1、第五节一元二次不等式及其解法学习要求:1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式.1.“三个二次”的关系判别式=b2-4ac0=00)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1Rax2+bx+c0)的解集x|x1x0和(x-a)(x-b)0型不等式的解集不等式解集ab(x-a)(x-b)0x|xbx|xax|xa(x-a)(x-b)0x|axbx|bx0对任意实数x恒成立a0,b2-4ac0.(2)一元二次不等式ax2+bx+
2、c0对任意实数x恒成立a0,b2-4ac0(0(0).(2)f(x)g(x)0(0)f(x)g(x)0(0)且g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若不等式ax2+bx+c0.()(2)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(4)不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a0且=b2-4ac0.()(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不
3、等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集.()答案答案(1)(2)(3)(4)(5)2.已知A=x|-4x1,B=x|x2-x-60,则AB等于()A.(-3,1)B.(-2,1)C.(-4,2)D.(-4,3)答案D因为A=x|-4x1=(-4,1),B=x|x2-x-60的解集为()A.(-,0)0,12B.-,12C.12,+D.0,12答案A原不等式等价于1-2x0,x0,解不等式组可得实数x的取值范围是(-,0)0,12.4.设不等式ax2+bx+10的解集为x|-1x0的解集为x|-1x13,知a0且ax2+bx+1=0的两根为x1=-1,x2=13,由根与系数的关系知-1+13=
4、-ba,-13=1a,所以a=-3,b=-2,即ab=6.5.若不等式x2+ax+40的解集不是空集,则实数a的取值范围是.答案(-,-4)(4,+)解析因为不等式x2+ax+40,即a216,所以a4或a-4.一元二次不等式的解法角度一解不含参数的一元二次不等式典例1(1)解不等式:-x2-2x+30;(2)已知函数f(x)=x2+2x,x0,-x2+2x,x3.解析(1)不等式两边同乘-1,则原不等式可化为x2+2x-30.方程x2+2x-3=0的解为x1=-3,x2=1.而y=x2+2x-3的图象开口向上,所以原不等式-x2-2x+30的解集是x|-3x1.(2)由题意得x0,x2+2x
5、3或x3,解得x1,故原不等式的解集为x|x1.角度二解含参数的一元二次不等式典例2解关于x的不等式:12x2-axa2(aR).解析因为12x2-axa2,所以12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0.令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.当a0时,-a4a3,不等式的解集为x|xa3;当a=0时,x20,不等式的解集为x|xR,且x0;当aa3,不等式的解集为x|x-a4.综上所述,当a0时,不等式的解集为x|xa3;当a=0时,不等式的解集为x|xR,且x0;当a0时,不等式的解集为x|x-a4.名师点评(1)解一元二次不等式的方法和步骤:(2)解含参
6、数的一元二次不等式的步骤:二次项系数若含有参数,应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式;判断对应方程的根的个数,讨论判别式与0的关系;确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.1.已知集合M=x|3x-x20,N=x|x2-4x+30,则MN=()A.(0,1)B.(1,3)C.(0,3)D.(3,+)答案A将M中不等式变形,得x(x-3)0,解得0x0,解得x3,即N=(-,1)(3,+),则MN=(0,1).故选A.2.解不等式ax2-(a+1)x+10).解析因为a0,所以原不等式等价于x-1a(x-1)0.
7、当a=1时,1a=1,x-1a(x-1)1时,1a1,解x-1a(x-1)0,得1ax1;当0a1,解x-1a(x-1)0,得1x1a.综上所述,当0a1时,不等式的解集为x|1x1时,不等式的解集为x|1ax1.一元二次不等式恒成立问题角度一形如f(x)0(f(x)0)(xR)确定参数的范围典例3若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40对一切xR恒成立,则实数a的取值范围是.答案(-2,2解析当a-2=0,即a=2时,不等式为-40,对一切xR恒成立.当a2时,则a-20,=4(a-2)2+16(a-2)0,即a2,-2a2,解得-2a0,则实数a的取值范围是.答案(1,5解析设f(x)
8、=x2-2(a-2)x+a.因为对于任意的x(-,1)(5,+),都有f(x)=x2-2(a-2)x+a0,所以0或0,1a-25,f(1)0,f(5)0,解得1a4或4a5,即10,|a|1恒成立的x的取值范围.解析将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x-3)a+x2-6x+90.令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,-1a1.因为f(a)0在|a|1时恒成立,所以若x=3,则f(a)=0,不符合题意,舍去.若x3,则由一次函数的单调性,可得f(-1)0,f(1)0,即x2-7x+120,x2-5x+60,解得x4.故实数x的取值范围为(-,2)(4,+).名师点评形如f(x)0(f
9、(x)0)恒成立问题的求解思路(1)xR的不等式确定参数的范围时,结合二次函数的图象,利用判别式来求解.(2)xa,b的不等式确定参数的范围时,根据函数的单调性求其最值,让最值大于等于或小于等于0,从而求出参数的范围;数形结合,利用二次函数在端点a,b处的取值特点确定不等式,求参数的取值范围.(3)已知参数ma,b的不等式确定x的范围,要注意变换主元,一般地,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.提醒解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元,谁是参数.1.若函数y=mx2-(1-m)x+m的定义域为R,则m的取值范围是.答案13,+解析y=mx2-(1-m)x+m的定义域为R,即mx2
10、-(1-m)x+m0对任意xR恒成立,则m0,(1-m)2-4m20,解得m13.2.设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于任意x1,3, f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围.解析要使f(x)-m+5在x1,3上恒成立,即mx-122+34m-60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)7m-60,所以m67,所以0m67;当m=0时,-60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)m-60,所以m6,所以m0.综上所述,m的取值范围是m|m67.其他不等式的解法典例6(1)不等式x2+x-32x-11的解集为()A.(-,-12,+)
11、B.(-,-112,2C.(-,-112,2D.-1,122,+)(2)解关于x的不等式:|x-1|5-2x|.(3)解关于x的不等式:3|2x-3|5.答案(1)D解析(1)由题意得x2+x-32x-1-10,所以x2-x-22x-10,所以(x-2)(x+1)2x-10,所以2x-10,(2x-1)(x-2)(x+1)0,解得-1x12或x2,所以不等式的解集为-1,122,+).(2)由原不等式得(x-1)2(5-2x)2,(x-1)2-(5-2x)20,x4,原不等式的解集是x|x4.(3)原不等式的解集是x|-1x0或3x4.名师点评1.去绝对值的方法(1)分类讨论(通过绝对值的定义
12、);(2)数形结合(通过绝对值的几何意义);(3)平方去绝对值.2.分式不等式的解法解分式不等式的基本思想是等价转化,即采用正确的方法将分式不等式转化为整式不等式或不等式组来解决.3.高次不等式的解法高次不等式通常是化为不等式组或用列表法或用数轴标根法求解.1.不等式2x+2x+1的解集是()A.(-3,-2)(0,+)B.(-,-3)(-2,0)C.(-3,0)D.(-,-3)(0,+)答案A不等式2x+20,等价于x(x+3)(x+2)0,如图,把x(x+3)(x+2)=0的各个根排列在数轴上,用穿根法求得不等式的解集为(-3,-2)(0,+).2.解关于x的不等式:|x-2|+|x+3|
13、7.解析当x7,解得x-4.当-3x7,解集为.当x2时,原不等式变成(x-2)+(x+3)7,解得x3.综上,原不等式的解集是(-,-4)(3,+).微专题转化与化归思想在不等式中的应用典例(2020福清模考)已知一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x0的解集为()A.x|-12x-15B.x|15x12C.x|-5x-2D.x|-12x0的解集为x|2x5,所以a0,且2,5是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,所以-ba=2+5=7,ca=25=10,所以b=-7a,c=10a,且a0化为10ax2-7ax+a0,即10x2-7x+10,解得15x12.因此不等式的解
14、集为x|15x0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.设a,b是关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个实根,则(a-1)2+(b-1)2的最小值是()A.-494B.18C.8D.-6答案C因为关于x的一元二次方程x2-2mx+m+6=0的两个根为a,b,所以a+b=2m,ab=m+6,且=4(m2-m
15、-6)0,解得m3或m-2.所以y=(a-1)2+(b-1)2=(a+b)2-2ab-2(a+b)+2=4m2-6m-10=4m-342-494.由二次函数的性质知,当m=3时,函数y=4m2-6m-10取得最小值,最小值为8.故选C.A组基础达标1.(2020江西吉安期末)已知不等式x2+bx-c0的解集为x|3x0的解集为()A.x|x2B.x|19x2C.x|x2D.x|-19x0可化为9x2-17x-20,解得x2.故选C.2.已知不等式ax2-5x+b0的解集为x|-3x0的解集是()A.x|-13x12B.x|-12x13C.x|x12D.x|x13答案C由题意得方程ax2-5x+
16、b=0的两根分别为-3,2,于是-3+2=-5a,-32=baa=-5,b=30.则不等式bx2-5x+a0即30x2-5x-50,即(3x+1)(2x-1)0,所以x12.故选C.3.不等式13x2-83-2x的解集是()A.x|-2x4B.x|2x4C.x|x-2答案A由13x2-83-2x,得38-x23-2x,由函数y=3x的单调性得8-x2-2x,即x2-2x-80,解得-2x3-2x的解集是x|-2x0(a0)的解集为()A.x|1ax1 B.x|x1aC.x|x1D.x|1x0,a0,原不等式等价于x-1a(x-1)0,且不等式对应的一元二次方程的根为1a和1,又1a1,原不等式
17、的解集为x|1ax1,即不等式的解集是2,2m,所以不等式的解集中4个正整数分别是2,3,4,5.令52m6,解得52m0恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-,22)B.(-22,22)C.(22,+)D.(-,-22)(22,+)答案A对任意的x(0,+),不等式x2-ax+20恒成立,则ax2+2x,x(0,+)恒成立,令g(x)=x2+2x,当x(0,+)时,g(x)=x+2x22,当且仅当x=2时,等号成立,a22,故选A.8.(2020全国多校模拟)已知关于x的不等式ax2-2x+3a0在(0,2上有解,则实数a的取值范围是()A.-,33B.-,47C.33,+D.47,+答案
18、Ax(0,2时,不等式可化为ax+3ax2.当a=0时,不等式为00时,不等式化为x+3x2x3x=23,当且仅当x=3时取等号,所以a33,即0a33;当a2a在(0,2上恒成立.综上,实数a的取值范围是-,33.故选A.9.若不等式x2+ax+10对任意的x0,12恒成立,则a的最小值为()A.-52B.0C.-2D.-3答案A不等式x2+ax+10对任意的x0,12恒成立a-x-1xmax,x0,12.令f(x)=-x-1x,x0,12,则f (x)=-1+1x2=1-x2x20,函数f(x)在0,12上单调递增,当x=12时,函数f(x)取得最大值,为f12=-12-2=-52,a的最
19、小值为-52.故选A.10.(2020新吴校级月考)不等式ax2+2x+b0(ab)的解集为x|x-1a,则a2+b2a-b的最小值为.答案22解析不等式ax2+2x+b0(ab)的解集为x|x-1a,由不等式对应的方程可得b=1a,即ab=1,ab,a2+b2a-b=(a-b)2+2aba-b=(a-b)+2a-b22,当且仅当a-b=2时取等号,a2+b2a-b的最小值为22.B组能力拔高11.若不等式x2+mx+40在区间(1,2)上有解,则m的取值范围是()A.(-4,+)B.(-,-4)C.(-5,+)D.(-,-5)答案C设f(x)=x2+mx+4,x(1,2),先考虑当x(1,2
20、)时,x2+mx+40无解,即不等式x2+mx+40在x(1,2)上恒成立,即f(1)0,f(2)0,即1+m+40,4+2m+40,解得m-5,不等式在(1,2)上有解时,m的取值范围是(-5,+),故选C.12.若关于x的不等式x2-(a+1)x+a0的解集中恰有两个整数,则a的取值范围是()A.(3,4)B.(-2,-1)(3,4)C.(3,4D.-2,-1)(3,4答案D由题意得,原不等式可化为(x-1)(x-a)1时,解得1xa,此时解集中的整数为2,3,则3a4;当a1时,解得ax1,此时解集中的整数为0,-1,则-2a-1.故a的取值范围是-2,-1)(3,4,故选D.13.(2
21、020重庆期末)已知关于x的一元二次不等式kx2-x+10的解集为(a,b),则2a+b的最小值是()A.6 B.5+26C.3+22D.3答案C因为(a,b)是一元二次不等式kx2-x+10,所以a+b=1k,ab=1k,所以a+b=ab,且a0,b0,即1a+1b=1,所以2a+b=(2a+b)1a+1b=3+2ab+ba3+22abba=3+22,当且仅当b=2a时,“=”成立,所以2a+b的最小值为3+22.故选C.C组思维拓展14.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+20(aR).解析原不等式可化为(ax-1)(x-2)0时,原不等式可化为a(x-2)x-1a0,根据不等式的性质
22、,得不等式等价于(x-2)x-1a0.因为方程(x-2)x-1a=0的两个根分别是2,1a,所以当0a12时,21a,则原不等式的解集是x|2x12时,1a2,则原不等式的解集是x|1ax2.当a=0时,原不等式为-(x-2)2,即原不等式的解集是x|x2.当a0时,原不等式可化为a(x-2)x-1a0,由于1a2,故原不等式的解集是x|x2.综上所述,当a0时,不等式的解集为x|x2;当a=0时,不等式的解集为x|x2;当0a12时,不等式的解集为x|2x12时,不等式的解集为x|1ax2.15.已知函数f(x)=ax2+2ax+1的定义域为R.(1)求a的取值范围;(2)若函数f(x)的最小值为22,解关于x的不等式x2-x-a2-a0,=(2a)2-4a0,解得0a1,综上可知,a的取值范围是0,1.(2)因为f(x)=ax2+2ax+1=a(x+1)2+1-a,0a1,所以当x=-1时, f(x)min=1-a.由题意得,1-a=22,所以a=12,所以不等式x2-x-a2-a0可化为x2-x-340,解得-12x32.所以不等式的解集为-12,32.
