1、第27课时方程的根与函数的零点课时目标1.结合二次函数的图象，能判断并求出函数的零点2了解函数的零点与方程根的内在联系3会运用连续函数根的存在性定理，判断根是否存在或者零点个数识记强化1函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点和相应的ax2bxc0(a0)的根的关系函数图象判别式000与x轴交点个数两个1个0个方程的根两个1个无解2.函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点3方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点4函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，
2、并且有f(a)f(b)0，得44(k3)0，解得k2.故选B.4函数f(x)2x2ex1的零点所在区间为()A(1,0) B(0,1)C(1,2) D(2,3)答案：B解析：由题意，知f(1)40，f(0)20，f(2)2e0，f(3)4e20，因为f(0)f(1)0，所以f(x)的零点所在区间为(0,1)，故选B.5函数f(x)log2x的一个零点落在下列哪个区间()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)答案：B解析：由f(x)0，得log2x，函数ylog2x和y的图象(如图所示)的交点的横坐标在(1,2)上，故选B.6已知函数yf(x)在定义域内是单调函数，则方程f(x)c
3、(c为常数)的解的情况是()A有且只有一个解B至少有一个解C至多有一个解D可能无解，可能有一个或多个解答案：C解析：由于函数yf(x)在定义域内是单调函数，因此若c为f(x)的值域内的值，则f(x)c有一个解，若c不在f(x)的值域内，则f(x)c无解，故选C.二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)7函数f(x)ln x3x2的零点的个数是_答案：1解析：由f(x)ln x3x20，得ln x23x，设g(x)ln x，h(x)23x，图象如图所示，两个函数的图象有一个交点，故函数f(x)ln x3x2有一个零点8若函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在(0，)上有一个零
4、点则f(x)的零点个数为_答案：3解析：根据奇函数的定义f(x)f(x)，f(x)在(0，)上有一个零点x0，则x0也是f(x)的零点，又由于f(0)0，所以f(x)有3个零点9已知对于任意实数x，函数f(x)满足f(x)f(x)若f(x)有2009个零点，则这2009个零点之和为_答案：0解析：设x0为其中一根，即f(x0)0，因为函数f(x)满足f(x)f(x)，所以f(x0)f(x0)0，即x0也为方程一根，又因为方程f(x)0有2009个实数解，所以其中必有一根x1，满足x1x1，即x10，所以这2009个零点之和为0.三、解答题(本大题共4小题，共45分)10(12分)求下列函数的零
5、点(1)yx2x6；(2)y(x22)(x23x2)解：(1)令y0，得x2x60，(x2)(x3)0，解得x12，x23，函数yx2x6的零点是2,3.(2)令y0，得(x22)(x23x2)0，x220或x23x20，解得x1，x2，x31，x42，函数y(x22)(x23x2)的零点是，1,2.11(13分)已知f(x)2(m1)x24mx2m1.(1)m为何值时，函数有两个零点？(2)如果函数的两个零点在原点左、右两侧，求实数m的取值范围解：(1)由题意，知，解得m1且m1.(2)根据二次函数的图象，函数的两个零点在原点左、右两侧，有两种情况(如图)：开口向上与开口向下因此或，解得1m
6、.所以m的取值范围是.能力提升12(5分)已知a(e1,1)，则函数ya|x|logax|的零点个数为()A1 B2C3 D4答案：B解析：在同一坐标系中做出ya|x|与y|logax|的图象，有两个交点，故选B.13(15分)已知函数f(x)2xlg(x1)2，求：(1)函数f(x)的定义域；(2)证明函数f(x)在定义域内为增函数；(3)求函数f(x)的零点所在的大致区间，并求出零点的个数解：(1)函数的定义域为(1，)；(2)设x1，x2(1，)且x1x2，则f(x1)f(x2)2lg(x11)2(2lg(x21)2)(22)lg(x11)lg(x21)x1x2，22，lg(x11)lg(x21)，220，lg(x11)lg(x21)0，f(x1)f(x2)0，所以f(0)f(1)0.所以函数f(x)的零点所在的区间为(0,1)，又因为函数f(x)在定义域内为增函数，所以函数f(x)的零点只有一个