1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3节函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
2、1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性(4)奇、偶函数的性质：在公共定义域内，奇函数奇函数偶函数，奇函数奇函数奇函数，偶函数偶函数偶函数，偶函数偶函数偶函数，奇函数偶函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数2函数周期性的三个常用结论对函数f(x)定义域内任意一个自变量x都有：(如下a0)：(1)若f(xa)f(x)，则T2a；(2)若f(xa)，则T2a；(3)若f(x
3、a)，则T2a.3函数对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称思考辨析判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)函数yx2，x(0，)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)
4、是偶函数( )(4)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称( )(5)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2 020)0.( )答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是( )AB.C. D解析：B依题意b0，且2a(a1)，a，则ab.2下列函数为奇函数的是( )Ay2x Byx3sin xCy2cos x1 Dyx22x解析：A由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，只
5、有A中的函数为奇函数，故选A.3(2019葫芦岛市一模)设偶函数f(x)对任意xR，都有f(x3)，且当x3，2时，f(x)4x，则f(107.5)( )A10 B.C10 D解析：B因为f(x3)，故有f(x6)f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的函数所以f(107.5)f(6175.5)f(5.5).4(2019全国卷)设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则当x0时，f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析：D当x0时，x0，f(x)ex1，又f(x)f(x)，f(x)ex1，即f(x)ex1.5(教材改编)设奇函数f(x)的定义域为5,5，若当x0,5时，f(
6、x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为_.解析：由图象可知，当0x2时，f(x)0；当2x5时，f(x)0，又f(x)是奇函数，当2x0时，f(x)0，当5x0.综上，f(x)0的解集为(2,0)(2,5答案：(2,0)(2,5考点一判断函数的奇偶性(自主练透)题组集训1下列函数为奇函数的是( )AyBy|sin x|Cycos x Dyexex解析：D因为函数y的定义域为0，)，不关于原点对称，所以函数y为非奇非偶函数，排除A；因为y|sin x|为偶函数，所以排除B；因为ycos x为偶函数，所以排除C；因为yf(x)exex，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexe
7、x为奇函数，故选D.2设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：C依题意得对任意xR，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，因此，f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；
8、|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知：对
9、于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数判断函数奇偶性的方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；“奇偶”是奇，“奇偶”是奇提醒：“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性考点二函数奇偶性的应用(多维探究)命题角度1利用奇偶性求函数值1(2019潍坊市一模)若函数f(x)为奇函数，则f(g(3)( )A3B2C1 D0解析：B法一：函
10、数f(x)为奇函数，g(3)f(3)(log332)1，f(g(3)f(1)log312022.故选B.法二：当x0，f(x)log3(x)2，f(x)f(x)log3(x)2，即g(x)log3(x)2，g(3)log3321，f(g(3)f(1)log312022.故选B.命题角度2利用奇偶性求参数值2(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_.解析：f(ln 2)f(ln 2)(ealn 2)(eln 2)a2a8，a3.答案：3命题角度3利用奇偶性求解析式3已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则f(x)_.解
11、析：f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，则f(x)x24x(xf(a)，则实数a的取值范围是( )A(，1)(2，)B(1,2)C(2,1)D(，2)(1，)解析：Cf(x)是奇函数，当xf(a)，得2a2a，解得2a1.应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x)f(x
12、)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性考点三函数周期性的应用(师生共研)典例(1) x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为( )A奇函数B偶函数C增函数 D周期函数(2)(2019济宁市一模)已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1.则f(2017)f(2018)的值为( )A2 B1C0 D1解析(1)作出函数f(x)的图象，由图象可知选D.(2)函数f(x)是(，)上的奇函数，且f
13、(x)的图象关于x1对称，f(x)f(x)，由图象关于x1对称，得f(1x)f(1x)，即f(x)f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，周期T4.当x0,1时，f(x)2x1，f(2017)f(2018)f(1)f(2)f(1)f(0)21111.故选D.答案(1)D(2)D(1)判断函数周期性的两个方法定义法图象法(2)函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值，求零点个数，求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解易错警示：应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内跟踪训练(1)已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，对任意的实数x，f(x2)f(
14、x2)，当x(0,2)时，f(x)x2，则f( )A BC. D.(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为( )A6 B7C8 D9解析：(1)D(2)B(1)由f(x2)f(x2)，可知函数f(x)的最小正周期T4，又由于该函数是奇函数，故ffff.(2)f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，当0x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21.由周期函数的性质知，当2x4时，f(x)0有两个根，即x32，x43；当4x6时，f(x)0有两个根，即x54，x
15、65，x76也是f(x)0的根故函数f(x)的图象在区间0,6上与x轴交点的个数为7.1(2020呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(，0)上单调递减的函数是( )Ayx3By2|x|Cyx2 Dylog3(x)解析：B选项A，函数是奇函数，不满足条件；选项B，函数是偶函数，当x0时，y2|x|2xx是减函数，满足条件；选项C，函数是偶函数，当x0时，yx2是增函数，不满足条件；选项D，函数的定义域为(，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件故选B.2已知偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0，若f(x1)0，则x的取值范围是( )A(3，) B(，3)C(，1)(3，)
16、 D(1,3)解析：D由偶函数f(x)在0，)单调递减，f(2)0，得f(x)f(|x|)，因为f(x1)0，则f(|x1|)f(2)，即|x1|2，解得1x3，即x的取值范围是(1,3)故选D.3(2020保定市一模)已知函数f(x)设g(x)，则g(x)是()A奇函数，在(，0)上递增，在(0，)上递增B奇函数，在(，0)上递减，在(0，)上递减C偶函数，在(，0)上递增，在(0，)上递增D偶函数，在(，0)上递减，在(0，)上递减解析：B根据题意，g(x)其定义域关于原点对称设x0，则x0，g(x)g(x)；设x0，则x0，g(x)g(x)，故g(x)为奇函数又g(x)x2在区间(0，)
17、上递减，则g(x)在(，0)上也递减故选B.4已知f(x)lg 是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是()A(1,0) B(0,1)C(，0) D(，0)(1，)解析：Af(x)lg 是奇函数，f(x)f(x)lg lg 0，解得a1，即f(x)lg ，由f(x)lg 0，得01，解得1x0，故选A.5(2020安庆市模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：f(x1)f(x1)，且当1x0时，f(x)2x1，则f(log220)等于( )A. BC D.解析：Df(x1)f(x1)，函数f(x)是周期为2的周期函数，又log232log220log216，4log2205，f(log220)f
18、(log2204)ff.又x(1,0)时，f(x)2x1，f，f(log220).故选D.6若函数f(x)ln(ax)是奇函数，则a的值为()A1 B1C1 D0解析：C因为f(x)ln(ax)是奇函数，所以f(x)f(x)0.即ln(ax)ln(ax)0恒成立，所以ln(1a2)x210，即(1a2)x20恒成立，所以1a20，即a1.7(2020惠州市模拟)已知函数f(x)2x2x，则不等式f(2x1)f(1)0的解集是_.解析：根据题意，有f(x)2x2x(2x2x)f(x)，则函数f(x)为奇函数，又函数f(x)在R上为增函数，f(2x1)f(1)0等价于f(2x1)f(1)，即f(2
19、x1)f(1)，所以2x11，解得x1，即不等式的解集为1，)答案：1，)8若f(x)k2x2x为偶函数，则k_，若f(x)为奇函数，则k_.解析：f(x)为偶函数时，f(1)f(1)，即22k，解得k1.f(x)为奇函数时，f(0)0，即k10，所以k1(或f(1)f(1)，即22k，解得k1)答案：119已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围解：(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是
20、增函数，要使f(x)在1，a2上单调递增结合f(x)的图象知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,310已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x1对称(1)求证：f(x)是周期为4的周期函数；(2)若f(x) (0x1)，求x5，4时，函数f(x)的解析式解：(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x1对称，有f(x1)f(1x)，即有f(x)f(x2)又函数f(x)是定义在R上的奇函数，故有f(x)f(x)故f(x2)f(x)即f(x)是周期为4的周期函数(2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)0.x1,0)时，x(0,1，f(x)f(x).故x1,0时，f(x).x5，4时，x41,0，f(x)f(x4).从而，x5，4时，函数f(x).- 11 - 版权所有高考资源网