1、第三讲三角函数的图象与性质 1.改编题下列说法正确的是()A.正切函数y=tan x在定义域上是增函数B.已知y=ksin x+1,xR,则y的最大值为k+1C.将函数y=sin x的图象向右平移(0)个单位长度,得到函数y=sin(x - )的图象D.y=sin|x|是偶函数2.2020惠州市一调将函数y=sin x的图象向左平移2个单位长度,得到函数y=f (x)的图象,则下列说法正确的是()A.y=f (x)是奇函数B.y=f (x)的最小正周期为C.y=f (x)的图象关于直线x=2对称D.y=f (x)的图象关于点( - 2,0)对称3.2019全国卷,8,5分文若x1=4,x2=3
2、4是函数f (x)=sin x(0)两个相邻的极值点,则=()A.2B.32C.1D.124.2019全国卷,9,5分下列函数中,以2为周期且在区间(4,2)上单调递增的是()A.f (x)=|cos 2x|B.f (x)=|sin 2x|C.f (x)=cos|x|D.f (x)=sin|x|5.2016全国卷,3,5分文函数 y=Asin(x+)的部分图象如图4 - 3 - 1所示,则()A.y=2sin(2x - 6)B.y=2sin(2x - 3) C.y=2sin(x+6)D.y=2sin(x+3)6.2019天津,7,5分文已知函数f (x)=Asin(x+)(A0,0,|0).若
3、f (x)f (4)对任意的实数x都成立,则的最小值为.考法1 三角函数的图象变换及其应用1(1)要得到函数y=sin(5x - 4)的图象,只需将函数y=cos 5x的图象A.向左平移320个单位长度B.向右平移320个单位长度C.向左平移34个单位长度D.向右平移34个单位长度 (2)如图4 - 3 - 2所示的是函数f (x)=sin(x+)(0,00)个单位长度后,所得到的图象关于直线x=512对称,则m的最小值为A.76B.6C.8D.724(1)函数y=cos 5x=sin(5x+2)=sin 5(x+10),(将变换前后的两个函数名化为同名)y=sin(5x - 4)=sin 5
4、(x - 20),设平移|个单位长度,则10+= - 20,(方程思想)解得= - 320,故把函数y=cos 5x的图象向右平移320个单位长度,可得函数y=sin(5x - 4)的图象.(2)解法一(直接法)由函数f (x)=sin(x+)(0,02)的部分图象, 可得周期T=2=56 - ( - 6)=,所以=2.又点( - 6,0)在函数f (x)的图象上,所以sin2( - 6)+=0,所以 - 3=2k(kZ),所以=3+2k(kZ),又00)个单位长度后,得到g(x)=sin(4x - 4m+3)的图象,(依据变换规律求解析式)因为所得图象关于直线x=512对称,所以4512 -
5、 4m+3=2+k(kZ),解得m=38 - 14k,kZ,(依据对称轴列方程求m)所以由m0,可得当k=1时,m取得最小值,且最小值为8.(范围定最值)解法二(特征值法)由函数图象可知P( - 6,0)和Q(56,0)是函数f (x)的图象的两个对称中心,得线段PQ的中点M(3,0)也是函数f (x)的图象的对称中心.显然,函数f (x)的周期T=56 - ( - 6)=.(定周期)显然PM的中点(12,0)在函数f (x)的图象的一条对称轴上,即直线x=12是该函数图象的一条对称轴.(由相邻对称中心定对称轴)所以该函数图象的对称轴的方程为x=12+k2(kZ).(结合周期性定对称轴的方程)
6、根据题意,将f (x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,再向右平移m个单位长度后,所得函数图象的对称轴的方程为x=12(12+k2)+m=24+k4+m(kZ),(根据图象变换规律求变换后所得函数图象的对称轴方程)令24+k4+m=512(kZ),解得m=38-k4(kZ).(列方程求值)因为m0,所以当k=1时,m取得最小值,最小值为38-4=8.(1)B (2)C 对于函数图象的平移方向类问题的求解,注意“正向左,负向右”的前提是把x的系数提取出来,如由y=sin( - x)变为y=sin( - x - 1),不能简单地依据“负向右”得出平移方向是向右,正确的描述应该是向左平移一个单位
7、长度.1.2020湖北部分重点中学高三测试将函数f (x)=sin(2x+),(0,)的图象向左平移12个单位长度得到函数g(x)的图象,已知g(x)是偶函数,则tan( - 6)=()A. - 3B.3C. - 33D.33考法2 由三角函数的图象求解析式2已知函数f (x)=Asin(x+)(A0,0,|)的部分图象如图4 - 3 - 3所示,则f (x)的解析式为图4 - 3 - 3A.f (x)=2 3sin(8x+4)B.f (x)=2 3sin(8x+34)C.f (x)=2 3sin(8x - 4)D.f (x)=2 3sin(8x - 34)由最值确定A的值由函数图象的两个相邻
8、对称中心之间的距离确定周期,进而确定的值由图象可得,函数的最大值为23,最小值为 - 23,故A=23.(最值定A)由函数图象可得,两个相邻对称中心分别为( - 2,0),(6,0),所以函数的周期T=26 - ( - 2)=16,(对称中心定周期)所以=2T=216=8.(周期定)所以f (x)=23sin(8x+).解法一(由对称中心定)由点( - 2,0)在函数图象上可得f ( - 2)=23sin8( - 2)+=23sin( - 4)=0,(代坐标列方程)又( - 2,0)在函数图象的下降段上,所以 - 4=+2k(kZ),解得=2k+54(kZ).因为|,所以k= - 1,= -
9、34.所以函数的解析式为f (x)=23sin(8x - 34).解法二(由最值点定)由函数图象可知,相邻两个对称中心分别为( - 2,0),(6,0),所以这两个对称中心之间的函数图象的最低点的坐标为(2, - 23).(求最低点坐标)代入函数解析式可得f (2)=23sin(82+)= - 23,即sin(4+)= - 1,所以4+=2k - 2(kZ),解得=2k - 34(kZ).因为|0),x0,f (x)的值域为 - 12,1,则的最小值为A.23B.34C.43D.32(2)2019全国卷,15,5分文函数f (x)=sin(2x+32) - 3cos x的最小值为.(1)因为0
10、x,所以 - 6x - 6 - 6.而f (x)的值域为 - 12,1,且f (0)=sin( - 6)= - 12,sin 76= - 12, 结合函数y=sin t的图象(如图4 - 3 - 4所示)可得2 - 676,解得2343. 则的最小值为23.故选A.(2)f (x)=sin(2x+32) - 3cos x= - cos 2x - 3cos x=1 - 2cos2x - 3cos x= - 2(cos x+34)2+178,因为cos x - 1,1,所以当cos x=1时,f (x)取得最小值,f (x)min= - 4.3.(1)2017全国卷,14,5分函数f (x)=si
11、n2x+3cos x - 34(x0,2)的最大值是.(2)2018全国卷,16,5分已知函数f (x)=2sin x+sin 2x,则f (x)的最小值是.考法5 三角函数的奇偶性、周期性、图象的对称性命题角度1三角函数的周期性5求下列函数的周期:(1)y=2|sin(4x - 3)|;(2)y=|tan x|;(3)y=2cos xsin(x+3) - 3sin2x+sin xcos x.(1)(公式法)y=2|sin(4x - 3)|的最小正周期是y=2sin(4x - 3)的最小正周期的一半,即T=1224=4.(2)(图象法)画出y=|tan x|的图象,如图4 - 3 - 5所示.
12、图4 - 3 - 5由图象易知T=.(3)(转化法)y=2cos x(12sin x+32cos x) - 3sin2x+sin xcos x=sin x cos x+3cos2x - 3sin2x+sin xcos x=sin 2x+3cos 2x=2sin(2x+3),故该函数的最小正周期T=22=.6函数f (x)=3sin(2x - 3+),(0,)满足f (|x|)=f (x),则的值为.由题意知f (x)为偶函数,其图象关于y轴对称,f (0)=3sin( - 3)=3, - 3=k+2,kZ.又00,|2),其图象的相邻两条对称轴之间的距离为4,将函数y=f (x)的图象向左平移
13、316个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,那么函数y=f (x)的图象A.关于点( - 16,0)对称B.关于点(16,0)对称C.关于直线x=16对称D.关于直线x= - 4对称因为函数y=f (x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为4,所以函数的周期T=2,(相邻两条对称轴之间的距离是12个最小正周期)所以=2T=4,所以f (x)=sin(4x+).将函数y=f (x)的图象向左平移316个单位长度后,得到函数y=sin4(x+316)+的图象,因为所得图象关于y轴对称,所以4316+=k+2,kZ,即=k - 4,kZ.又|2,所以= - 4,所以f (x)=sin(4x - 4).令
14、4x - 4=k,kZ,(根据y=sin t的性质求对称中心)解得x=k4+16,kZ,令k=0,得f (x)的图象关于点(16,0)对称,故B正确,易得A不正确.令4x - 4=2+k,kZ,(根据y=sin t的性质求对称轴)解得x=316+k4,kZ,所以函数f (x)的图象的对称轴方程为x=316+k4,kZ,易得C,D均不正确.B考法6 三角函数的综合问题8 2016天津,15,13分 已知函数f (x)=4tan xsin(2 - x)cos(x - 3) - 3.(1)求f (x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f (x)在区间 - 4,4上的单调性.(1)f (x)的定义域为x
15、|x2+k,kZ.(由正切函数定义域得f (x)的定义域)f (x)=4tan xcos xcos(x - 3) - 3=4sin xcos(x - 3) - 3=4sin x(12cos x+32sin x) - 3=2sin xcos x+23sin2x - 3=sin 2x+3(1 - cos 2x) - 3=sin 2x - 3cos 2x=2sin(2x - 3).(化为一角一函数)所以f (x)的最小正周期T=22=.(利用公式法求周期)(2)令z=2x - 3,函数y=2sin z的单调递增区间是 - 2+2k,2+2k,kZ.由 - 2+2k2x - 32+2k,(利用整体代换
16、法求解f (x)的单调递增区间)得 - 12+kx512+k,kZ.设A= - 4,4,B=x| - 12+kx512+k,kZ,易知AB= - 12,4.所以,当x - 4,4时, f (x)在区间 - 12,4上单调递增,在区间 - 4, - 12上单调递减.4.2019全国卷,11,5分关于函数f (x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论:f (x)是偶函数;f (x)在区间(2,)上单调递增;f (x)在 - ,上有4个零点;f (x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A. B.C. D.考法7 三角函数模型的应用9湖北高考,11分某实验室一天的温度(单位:)随时间t
17、(单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t)=10 - 3cos12t - sin12t,t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?(1)因为f (t)=10 - 2(32cos 12t+12sin 12t)=10 - 2sin(12t+3),又0t24,所以312t+311时实验室需要降温.由(1)得f (t)=10 - 2sin(12t+3),故有10 - 2sin(12t+3)11,即sin(12t+3) - 12.又0t24,因此7612t+3116,所以10t0,0,|2)的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高
18、价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为元.考法8 三角函数与其他知识的交汇10 2019安徽淮南二模已知函数y=Asin(x+)(|0)图象的一部分如图4 - 3 - 6所示.A,B,D是此函数图象与x轴的三个相邻交点,C是图象的最高点,点D的坐标是(1112,0),则数量积 ABAC=A.22B.24C.26D.28先根据函数图象确定函数解析式中各个参数的值,从而确定点A,B,C的坐标,然后求出两个向量的坐标,代入公式求解即可.由函数图象可知A=2,且f (0)=1,故sin =12.又|1112,故00,|2), 其图象与直线y= - 1相邻两个交点的距离为,若f (x)1
19、对任意的x( - 12,3)恒成立,则的取值范围是()A.(6,3) B.12,3 C.12,2 D.6,3数学探究三角函数中有关的求解三角函数中的求解是近年高考的一个热点内容,但因其求法复杂,涉及的知识点多,历来是我们复习中的难点.1.三角函数的单调性与的关系112019湖南师大附中模拟若函数f (x)=23sin xcos x+2sin2x+cos 2x在区间 - 32,32上单调递增,则正数的最大值为A.18B.16C.14D.13解法一因为f (x)=23sin xcos x+2sin2x+cos 2x=3sin 2x+1在区间 - 32,32上单调递增,所以 - 3 - 2,32,
20、(由端点值大小构建不等关系)解得16,所以正数的最大值是16.解法二易知f (x)=3sin 2x+1,可得f (x)的最小正周期T=,所以 - 4 - 32,432,解得16,所以正数的最大值是16.B解后反思本题中因为指定区间含有0,所以可以直接利用 - 3与 - 2的大小关系及3与 2的大小关系建立参数所满足的不等关系.若指定区间不含0,则需要先求出函数的单调递增区间,再利用子集关系建立参数所满足的不等关系.2.三角函数的最值、图象的对称性与的关系12 2016全国卷,12,5分已知函数f (x)=sin(x+)(0,|2),x= - 4为f (x)的零点,直线x=4为y=f (x)图象
21、的对称轴,且f (x)在(18,536)上单调,则的最大值为A.11B.9C.7D.5由条件中的“零点”和“对称轴”列等式根据“f (x)在(18,536)上单调”推导验证解法一因为x= - 4为函数f (x)的零点,直线x=4为y=f (x)图象的对称轴,所以4 - ( - 4)=2=kT2+T4(kZ,T为最小正周期),(根据函数的零点,图象的对称轴与函数的周期的关系得)化简得T=22k+1(kZ),即=2T=2k+1(kZ).又f (x)在(18,536)上单调,所以T2536- 18,(单调区间的长度不大于半个最小正周期)结合T=22k+1(kZ)可得,k112且kZ.当k=5时,=1
22、1,= - 4,f (x)在(18,536)上不单调;当k=4时,=9,=4,f (x)在(18,536)上单调,满足题意,故的最大值为9.解法二依题意,有( - 4)+=m,4+=n+2(m,nZ),解得=2(n - m)+1,=2(m+n)+14.(根据正弦函数的零点和图象的对称轴分别列式子,联立求解)又|2,所以m+n=0或m+n= - 1.由f (x)在(18,536)上单调,得536-18,所以012.当m+n=0时,=4n+1,=4,取n=2,得=9,f (x)=sin(9x+4),符合题意.当m+n= - 1时,= - 4,=4n+3,取n=2,得=11,f (x)=sin(11
23、x - 4),此时,当x(18,536)时,11x - 4(1336,2318),f (x)不单调,不合题意.故的最大值为9.B (1)求的取值范围,还可采用如下思路:因为f (x)在(18,536)上单调,所以2+k18+,2+(k+1)536+(kZ),利用同向不等式相加,得00),xR.若f (x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()A.(0,18B.(0,1458,1)C.(0,58D.(0,1814,582841.Dy=tan x在( - 2+k,2+k)(kZ)上是增函数,但在其定义域上不是增函数,故A错误;对于y=ksin x+1,xR,因为k的正负不确定,所以y的最大值
24、不确定,故B错误;图象左右平移是针对x本身而言的,如果系数不是1,需要先提取系数再求解,明显C是错误的.选D.2.D将函数y=sin x的图象向左平移2个单位长度,得到函数y=f(x)=sin(x+2)=cos x的图象,所以y=f(x)是偶函数,排除A;y=f(x)的最小正周期T=21=2,排除B;y=f(x)的图象关于直线x=k(kZ)对称,排除C.选D.3.A依题意得函数f(x)的最小正周期T=2=2(34 - 4)=,解得=2,故选A.4.A对于A,作出y=|cos 2x|的图象如图D 4 - 3 - 1所示,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)上单调递增,A正确;图D 4 - 3
25、- 1对于B,作出y=|sin 2x|的图象如图D 4 - 3 - 2所示,由图象知,其周期为2,在区间(4,2)上单调递减,B错误;图D 4 - 3 - 2对于C,y=cos|x|=cos x,周期为2,C错误;对于D,作出y=sin|x|的图象如图D 4 - 3 - 3所示,由图象知,其不是周期函数,D错误.图D 4 - 3 - 3故选A.5.A由题图易知A=2,因为周期T满足T2=3 - ( - 6),所以T=,=2T=2.由x=3时,y=2可知23+=2+2k(kZ),所以= - 6+2k(kZ),结合选项可知函数解析式为y=2sin(2x - 6).6.C因为f(x)=Asin(x+
26、)(A0,0,|0,min=23.1.D将函数f(x)=sin(2x+)的图象向左平移12个单位长度,得到g(x)=sin(2x+6+)的图象,因为g(x)是偶函数,所以6+=2+k,kZ,又(0,),所以=3,所以tan( - 6)=tan 6=33,故选D.2.A将函数f(x)=12sin(2x+3)图象上的每一个点都向左平移3个单位长度,得到函数g(x)=12sin2(x+3)+3=12sin(2x+)= - 12sin 2x的图象,令2+2k2x32+2k(kZ),可得4+kx34+k(kZ),因此函数g(x)的单调递增区间为k+4,k+34(kZ),故选A.3.(1)1f(x)=si
27、n2x+3cos x - 34= - cos2x+3cos x+14= - (cos x - 32)2+1.因为x0,2,所以cos x0,1,因此当cos x=32时,f(x)max=1.(2) - 332解法一因为f(x)=2sin x+sin 2x,所以f (x)=2cos x+2cos 2x=4cos2x+2cos x - 2=4(cos x - 12)(cos x+1).由f (x)0得12cos x1,即2k - 3x2k+3,kZ,由f (x)0得 - 1cos x12,即2k - 53x2k - 3,kZ,所以当x=2k - 3,kZ时,f(x)取得最小值,且f(x)min=f
28、(2k - 3)=2sin(2k - 3)+sin 2(2k - 3)= - 332.解法二因为f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x)=4sinx2cosx22cos2x2=8sinx2cos3x2=833sin2x2cos6x2,所以f(x)2=6433sin2x2cos6x2643(3sin2x2+cos2x2+cos2x2+cos2x24)4=274,当且仅当3sin2x2=cos2x2,即sin2x2=14时取等号,所以0f(x)2274,所以 - 332f(x)332,所以f(x)的最小值为 - 332.解法三因为f(x)=2sin x+sin 2x=2
29、sin x(1+cos x),所以f(x)2=4sin2x(1+cos x)2=4(1 - cos x)(1+cos x)3,设cos x=t,则y=4(1 - t)(1+t)3( - 1t1),所以y =4 - (1+t)3+3(1 - t)(1+t)2=4(1+t)2(2 - 4t),所以当 - 1t0;当12t1时,y 0,0,|2),可作出函数简图如图D 4 - 3 - 5所示.图D 4 - 3 - 5由题意知,A=2 000,B=7 000,T=2(9 - 3)=12,=2T=6.则f(x)=2 000sin(6x+)+7 000,则有63+=k+2,kZ,=k,kZ,又|0,|2)
30、,其图象与直线y= - 1相邻两个交点的距离为,故函数的最小正周期为T=2=,解得=2.所以f(x)=2sin(2x+)+1.由题意,f(x)1对任意的x( - 12,3)恒成立,即当x( - 12,3)时,sin(2x+)0恒成立.令t=2x+,因为x( - 12,3),所以t( - 6,+23).故要使sin t0恒成立,只需 - 62k,+232k+(kZ),解得2k+62k+3(kZ).显然,当k=0时,63,故选D.7.Df(x)=12(1 - cos x)+12sin x - 12=12sin x - 12cos x=22sin(x - 4).当=12时, f(x)=22sin(12x - 4),x(,2)时,f(x)(12,22,无零点,排除A,B;当=316时,f(x)=22sin(316x - 4),x(,2)时,当x=43时,f(x)=0,所以f(x)有零点,排除C.选D.
