1、课时跟踪检测(二十)抛物线的标准方程A级基础巩固1过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆B椭圆C直线 D抛物线解析：选D如图，设P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离|PA|等于点P到y轴的距离|PB|，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线2(多选)对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线y210x的有()A焦点在y轴上B焦点在x轴上C抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6D由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)解析：选BD抛物线y210x的焦点在x轴上，B满足，A不满足设M(1，y0)是抛物线y210x上一点，F为焦
2、点，则|MF|116，所以C不满足由于抛物线y210x的焦点为，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)，则该直线的斜率存在，设过该焦点的直线方程为yk，则k2，此时存在，所以D满足所以满足抛物线y210x的有B、D.3若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2 B3C4 D8解析：选D 依题意知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8.4已知抛物线的焦点为F(a，0)(a0)，则抛物线的标准方程是()Ay22ax By24axCy22ax Dy24ax解析：选B因为抛物线的焦点为F(a，0)(a0)，所以抛物线的标准方程为y24ax，故选B.5已知F
3、是抛物线y24x的焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|NF|8，则MN的中点到准线的距离为()A5 B4C3 D.解析：选BF是抛物线y24x的焦点，F(1，0)，准线方程为x1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，|MF|NF|x11x218，解得x1x26，线段MN中点的横坐标为3，线段MN的中点到准线的距离为314.6抛物线y4x2的焦点坐标是_，准线方程是_解析：抛物线的标准方程为x2y，故焦点坐标为，准线方程为y.答案：y7若抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值是_解析：把抛物线方程yax2化为标准形式得x2y，所以2，a.答案：8已知抛物线y22px(p0)上一点M(1，m
4、)到其焦点的距离为5，双曲线x21的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a_解析：根据抛物线的定义得15，p8.不妨取M(1，4)，则AM的斜率为2，由已知得21，故a.答案：9已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x22py(p0)，则焦点F，准线l：y，作MNl，垂足为N，则|MN|MF|5，又|MN|3，所以35，即p4.所以抛物线方程为x28y，准线方程为y2.由m28(3)24，得m2.法二：设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点为F.因为M(m，3)在
5、抛物线上，且|MF|5，故解得所以抛物线方程为x28y，m2，准线方程为y2.10已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程解：如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|.又|O1A|，化简得，y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.B级综合运用11(2020全国卷)已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2 B3
6、C6 D9解析：选C法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p.又点A到焦点的距离为12，所以 12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6.故选C.法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以129，解得p6.故选C.12(多选)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直于l且交l于点Q，若PFx60，则()APQF为等边三角形 B|PQ|4CSPQF4 DxP4解析：选ABC如图，因PQx轴，QPFPFx60，由抛物线定义知|PQ|PF|，PQF为等边三角形因F(1
7、，0)，过F作FMPQ，垂足为M.xM1，|MQ|2.|PQ|4，SPQF244，xP3.故选A、B、C.13抛物线y22px(p0)上一点M与焦点间的距离是a，则点M到准线的距离是_，点M的横坐标是_解析：由抛物线的定义知点M到准线的距离等于M到焦点间的距离，故点M到准线的距离为a，设M(x0，y0)，则x0a，即x0a.答案：aa14设点P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3，2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线为x1，由抛物线的定义知点P到直线x1的距离等于点P到焦点F
8、的距离于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小显然，连接AF与抛物线的交点即为所求点P，故最小值为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，此时，|P1Q|P1F|，那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4，即最小值为4.C级拓展探究15动圆P与定圆A：(x2)2y21外切，且与直线l：x1相切，求动圆圆心P的轨迹方程解：如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PDl于点D，作直线l：x2，过点P作PDl于点D，连接PA.设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r1.圆P与圆A外切，|PA|RrR1.又圆P与直线l：x1相切，|PD|PD|DD|R1.|PA|PD|，即动点P到定点A与到定直线l的距离相等，点P的轨迹是以A为焦点，以l为准线的抛物线设抛物线的方程为y22px(p0)，可知p4，所求动圆圆心P的轨迹方程为y28x.