1、23 数学归纳法一、学习内容、要求及建议知识、方法要求建议数学归纳法的原理了解借助具体实例了解数学归纳法的原理数学归纳法的简单应用理解理解数学归纳法的一般步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题二、预习指导1预习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2预习提纲(1)回顾已学知识，体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据，你能说出它的两个步骤吗?(3)结合课本第8687页的例1例3，体会用数学归纳法证明命题的2个步骤，解题时缺一不可；结合课本第8890页的例4和例5，体会用“
2、归纳猜想证明”的方法处理问题(4)阅读课本第85页至第90页内容，并完成课后练习3典型例题(1) 数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)数学归纳法证明命题的步骤是：递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；递推归纳：假设当n=k(kN*，且kn0)时结论正确；(归纳假设)证明当n=k1时结论也正确(归纳证明)由，可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确例1 用数学归纳法证明过程中，当n=1时，左边有_项，右边有_项；当n=k时，左边有_项，右边有_项；当n=k1时，左边有_项，右边有_项；等式的左右两边，由n=
3、k到n=k1时有什么不同?分析：证明时注意：n取第一个值n0是什么；从n=k到n=k1时关注项的变化解：当n=1时，左边有2_项，右边有_1_项；当n=k时，左边有_2k_项，右边有_k_项；当n=k1时，左边有_2(k1)_项，右边有_k1_项；等式的左边，由n=k到n=k1时多了两项：；等式的右边，由n=k到n=k1时多了两项：，少了一项：(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题例2 用数学归纳法证明 (nN*)分析：用数学归纳法证明问题时，注意从“n=k到n=k1”时项的变化；配凑
4、递推假设；检验是否用了归纳假设证明：当n=1时，结论成立；假设当n=k时结论成立，即则当n=k1时， 当n=k1时结论成立由，可知，不等式对于从1开始的所有正整数n都成立例3 已知f(n)=(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN都能使m整除f(n)，求m的最大值分析：归纳证明时，利用归纳假设创设递推条件，寻求f(k1)与f(k)的递推关系，是解题的关键解：f(1)=36，f(2)=108=336，f(3)=360=1036f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 证明 n=1，2时，由上得证；假设n=k(k2)时，f(k)=(2k7)3k9能被36整除，则n=
5、k1时，f(k1)=(2k9)3k19=(6k27)3k9=(2k7)3k9(4k20)3k = f(k)36(k5)3k2(k2) f(k1)能被36整除；由、知f(n)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除，所求m的最大值等于36例4 平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2n2个部分分析：注意从n=k到n=k1时的变化解：当n=1时，平面内1个圆把平面分成2部分，此时n2n2=2，结论成立；假设当n=k时结论成立，即平面内k个圆把平面分成k2k2个部分，则当n=k1时，第k1个圆与前面k个圆都相交，第k1个圆被前面k个圆分成2
6、k段弧，每段弧都把原来的平面部分一分为二，因此多了2k 个部分，所以平面内k1个圆把平面分成(k2k2)2k= k2k2=(k1)2(k1)2个部分，即当n=k1时结论成立；由、可知，平面内n个圆把平面分成n2n2个部分(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题，这种问题的解题流程为：归纳猜想证明，而证明往往会用数学归纳法猜归法是发现与论证的完美结合例5 是否存在常数，使得对一切正整数都成立?并证明你的结论；是否存在a，b，c使得等式122232n(n1)2=(an2bnc) 对于一切正整数n都成立?证明你的结论； 已知，是否存在关于的整式，使得等式对于大于1的一切正整数都成立?证明你的结论
7、分析：根据已知条件“对一切正整数都成立”，我们可以先通过前几个数，如=1，2，3的情形，进行归纳猜想，然后用数学归纳法证明结论解：假设存在常数使等式成立，令得： 解之得；下面用数学归纳法证明：对一切正整数都成立证明： 当时，左边，右边，即原式成立； 假设当时，原式成立，即 则当时， 即当时原式成立， 由、知对一切正整数都成立综上所述，当时，题设对一切自然数n均成立； 假设存在a，b，c使题设的等式成立，令n=1，2，3，则有于是，对n=1，2，3下面等式成立122232n(n1)2=记Sn=122232n(n1)2 n=1时，等式已证，成立； 假设n=k时上式成立，即Sk= (3k211k10
8、)则：Sk1=Sk(k1)(k2)2= (3k211k10) (k1)(k2)2=(k2)(3k5)(k1)(k2)2 = (3k25k12k24)= (3k21724)= 3(k1)211(k1)10即对n=k1等式也成立由、知，122232n(n1)2=对一切正整数都成立综上所述，当a=3，b=11，c=10时，题设对一切自然数n均成立；假设存在，令，求得，令，求得，令，求得，由此猜想：，下面用数学归纳法证明：对一切大于1的正整数都成立(略)例6 （）已知函数，其中为有理数，且. 求的最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：设，为正有理数. 若，则；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用
9、数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式.解：（），令，解得.当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（）知，当时，有，即 若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为正有理数且，总有. （）（）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则. 用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立. （2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由得，从而.故当时，成立.由（1）（2）可知
10、，对一切正整数，所推广的命题成立. 4自我检测(1)用数学归纳法证明3kn3(n3，nN)第一步应验证_(2)用数学归纳法证明时，第二步证明从“k到k1”，左端增加的项数是_ (3)设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当 成立时，总可推出成立” 那么，下列命题总成立的是_ 若成立，则成立；若成立，则成立； 若成立，则当时，均有成立； 若成立，则当时，均有成立(4)观察下列式子 ，则可归纳出_三、课后巩固练习A组1用数学归纳法证明：2用数学归纳法证明：3设f (n)=1，求证：nf (1)f (2)f (n1)=nf (n) (nN，n 2) B组4若n为大于1的自然数，求证：5用数学归纳法证
11、明 6用数学归纳法证明7用数学归纳法证明(nN，n2) 8用数学归纳法证明：能被9整除9求证：能被整除(nN*)10是否存在常数使等式 对一切正整数都成立?证明你的结论11 是否存在常数a，b，c，使等式对一切都成立?并证明你的结论12已知数列计算根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明13已知数列满足条件试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明14 数列an中，a1=1，且(1)求的值；(2)猜想an的通项公式，并证明你的猜想C组15 已知数列bn是等差数列，b1=1，b1b2b10=145，(1)求数列bn的通项公式bn；(2)设数列an的通项an=loga(1)(其中a0且a1)，
12、记Sn是数列an的前n项和，试比较Sn与logabn1的大小，并证明你的结论 16 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c()求xn1与xn的关系式；()猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)17一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：从
13、A口输入时，从B口得；当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数?(2)从A口输入100时，从B口得到什么数?并说明理由18某国采用养老储备金制度：公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，以表示到第年末所累计的储备金总额()写出与的递推关
14、系式；()求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列知识点题号注意点数学归纳法的简单应用等式：14不等式：47整除问题：910猜想证明： 1114注意数学归纳法的两个步骤缺一不可综合问题15注意数学归纳法在数学问题中的灵活运用实际问题1618注意数学归纳法在实际问题中的运用四、学习心得五、拓展视野已知函数，数列满足：证明：()；()分析: 可以考虑用数学归纳法证明(I)解: (I)先用数学归纳法证明(i)当n=1时，由已知条件知结论成立；(ii)假设当n=k时结论成立，即，时，在(0，1)上是增函数，即，当n=k1时，结论成立由(i)、(ii)可知，对一切正整数都成立又时，综上所述，；(II)设函数，由(I)可知，当时，在(0，1)上是增函数又，当时，0成立，即，