1、黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高二数学下学期6月月考试题 理（含解析）第卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合，若，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解一元二次不等式解出集合，分和两类，得出不等式组求范围，取并集即可得出答案.【详解】，当时，解得，符合题意；当时， 或，解得或，综上所述，实数a的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查了由集合的基本运算结果求参数的取值范围，在进行集合的运算时可借助veen图和数轴，使抽象问题直观化，在用数轴表示时要注意端点值的取舍，属于基础题.2.复数满足，则的最大值是（
2、）A. 3B. 49C. 9D. 81【答案】C【解析】【分析】本题首先可以设复数，然后通过得出，再然后通过得出，最后根据几何意义即可得出结果.【详解】设复数，则，因为，所以，则复数在复平面内所对应的点的轨迹是圆心为、半径为的圆，因为，所以，其几何意义是原点到圆上一点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为，所以的最大值为，的最大值是，故选：C.【点睛】本题考查复数的相关性质，主要考查复数的模以及共轭复数，考查复数在复平面内的几何意义，考查推理能力与计算能力，体现了基础性和综合性，是中档题.3.已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数在上恒单
3、调递增的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导函数大于等于0，结合二次函数的性质得出函数在上恒单调递增时，最后由列举法以及古典概型的概率公式求解即可.【详解】函数在上恒单调递增，则即，解得以为横坐标，为纵坐标，则共有9个结果，其中满足的共有个则函数在上恒单调递增的概率为故选：B【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算，涉及了导数知识的应用，属于中档题.4.中国南北朝时期的著作孙子算经中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为.若，则b的值可以是（ ）A. 2020B. 2021C. 2024D. 2
4、025【答案】D【解析】【分析】根据已知中a和b对模m同余的定义，结合二项式定理，可以求出，结合，对照四个选项中的数字，可得出答案.【详解】由题意可得：，由二项式定理可得：，即除以的余数为，因为，所以b的值除以的余数也为， 只有2025除以的余数为，则b的值可以是2025.故选：D【点睛】本题考查了二项式定理的应用，需熟记定理的展开式，属于中档题.5.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均
5、通话时间的中位数大小不可能是（ ）A. 520B. 540C. 580D. 620【答案】A【解析】【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择.【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数最小为（分钟）当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数最大为（分钟）所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为.故选：A【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属中档题.6.已知有穷数列（，2，3，6）满足，且当（i，2，3，6）时，.若，则符合条件的数列的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，先选出个
6、数，其顺序固定，有种取法，再从剩余的个数中选个分配给，有种取法，由分步计数原理即可求解.【详解】先从个数中任意选出个，最大的数为，最小的数为，另一个数为，这样的选法有种，同理，从剩余的个数中选个，有种选法，由分步计数原理可知共有种选法.故选：A【点睛】本题考查了排列、组合的应用，考查了分步乘法计数原理，属于基础题.7.已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，, ，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定逐项分析即可.【详解】选项A中，两平面也可能相交；选项B中，中两平面可能相交；选项C中可能在内【点睛】本题
7、主要考查了两个平面平行的判定，线面平行的判定，属于中档题.8.已知抛物线的焦点与椭圆（）的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为，那么该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的性质得出，将其代入椭圆方程结合椭圆的性质得出，最后由离心率公式计算即可.【详解】设椭圆的焦点为，抛物线的准线为由题意可知，则，即整理得到，解得（舍），则故选：C【点睛】本题主要考查了求椭圆的离心率，涉及了抛物线以及椭圆性质的应用，属于中档题.9.已知函数的导数为，且，则函数图象的大致形状是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导函数求出，讨论的函数
8、图象，结合奇偶性和特殊值即可得解.【详解】，,所以为奇函数，且当时，有g(x)0.结合选项，只有A符合题意.故选：A【点睛】此题考查根据导数值求参数的取值，根据函数的性质确定函数图象，关键在于根据导函数准确求解.10.已知回归方程，则该方程在样本处的残差为（ ）A. B. 1C. 2D. 5【答案】A【解析】【分析】本题可以利用回归方程计算出时的值，然后即可求出方程在样本处的残差.【详解】当时，则方程在样本处的残差为，故选：A.【点睛】本题考查线性回归方程的运用，主要考查线性回归方程在样本处的残差的相关计算，考查学生的计算能力，属于基础题11.已知双曲线（，）的左右焦点分别为，以线段为直径的圆
9、与双曲线在第二象限的交点为P，若直线与圆E：相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以又因为圆与直线的切点为，所以又，所以，则因此，因此有所以，因此渐近线的方程为.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于中档题.12.已知当时，函数恒成立，的导数为，且，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数与，然后利用导数判断出两函数的单调性，利用
10、单调性即可求解.【详解】令，则，所以函数为单调递增函数，由，即，所以，令，则，所以函数为单调递减函数，由，即，所以，所以.故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的难点和关键是构造出函数，属于难题.第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是5712106，则这400名学生视力的众数为_，中位数为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】
11、根据频率分布直方图，取最高矩形底边中点的横坐标即可求出众数，求出第三小组矩形的高，设中位数为，由，解方程即可求解.【详解】由图可知，众数为， 第五小组的频率为 从左至右五个小组的频率之比依次是5712106，可得第一小组的频率为，第二小组的频率为，第三小组的频率为，所以中位在第三小组，第三小组矩形面积为， 则第三小组的高为 设中位数为，则，解得 故答案为：；【点睛】本题考查了根据频率分布直方图求众数、中位数，考查了运算求解能力，属于基础题.14.已知定义在上的函数满足，且当时，.则函数在上的最大值是_.【答案】【解析】【分析】根据题意先求出在上的解析式，根据函数的单调性求出函数的最大值即可.【
12、详解】当时，又，当时，单调递减，当时，单调递增，.故答案为：【点睛】本题主要考查根据不同区间上函数之间的关系，求解不同区间上的函数表达式问题，方法是将所求的区间上的定义域凑到满足区间条件的定义域中去，同时考查了求分段函数的最值，属于基础题.15.我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类比上述过程，则_.【答案】【解析】【分析】类比题目中所给式子的解法，采用换元思想即可求解.【详解】根据题意类比推理得：设，则，得，解
13、得或（舍）.故答案为：【点睛】本题考查类比推理的思想方法，难度一般，解答时读懂原式的转化过程是关键.16.已知正四面体的外接球与内切球上各有一个动点M、N，若线段的最小值为，则下列几个命题中，真命题的序号是_.正四面体的体积与其外接球的体积的比为；正四面体的内切球的表面积为；正四面体的棱长为6；线段的最大值为.【答案】【解析】【分析】首先求出正四面体的外接球半径与内切球的半径，然后根据求出正四面体的棱长，然后逐一判断即可.【详解】设正四面体的棱长为，则它的外接球与内切球的球心重合，作平面，垂足为，则为的重心，且 则正四面体的高为， 设正四面体的外接球半径为，内切球的半径为由图可知，解得，.依题
14、意可得，解得，故正确；对于，正四面的体积为：，外接球的体积为：，所以正四面体的体积与其外接球的体积的比为，故正确；对于，内切球的表面积为：，故正确；对于，线段的最大值为：，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了多面体外接球、内切球问题、棱锥的体积公式、球的体积公式以及表面积公式，考查了考生的空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数），点是曲线上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转得到点.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）若曲线（）与曲线，分别交于点，点，求的面积.【
15、答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出曲线极坐标方程为，设，则，利用相关点代入法可得点的轨迹的极坐标方程；（2）将问题转化为极坐标方程进行求解，即到曲线的距离为，为极径之差的绝对值，代入面积公式，即可得答案；【详解】（1）依题意，曲线的普通方程为，即，把公式代入可得：，故曲线的极坐标方程为，设，则，则有，故点的轨迹的极坐标方程为.（2）曲线（）的极坐标方程为（），到曲线的距离为，曲线与曲线交点，曲线与曲线交点，故的面积.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化、点的轨迹方程、三角形的面积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、空间想象能力.18.在四棱锥中，侧面底面，底
16、面为直角梯形，E，F为，的中点.（1）若平面平面，求长；（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）的长为；（2）【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由法向量的数量积等于，求出，从而求出点的坐标，利用空间两点间的距离公式即可求解. （2）求出平面的一个法向量，由即可求解.【详解】（1），E为的中点，则， 因为平面底面，且平面底面，所以底面，又因为，所以平面为正方形，即，以点为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，设，则，设平面的一个法向量为，则，即
17、，令，则，所以，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，所以，因为平面平面，所以，即，解得，所以，因为F为的中点，所以，所以.（2）由（1）可知，所以， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查了空间向量法求面面角、线面角，考查了基本计算能力，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于中档题.19.马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱.王老师是一位资深的马拉松爱好者，他的微信朋友圈内也有大量的好友加入了他的“马拉松跑友群”，他随机选取了其中的100人（男、女各50人），记录了他们在某一天马拉松训练中
18、的跑步公里数，并将数据整理如下：跑步公里数性别5101015152020252530男481012106女84141464（1）已知某人一天的跑步公里数超过20公里被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关?初级高级总计男女总计（2）若王老师以这100位好友该日跑步公里数的频率分布来估计其跑群中所有跑友每日跑步公里数的概率分布，现从王老师的所有跑群好友中任选2人，其中每日跑步公里数不超过10公里的有X人，超过30公里的有Y人，设，求的分布列及数学期望. 附：，0.050.0250.0103.8415.02
19、46.635【答案】（1）没有97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关；（2）见详解.【解析】【分析】（1）根据跑步公里数的频数分布表，完成列联表，然后根据的计算公式即可求解；（2）题意分析可知的所有可能取值为，再分别计算这三种情况下的概率，列出分布列计算期望值.【详解】解：（1）跑步公里数的列联表如下：初级高级总计男222850女262450总计4852100因为所以没有97.5%的把握认为“评定级别”与“性别”有关.（2）由这100人跑步公里数的频数分布表得：在跑群中任选一人跑步公里数不超过10公里的概率为，超过30公里的频率为，在10公里和30公里之间的频率为，当，时，所以;当或时
20、，则;当或时，则;所以的分布列为：所以.【点睛】本题考查独立性检测、用样本估计整体及离散型随机变量的分布列与数学期望，难度较大.其中独立性检测问题只要列出列联表、计算出的值即可；离散型随机变量的分布列问题关键在于分析清楚随机变量的取值情况及计算每种情况下对应的概率.20.已知数列的前n项和为，当，时，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据与的关系求解即可；（2）得出的通项公式，利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）由题意可知当时，即即数列是首项，公比的等比数列则（2）当时，当时，经验证，当时，成立综上，【点睛】本题主要考查了与的关
21、系求通项公式以及利用裂项相消法求和，属于中档题.21.设函数，已知，且曲线在点处的切线与直线垂直.（1）判断函数在区间上的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求m的取值范围.【答案】（1）函数在区间上单调递增；（2）或.【解析】【分析】（1）计算出函数的导数，求出函数在处的斜率，再利用，从而求出的值，再利用导数研究的单调性，从而得出在给定区间的单调性；（2）分别求出函数在上的最小值与最大值，从而得出，再利用恒成立思想可得出m的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以，又因为在点处的切线与直线垂直，所以，又，即，所以，解得； 所以，则（），因为在单调递增，当时，所以在上单调递增.即函数在区间上单调
22、递增；（2）由（1）知，因为在单调递增，且，所以存在使得，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，由可得，所以，因为，且在上单调递减，所以，又因为当时，所以，所以，所以，因为当时，所以，解得或.所以m的取值范围或.【点睛】本题主要考查函数综合、导数的计算和导数在研究函数中的应用，关键在于得出导函数取得正负的区间，得出函数的单调性，属于难题.22.已知椭圆C的方程为（），为半焦距，椭圆C的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，椭圆C的离心率为e.（1）若椭圆过点，且，求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C相交于两点，且，四点共圆，若，试求的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，结合椭圆的性质得出，将点代入椭圆方程，求出，即可得出椭圆C的标准方程；（2）联立椭圆方程和直线方程，得出，根据椭圆的对称性以及圆的性质得出，由弦长公式化简得出，由不等式的性质以及二次函数的性质得出的最大值.【详解】（1），解得即，椭圆过点，即，解得，则，即椭圆C的标准方程为（2）设 联立，得解得由椭圆的中心对称性质得，四点共圆，即为直角三角形，且，即令，则当时，单调递减则当时，取得最大值【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及求椭圆中的最值问题，属于中档题.