1、送分专题(三)不等式全国卷 3 年考情分析年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2017 卷 线性规划求最值T7 1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，题目多出现在第57或第1315题的位置上，难度中等，多以选择、填空题的形式进行考查，直接考查时主要是简单的线性规划问题关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上2.若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇命题，难度较大.卷 线性规划求最值T7 卷 线性规划求最值T5 2016 卷 线性规划求最值T14 卷 线性规划求最值T13 2015 卷 线性规划求最值T15 卷 线性规划求最值T14
2、不等式的性质及解法题点考法全练1已知关于 x 的不等式(ax1)(x1)y0，mn，则下列不等式正确的是()Axmym BxmynCxn ym Dx xy解析：A 不正确，因为同向同正不等式相乘，不等号方向不变，m 可能为 0 或负数；B 不正确，因为同向不等式相减，不等号方向不确定；C 不正确，因为 m，n 的正负不确定故选 D.答案：D 3(2017云南第一次统一检测)已知函数 f(x)2x12，x1，21x2，x1，则不等式 f(x1)0 的解集为()Ax|0 x2Bx|0 x3Cx|1x2Dx|1x3解析：由题意，得 f(x1)2x22，x2，22x2，x2.当 x2 时，由2x220
3、，解得 2x3；当 x2 时，由 22x20，解得1x0 恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.2，14B，14C.12，32D(，6解析：根据题意，由于 12x(aa2)4x0 对于一切的 x(，1恒成立，令 2xt(00aa21tt2，故只要求解 h(t)1tt2(0t2)的最大值即可，h(t)1t21t1t12214，又1t12，结合二次函数图象知，当1t12，即 t2 时，h(x)取得最大值34，即 aa234，所以4a24a30，解得12a0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等
4、式求解准 解 题2.掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)a 对一切 xI 恒成立f(x)mina；f(x)a 对一切 xI 恒成立f(x)maxg(x)对一切 xI 恒成立f(x)的图象在 g(x)的图象的上方(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等避误区解形如一元二次不等式 ax2bxc0 时，易忽视系数 a的讨论导致漏解或错解，要注意分 a0，a0，则函数 yx22x132的最小值为_解析：yx22x132x12 1x122220.当且仅当 x12
5、 1x12，即 x12时等号成立答案：02(2017石家庄质检)已知直线 l：axbyab0(a0，b0)经过点(2,3)，则 ab 的最小值为_解析：因为直线 l 经过点(2,3)，所以 2a3bab0，即3a2b1，所以 ab(ab)3a2b 53ba 2ab 52 6，当且仅当3ba 2ab，即 a3 6，b2 6时等号成立答案：52 63(2017天津高考)若 a，bR，ab0，则a44b41ab的最小值为_解析：因为 ab0，所以a44b41ab2 4a4b41ab4a2b21ab4ab 1ab24ab 1ab4，当且仅当a22b2，ab12时取等号，故a44b41ab的最小值是 4
6、.答案：44(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_解析：由题意，一年购买600 x 次，则总运费与总存储费用之和为600 x 64x4900 x x 8900 x x240，当且仅当 x30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30.答案：30快审题看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”准解题掌握基本不等式求最值的 3 种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解
7、，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为 ym AgxBg(x)(A0，B0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值准解快解悟通避误区运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到.简单的线性规划问题题点考法全练1(2017全国卷)设 x，y 满足约束条件3x2y60，x
8、0，y0，则 zxy 的取值范围是()A3,0B3,2C0,2D0,3解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线 l0：yx，平移直线l0，当直线 zxy 过点 A(2,0)时，z 取得最大值 2，当直线 zxy 过点 B(0,3)时，z 取得最小值3，所以 zxy 的取值范围是3,2答案：B 2(2017郑州第二次质量预测)已知直线 yk(x1)与不等式组xy40，3xy0，x0，y0表示的平面区域有公共点，则 k 的取值范围为()A0，)B0，32C0，32D32，解析：画出可行域如图中阴影(不含 x 轴)部分所示，直线 yk(x1)过定点 M(1,0)，由xy40，3xy
9、0，解得x1，y3，过点 M(1，0)与 A(1,3)的直线的斜率是32，根据题意可知 0k32.答案：C 3(2017石家庄检测)已知 x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20，若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A12或1B2 或12C2 或 1D2 或1解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，令 z0，当直线 yax 与直线 2xy20 及直线 xy20 分别平行且平移至这两条直线时 z 取到最大值，而且最大值的最优解不唯一，则 a 的值为 2 或1.故选 D.答案：D 4(2017成都一诊)若实数x，y满足约束条件2xy40，x2y20
10、，x10，则y1x 的最小值为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为 y1x表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率由图知，点P与点A1，12 连线的斜率最小，所以y1xminkPA12110 32.答案：325(2016全国卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2 100元，生产一件产品 B 的利润为 900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料 90 k
11、g，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为1.5x0.5y150，x0.3y90，5x3y600，xN，yN.即3xy300，10 x3y900，5x3y600，xN，yN.目标函数为z2 100 x900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分作直线2 100 x900y0，即7x3y0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立10 x3y900，5x3y600，解得M(60,100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 000准解快解悟通快审题1.看
12、到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解2.看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如 z(xa)2(yb)2 和形如 zybxa，想到其几何意义3.看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义准 解 题1.巧用数形结合法求解线性规划问题(1)画图，即画出不等式组所表示的可行域；(2)定最优解，即根据目标函数的几何意义确定最优解；(3)求最值，即代入最优解求解目标函数的最值2.明确常见的目标函数(1)截距型：形如 zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为 yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值(2)距离型：形如 z(xa)2(yb)2，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z|PM|2.(3)斜率型：形如 zybxa，设动点 P(x，y)，定点M(a，b)，则 zkPM.“专题过关检测”见“专题检测(三)”(单击进入电子文档)