1、第15讲计数原理与二项式定理考情分析本部分内容在高考中常以选择、填空题的形式出现对计数原理的考查主要是实际应用问题；对二项式定理的考查主要是定理的运用或求二项式系数、常数项、二项式指定项等.热点题型分析热点1计数问题求解排列、组合问题的思路：排列分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘解答通常的途径有：(1)以元素为主体，即选满足特殊元素的要求，再考虑其余元素；(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其余位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的排列或组合数；(4)解答时多利用分类讨论思想，分类应在同一标准下进行，确保“不重不漏”.1.用1,2
2、,3,4,5,6组成各位数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为()A.432 B288 C216 D144答案B解析先考虑2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，因此选出相邻的两个偶数有CA种情况，同时6个数变为5个数；这两个数与剩余的一个偶数不相邻，先排列奇数再插空，但由于1不能在左、右两端，因此有AA2AA；因此由分步原理可得六位数共有CA(AA2AA)288个，故选B.2.(2019合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方
3、法的种数为()A.120 B240 C360 D480答案C解析前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有CC种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A种方法；若相邻，有CA种，故共有CC(ACA)360(种)，故选C.3.(2019全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答)答案16解析解法一：3人中至少1位女生的情况有1女2男，2女1男两种情况，则不同的选择方法有CCCC16种.解法二：3人中至少1位女生的情况可由随机选取3人减去全是男生的情况求解，故本题不同的选择方法共有CC16种.排列组合的实际应用题中限制条件较多，
4、如何处理这些限制条件是解决问题的关键.(1)一般来说要遵循排列组合的基本策略：先组后排，特殊优先如第3题，经常错解为先挑1位女生参赛C，再从其余的5人中选出两人参加，由乘法原理有CC20种此种解法的错因为出现了重复现象因此解决此种问题应将选择的男女生情况进行分类或者是排除不满足条件的方法进行求解.(2)组合中要注意均分问题，记住相应的规律，如第1题由两个偶数相邻捆绑法；只有两个相邻，即与第三个偶数不相邻插空法，明确处理此类问题的基本顺序，然后逐步求解即可.(3)染色问题一般情况下分为条形染色和环形染色两类，条件限制常为相邻色块颜色不同.一种方法是分块逐步染色的方法，这类方法常用于条形染色问题；
5、二是使用颜色的数量分类，再按照块数排列染色的方法，这类方法常用于环形染色问题.热点2二项式定理1.通项与二项式系数：二项展开式中的第k1项为Tk1Cankbk(k0,1,2，n)，其中C叫做二项式系数.2.二项式系数的性质(1)在二项展开式中，CC(m0,1，n). (3)二项式系数的和：CCCC2n.1.(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A.12 B16 C20 D24答案A解析解法一：(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C2C12.故选A.解法二：(12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)，x3的系数为142412.故选A.2.(
6、2019长郡中学质检)若二项式7的展开式中的各项系数之和为1，则含x2的项的系数为()A.560 B560 C280 D280答案A解析取x1，得二项式7的展开式中的各项系数之和为(1a)7，即(1a)71，解得a2.二项式7的展开式的通项为Tk1C(x2)7kkC(2)kx143k.令143k2，得k4.因此，二项式7的展开式中含x2项的系数为C(2)4560，故选A.3.(2x1)6的展开式中，二项式系数最大项是第_项，其系数是_(用数字作答)；系数最大的项是_.答案4160240x4解析由题意知二项式系数最大为C，因此为第4项，即T31C(2x)3(1)3160x3，所以二项式系数最大项
7、的系数为160；由通项Tk1C(2x)6k(1)k可知，当k2时系数最大，此项为T21C(2x)4(1)2240x4.求解与二项式定理有关的问题要注意的几点：(1)二项展开式中，Tk1表示任意项，如第1题，只要n和k确定了，该项就随之确定了.(2)二项展开式中，Tk1是第k1项，而不是第k项如第3题，二项式系数为C故为第4项，易错解为第3项，从而得到错误答案.(3)二项展开式中某一项的系数与某一项的二项式系数易混淆；二项式系数最大项与展开式系数最大项不同如第3题，第一问是二项式系数最大项，第二问是系数最大项，因此第二问不仅要关注二项式系数C，还要关注(1)k2nk.特别是本题中间为“减号”，还
8、要关注其系数符号的正负.(4)解决二项展开式系数和问题时，可以使用赋值法二项式中字母赋值1时，可求所有项系数和；当二项式中间为“加号”时，可给字母赋值1，求奇数项系数与偶数项系数之差.真题自检感悟1.(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A.12种 B18种 C24种 D36种答案D解析由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)或列式为CCC3236(种)故选D.2.(2019天津高考)8的展开式中的常数项为_.答案28解析8的通项为Tr1C8rrC28rrx84r.令84r0
9、，得r2，常数项为T3C26228.3.(2019江苏高考)在二项式(x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是_.答案165解析由二项展开式的通项公式可知Tr1C()9rxr，rN,0r9，当为常数项时，r0，T1C()9x0()916.当项的系数为有理数时，9r为偶数，可得r1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.4.(2017天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)答案1080解析当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为CCA960.当组成四位数的数字中不含偶数时
10、，四位数的个数为A120.故符合题意的四位数一共有9601201080(个).专题作业一、选择题1.用两个1，一个2，一个0，可组成不同四位数的个数是()A.18 B16 C12 D9答案D解析解法一：以特殊位置为主体分析数字问题的特殊位置常包括首位和末位，本题的特殊位置为首位由于首位不能为0，故首位数字的选择有两种1和2，当首位为2时，共有C3个四位数；当首位为1时，共有A6个四位数，因此满足题意的四位数共有9个，故选D.解法二：以特殊元素为主体分析，本题的特殊元素为0.由于首位不能为0，故后三位中挑一位放入0，共C3种入位方法；由于有两个1和一个2，先放入2，共有C3种入位方法；剩余两位排
11、入1，故共有339个四位数，故选D.2.(2019成都棠湖中学月考)4的展开式中的常数项为()A.24 B6 C6 D24答案D解析二项展开式的通项为Tk1(1)k24kCx42k，令42k0，得k2，所以展开式中的常数项为4C24.故选D.3.(2019成都七中诊断)将多项式a6x6a5x5a1xa0分解因式得(x2)(xm)5，m为常数，若a57，则a0等于()A.2 B1 C1 D2答案D解析(xm)5的通项公式为Tk1Cx5kmk，a5x5xCx51m1(2)x5(5m2)x5，a55m2，又a57，5m27，m1，a0(2)C(1)52，故选D.4.(2019银川市二模)某地实行高考
12、改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生共有_种选考方法()A.6 B12 C18 D24答案C解析从物化生中选一科，从史地政中选两科，有CC9种；从物化生中选两科，从史地政中选一科，有CC9种；因此共有9918种选考方案，故选C.5.(2019北京101中学月考)某中学语文老师从红楼梦、平凡的世界、红岩、老人与海 4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中红楼梦为必读，则不同的分配方法共有()A.6种 B12种 C18种 D24种答案C解析按如下步骤进行
13、分配：(1)先从平凡的世界、红岩、老人与海这3本书中选择2本，共有C3(种)选法；(2)将选出的2本书与红楼梦共计3本书进行全排列，对应分给三名学生，有A6(种)排法，根据分步乘法计数原理，不同的分配方法有3618(种)故选C.6.(2019河北衡水一模)已知(2x1)4a0a1(x1)a2(x1)2a3(x1)3a4(x1)4，则a2()A.32 B24 C12 D6答案B解析由(2x1)4(2x2)14知，其展开式通项为Tk1C24k(x1)4k，所以a2为当k2时项的系数，故T21C22(x1)224(x1)2，所以a224，故选B.7.(2019兰州市模拟)某国际会议结束后，中、美、俄
14、等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站在前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A.A种 BA种C.AAA种 DAA种答案D解析先安排中国领导人，只有1种选择；再排美俄两国领导人，有A种选择；最后排其他领导人，有A种选择，故由分步计数原理可得，不同的排法共有AA种选择，故选D.8.在n的展开式中，若常数项为60，则n等于()A.3 B6 C9 D12答案B解析Tk1C()nkk.令0，得n3k.根据题意有2kC60，验证知k2，故n6.9.(2019河北衡水中学调研)某县教育局招
15、聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A，B两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为()A.72 B56 C57 D63答案A解析先将两个全科老师分给语文和数学各一个，有C2种，然后将新的4个语文老师分给两个学校有A6种，同样的方法将新的4个数学老师分给两个学校有A6种，所以共有26672(种)分配方法故选A.10.(x22)5的展开式中的常数项是()A.12 B12 C8 D8答案B解析(x22)5的展开式中的常数项由5的展开式中的常数项和含x2项组成因为5展开式的通项为Tk1Cx(5k)(1)k，其常数项为T51C(1
16、)51，含x2项为T31Cx2(1)310x2，即所求展开式的常数项为12(10x2)x212，故选B.11.(2019北京市丰台区一模)小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5人坐成一排若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A.60 B72 C84 D96答案C解析根据题意，分3种情况讨论：若小明的父母只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有AA12种安排方法，此时有221248种不同坐法；若小
17、明的父母只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有224种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A6种情况，此时有22624种不同坐法；小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A6种情况，此时，共有2612种不同坐法；则一共有48241284种不同坐法；所以C正确.12.在12的展开式中，x5的系数等于264，则(ex2x)dx等于()A.e23 Be24 Ce1 De2答案A解析由题意知12展开式的通项为Tk1
18、Ca12kk，其中k展开式通项为Ar1C()krr.由于所求为含x5的项，所以需r0，k10时满足题意，即含x5的项为T101Ca1210C(2017)0x5，所以66a2264，解得a2(由所求知a0)，所以(ex2x)dx(ex2x)dx(exx2)e23，故选A.二、填空题13.(2019东三省四市二模)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有_种不同的分法.答案48解析甲乙分得的票连号共有4A8种，因此共有8A48种不同的分法.14.(2019长春市二模)某班主任准备请2017年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参
19、加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种(用数字作答)答案1080解析按照甲、乙参加与否分类讨论：(1)甲、乙有一人参加，共CCA种发言顺序；(2)甲、乙均参加，共有CCACC，共计CCACCACC1080种.15.(2017浙江高考)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x2a4xa5，则a4_，a5_.答案164解析a4是x的系数，由二项式的展开式得a4CC2CC2216；a5是常数项，由二项式的展开式得a5CC224.16.(2019自贡诊断)在n的二项展开式中，所有项的系数之和为1024，则展开式中常数项的值等于_.答案15解析因为在n的二项展开式中，所有项的系数之和为4n1024，所以n5，故5的展开式的通项公式为Tk1，令k100，解得k4，可得常数项为T5C315.