1、1(2020武邑中学期末)抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)O为坐标原点，求证：3；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值2(2019合肥质检)已知直线l：xy10与焦点为F的抛物线C：y22px(p0)相切(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点F的直线m与抛物线C分别相交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值3已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是1，且1，a,4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(
2、m,0)，求实数m的取值范围4(2019南阳模拟)如图，设抛物线C1：y24mx(m0)的准线l与x轴交于椭圆C2：1(ab0)的右焦点F2，F1为左焦点，椭圆的离心率为e，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，连接PF1并延长PF1交C1于点Q，M为C1上一动点，且在P，Q之间移动(1)当取最小值时，求C1和C2的方程；(2)若PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，求MPQ面积的最大值答案精析1(1)证明依题意得，F(1,0)，且直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为xmy1.联立消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.x1x2(my1
3、1)(my21)m2y1y2m(y1y2)11，故x1x2y1y23.(2)解由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB，由(1)知2SAOB2|OF|y1y2|4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.2解(1)直线l：xy10与抛物线C：y22px(p0)相切联立消去x得y22py2p0，从而4p28p0，解得p2或p0(舍)抛物线C的方程为y24x.(2)由于直线m的斜率不为0，可设直线m的方程为xty1，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立消去x得y24ty40，0，y1y24t，即x1x
4、24t22，线段AB的中点M的坐标为(2t21,2t)设点A到直线l的距离为dA，点B到直线l的距离为dB，点M到直线l的距离为d，则dAdB2d22|t2t1|2，当t时，A，B两点到直线l的距离之和最小，最小值为.3解(1)由已知可得解得所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，线段AB的垂直平分线为y轴，此时m0，当k0时，直线MN的方程为y，化简得kyx0.令y0，得m.所以
5、m.综上所述，m的取值范围为.4解(1)因为cm，e，则a2m，bm，又m22(当且仅当m1时取等号)，所以取最小值时m1，此时抛物线C1：y24x，a2，b，所以椭圆C2：1.(2)因为cm，e，则a2m，bm，设椭圆的标准方程为1，P(x0，y0)，Q(x1，y1)，由得3x216mx12m20，所以x0m或x06m(舍去)，代入抛物线方程得y0m，即P，于是|PF1|，|PF2|2a|PF1|，|F1F2|2m，又PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，所以m3，此时抛物线方程为y212x，F1(3,0)，P(2,2)，则直线PQ的方程为y2(x3)，联立得2x213x180，x1或x22(舍去)，于是Q.所以|PQ| ，设M到直线PQ的距离为d，则d，当t时，dmax，所以MPQ面积的最大值为.
