可知 ，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程和简单性质以及正弦定
7、理，属于中档题.9C【解析】【分析】令 得出 ，在同一坐标系内画出 和，利用图象求出曲线过原点的切线方程，即可求出.【详解】函数，其中，令 得出，在同一坐标系内画出 和的图象，如图所示：设曲线上点，则，所以过点P的切线方程为，因为直线过原点，所以，解得，所以切线斜率为，所以实数的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了函数零点的应用问题，也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题，属于中档题.10D【解析】【分析】根据函数图象与性质，求出A、T、与的值，写出函数的解析式，判断选项即可.【详解】,由图象可知,，所以，又 又，所以，所以，最小值为，则，所以在上的值域为，故选D.【点睛】本题主要考查
8、了函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用，属于中档题.11A【解析】【分析】双曲线一条渐近线为，求出Q坐标，得PQ的中点坐标，由两直线垂直可得，应用圆的弦长公式计算即可得的关系，即可求出离心率.【详解】设双曲线一条渐近线为，由，可得Q,圆的半径为，PQ的中点为H，由可得解得，A到渐近线的距离为，则，即，即有， 可得，故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，注意应用中点坐标公式和直线垂直斜率之积为以及圆的弦长公式，属于中档题.12C【解析】【分析】化简条件可得,化简可得,由正弦定理可得：,根据面积公式,代入可知，即可求出R.【详解】由三角形内角和定理可得：，即 ，即，所以，由正
9、弦定理可得：，根据面积公式可得：，即 ，所以，外接圆面积,故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的和差化积公式，三角恒等变换，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题.13【解析】【分析】把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角.【详解】由可得： ，所以斜率，即，所以倾斜角为，故填.【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.1436【解析】【分析】根据椭圆的定义知,再由余弦定理可得 ，即可解出.【详解】由椭圆定义可知，且，根据余弦定理得：，所以 解得，故填36.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆方程，余弦定理，属于中档题.15【解析】【分析】根据递推关系式可得，两式相
10、减得：，即，可知从第二项起数列是等比数列，即可写出通项公式.【详解】因为所以两式相减得：即所以从第二项起是等比数列，又，所以故 ，又所以.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列，数列的通项公式，属于中档题.16【解析】【分析】根据可归纳出函数为周期函数，利用周期函数的性质求解即可.【详解】令,可得，所以 令，可得，所以 令 ，可得 ，所以 令 ，可得 ，所以 令， 可得 ，所以 令，可得 ，所以 令， 所以 故函数是6为周期的周期函数所以，.【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性，属于中档题.17(1)见解析；（2）的周长为.【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得，化简得，由正弦定理
11、即证（2）由条件可得利用余弦定理及于即可求解.【详解】（1）证明：由正弦定理得： 所以成等比数列(2)由 由余弦定理得：，又，所以于是得： 所以的周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.18（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意判断等差数列，等比数列，联立方程即可求解（2）根据数列通项公式，可用错位相减法求和即可.【详解】（1）由题意可得为等差数列，为等比数列，设的公差为，则由题意可得： 于是，而，（2）由题意：，由错位相减法，得： 两式相减，得： 于是：【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的定义及通项公式，错位相减法求和，属于中档题.19（1）见解析；
12、（2）.【解析】【分析】（1）根据条件证明平面即可（2）建立空间直角坐标系，写出坐标，利用公式计算二面角余弦值即可.【详解】（1）证明：由条件可知，而为的中点， ， 又面面，面面，且， 平面又因为平面， （2）由（1）可知，两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则： 易知面的法向量为， 设平面的法向量为，则：，易得 设平面与平面所成锐二面角为，则【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，二面角的向量求法，属于中档题.20（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意 ，即可求出方程（2）设出直线，联立直线与椭圆、抛物线方程，运用韦达定理及向量运算即可求解.【详解】（1）由题得
13、，故 （2）由题知存在斜率且不为0，设 联立 ，因为与相切，故 联立 ，两根为，所以 ，又，因此由 ，由韦达定理，代入计算得 而点在椭圆上，即，代入得令，则【点睛】本题主要考查了椭圆、抛物线的方程的求法，考查存在性问题的处理方法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题.21(1) 在上单调递减，在上也单调递减；(2)见解析.【解析】【分析】（1）求导后分析导数的分子的正负，构造，利用导数可分析的正负，即可得到函数单调区间（2）因故，因此只需证明，先证明时的情况，构造可证明，再证明时的情况,证明即可.【详解】（1）定义域， 令，则，所以在，故时，也即，因此，在上单调递
14、减，在上也单调递减； （2）因故，因此只需证明（记为）先证明时的情况：此时，令令，故在，故在，于是 在，因此，时，即下面证明时的情况：令，故在，于是时，令，故在故时，即即，证毕；【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式，属于难题.解决不等式的证明问题，主要是构造合适的函数，利用导数研究其单调性，求其最值，分析函数的正负，得到所研究的不等式.22(1)见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）对直线的参数方程消参数t即可，曲线C根据转化即可（2）利用参数的几何意义得，利用的意义可得 ，即可求解.【详解】（1） ，曲线 ，即（2）点的直角坐标为，发现在直线上且，直线的极坐标方程为联立的参数方程与的直角方程得：，则联立及曲线的极坐标方程得：，则，故所求=1.【点睛】本题主要考查了直线的参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数的几何意义及极径的几何意义，属于中档题.23(1) 解集为;(2)见解析.【解析】【分析】（1）去绝对值号转化为分段函数即可求解（2）由（1）知，根据，构造后利用均值不等式即可.【详解】（1），易得的解集为.（2）由（1）知，于是因为，移项即得证.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，均值不等式在证明中的应用，属于中档题.
