1、第四讲圆锥曲线的综合问题1.2020广东四校联考设斜率不为0的直线l与抛物线x2=4y交于A,B两点,与椭圆x26+y24=1交于C,D两点,记直线OA,OB,OC,OD(O为坐标原点)的斜率分别为k1,k2,k3,k4.(1)若直线l过点(0,4),证明:OAOB;(2)求证:k1+k2k3+k4的值与直线l的斜率的大小无关.2.2020成都市高三摸底测试已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1( - 3,0),F2(3,0),且经过点A(3,12).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,记点P关于x轴对称
2、的点为P,若直线PQ与x轴相交于点D,求DPQ面积的最大值.3.2020贵阳市高三摸底测试已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为F1( - 3,0),且椭圆C经过点P(3,12).(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆C与y轴的正半轴交于点D,直线l:y=kx+m与椭圆C交于A,B两点(l不经过点D),且ADBD,证明:直线l经过定点,并求出该定点的坐标.4.2019安徽五校二检已知点A,B是x轴正半轴上两点(A在B的左侧),且|AB|=a(a0),过点A,B分别作x轴的垂线,与抛物线y2=2px(p0)在第一象限分别交于D,C两点.(1)若a=p,点A与抛物线y2=2px的焦点重合,求直线CD的斜率
3、;(2)若O为坐标原点,OCD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求S1S2的取值范围.5.2020大同市高三调研已知半圆x2+y2=4(y0),动圆与此半圆相切(内切或外切,如图10 - 4 - 1),且与x轴相切.(1)求动圆圆心的轨迹方程,并画出其轨迹.(2)是否存在斜率为13的直线l,它与(1)中所得的轨迹由左至右顺次交于A,B,C,D四点,且满足|AD|=2|BC|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.图10 - 4 - 16.2020湖北部分重点中学高三测试已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是椭圆上任意一点,且MF1F2的周
4、长为4+22,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l是圆O:x2+y2=43在动点P(x0,y0)(x0y00)处的切线,l与椭圆C交于不同的两点Q,R,证明:QOR的大小为定值.7.2020广东七校联考已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=8x上相异的两点,且满足x1+x2=4.(1)若直线AB经过点F(2,0),求|AB|的值;(2)是否存在直线AB,使得线段AB的垂直平分线交x轴于点M,且|MA|=42?若存在,求直线AB的方程;若不存在,请说明理由.8.2019福建福州质检已知圆O:x2+y2=r2(r0),
5、椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短半轴长等于圆O的半径,且过椭圆C的右焦点的直线l0与圆O相切于点D(12,32).(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与圆O相切,且与椭圆C相交于不同的两点A,B,求点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值.9.创新题椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且离心率e=63.(1)设E是直线y=x+2与椭圆的一个交点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程.(2)已知N(0,1),是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A,B,使得点N在线段AB的垂直平分线上?若存在,求出直线l在y轴上的截距的范围;若
6、不存在,说明理由.10.2019湖北武汉联考交汇题已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,半焦距为c,过点B(a, - c)作x轴,y轴的垂线,垂足分别为B1,B2,且四边形OB1BB2(O为坐标原点)的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知经过点B的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,设直线B1M与直线B1N的倾斜角分别为,且tan tan 1,求tan(+)的取值范围.第四讲圆锥曲线的综合问题1.由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,k0,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)依题意,得x12=4y1,x22=4y2,两式相乘得(x1x2
7、)2=16y1y2,由直线l过点(0,4),得直线l的方程为y=kx+4,将直线l的方程代入抛物线方程x2=4y,得x2 - 4kx - 16=0,易知0.x1x2= - 16,y1y2=16,OAOB=x1x2+y1y2=0,OAOB.(2)设C(x3,y3),D(x4,y4).由y=kx+m,x2=4y,消去y得x2 - 4kx - 4m=0,易知0,则x1+x2=4k,x1x2= - 4m,k1+k2=y1x1+y2x2=x14+x24=k.由y=kx+m,x26+y24=1,消去y得(2+3k2)x2+6kmx+3m2 - 12=0,易知=(6km)2 - 4(2+3k2)(3m2 -
8、 12)0,则x3+x4= - 6km2+3k2,x3x4=3m2 - 122+3k2,k3+k4=y3x3+y4x4=2k+mx3+mx4=2k+m(x3+x4)x3x4=2k+ - 6km23m2 - 12= - 8km2 - 4.k1+k2k3+k4= - m2 - 48,是一个与直线l的斜率k的大小无关的值.2.(1)由椭圆的定义,可知2a=|AF1|+|AF2|=(23)2+(12)2+12=4,解得a=2.又b2=a2 - (3)2=1,椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)由题意,设直线l的方程为x=my+4(m0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则P(x1, - y1
9、).由x=my+4,x24+y2=1,消去x得(m2+4)y2+8my+12=0.=16(m2 - 12)0,m212.则y1+y2= - 8mm2+4,y1y2=12m2+4.直线PQ的斜率kPQ=y2+y1x2 - x1=y2+y1m(y2 - y1),直线PQ的方程为y+y1=y2+y1m(y2 - y1)(x - x1),令y=0,可得x=m(y2 - y1)y1y1+y2+my1+4=2my1y2y1+y2+4=2m12m2+4 - 8mm2+4+4=1,D(1,0).SDPQ=|SBDQ - SBDP|=12|BD|y1 - y2|=32(y1+y2)2 - 4y1y2=6m2 -
10、 12m2+4.令t=m2 - 12,t(0,+),则SDPQ=6tt2+16=6t+16t34,当且仅当t=4即m=2 7时等号成立,DPQ面积的最大值为34.3.(1)由题意,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),焦距为2c,另一个焦点为F2,则c=3,F2(3,0).在RtPF2F1中,|PF1|=|F1F2|2+|PF2|2=72.由椭圆的定义得2a=|PF1|+|PF2|=72+12=4,则a=2,b=a2 - c2=1,所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)由(1)得D(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,x24+y2=1,消去y得(1+4k2
11、)x2+8kmx+4m2 - 4=0,易知0,则x1+x2= - 8km1+4k2,x1x2=4m2 - 41+4k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=m2 - 4k21+4k2.由ADBD得DADB=x1x2+(y1 - 1)(y2 - 1)=0,即5m2 - 2m - 31+4k2=0,所以5m2 - 2m - 3=0,解得m=1或m= - 35.当m=1时,直线l经过点D,舍去.当m= - 35时,直线l的方程为y=kx - 35,所以直线l经过定点,且该定点的坐标为(0, - 35).4.(1)由题意知A(p2,0),又a=p
12、,则B(3p2,0),D(p2,p),C(3p2,3p),所以直线CD的斜率kCD=3p - p3p2 - p2=3 - 1.(2)设直线CD的方程为y=kx+b(k0),C(x1,y1),D(x2,y2).由y=kx+b,y2=2px,消去x得ky2 - 2py+2pb=0,易知=4p2 - 8pkb0,即kb0,y1y2=2pbk0,可知k0,b0.因为|CD|=1+k2|x1 - x2|=a1+k2,点O到直线CD的距离d=|b|1+k2,所以S1=12a1+k2|b|1+k2=12ab.又S2=12(y1+y2)|x1 - x2|=122pka=apk,所以S1S2=kb2p.因为0k
13、bp2,所以0S1S20).若动圆与半圆内切,则|MO|=2 - |MN|,x2+y2=2 - y,两边平方得x2+y2=4 - 4y+y2,化简得y= - 14x2+1(y0).综上,当动圆与半圆外切时,动圆圆心的轨迹方程为y=14x2 - 1(y0);当动圆与半圆内切时,动圆圆心的轨迹方程为y= - 14x2+1(y0).动圆圆心的轨迹如图D 10 - 4 - 1所示.图D 10 - 4 - 1(2)假设满足题意的直线l存在,可设l的方程为y=13x+b.依题意,可得直线l与曲线y=14x2 - 1(y0)交于A,D两点,与曲线y= - 14x2+1(y0)交于B,C两点.由y=13x+b
14、,y=14x2 - 1与y=13x+b,y= - 14x2+1,消去y整理可得3x2 - 4x - 12b - 12=0与3x2+4x+12b - 12=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),则xA+xD=43,xAxD= - 12b - 123,xB+xC= - 43,xBxC=12b - 123.又|AD|=1+(13)2|xA - xD|,|BC|=1+(13)2|xB - xC|,且|AD|=2|BC|,|xA - xD|=2|xB - xC|,即(xA+xD)2 - 4xAxD=4(xB+xC)2 - 4xBxC,整理得(43)2+4(12b+
15、12)3=4( - 43)2 - 4(12b - 12)3,解得b=23.将b=23代入方程,得xA= - 2,xD=103.函数y=14x2 - 1(y0)的定义域为( - , - 2)(2,+),假设不成立,即不存在满足题意的直线l.6.(1)因为以坐标原点O为圆心,椭圆C的短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点,所以b=c,可得a=2c.因为MF1F2的周长为4+22,所以a+c=2+2,所以c=2,a=2,b=2,所以椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)解法一由题意知,直线l的斜率存在且不为0,设Q(x1,y1),R(x2,y2),直线l的方程为y=kx+m.因为l为圆O的切线,所以|
16、m|1+k2=233,即3m2=4+4k2.将y=kx+m与椭圆方程联立,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2 - 4=0,易知0,所以x1+x2= - 4km2k2+1,x1x2=2m2 - 42k2+1,x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=3m2 - 4k2 - 42k2+1.由得x1x2+y1y2=0,所以OQOR,QOR=2,即QOR的大小为定值.解法二由题意知,直线l的方程为x0x+y0y=43,且x02+y02=43.记Q(x1,y1),R(x2,y2).由x24+y22=1,x0x+y0y=43,消去
17、y得(y02+2x02)x2 - 163x0x+329 - 4y02=0,易知0,所以x1+x2=163x0y02+2x02,x1x2=329 - 4y02y02+2x02,y1y2=1y02(43 - x0x1)(43 - x0x2)=1y02169 - 43x0(x1+x2)+x02x1x2=169 - 4x02y02+2x02,从而x1x2+y1y2=329 - 4y02y02+2x02+169 - 4x02y02+2x02=163 - 4(x02+y02)y02+2x02=163 - 163y02+2x02=0,所以OQOR,QOR=2,即QOR的大小为定值.7.(1)解法一若直线AB
18、的斜率不存在,则直线AB的方程为x=2.由y2=8x,x=2,解得x=2,y=4或x=2,y= - 4,即A(2,4),B(2, - 4)或A(2, - 4),B(2,4),所以|AB|=8.若直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x - 2)(k0),由y2=8x,y=k(x - 2),消去y得k2x2 - (4k2+8)x+4k2=0,0,故x1+x2=4k2+8k2=4,无解.综上,可得|AB|=8.解法二直线AB过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),根据抛物线的定义,得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4=8.(2)假设存在符
19、合题意的直线AB,设直线AB的方程为y=mx+b(m0),由y2=8x,y=mx+b,消去y,得m2x2+(2mb - 8)x+b2=0(*),故x1+x2= - 2mb - 8m2=4,所以b=4m - 2m.所以x1x2=b2m2=(4m2 - 2)2.所以|AB|=1+m2|x1 - x2|=1+m2(x1+x2)2 - 4x1x2=(1+m2)42 - 4(4m2 - 2)2=8m4 - 1m2.因为y1+y2=m(x1+x2)+2b=4m+2b=8m,所以线段AB的中点为C(2,4m).所以线段AB的垂直平分线方程为y - 4m= - 1m(x - 2),即x+my - 6=0.令y
20、=0,得x=6,所以点M的坐标为(6,0).所以点M到直线AB的距离|CM|=(6 - 2)2+16m2=4m2+1|m|.易知|MA|2=(|AB|2)2+|CM|2,所以(42)2=(4m4 - 1m2)2+(4m2+1|m|)2,解得m=1.当m=1时,b=2;当m= - 1时,b= - 2.将m=1,b=2和m= - 1,b= - 2分别代入(*)式检验,得=0,不符合题意.故假设不成立,即不存在符合题意的直线AB.8.(1)解法一由题意知r2=(12)2+(32)2=1,所以b=1.易知过点D与圆O相切的直线l0的方程为y - 32= - 33(x - 12),即x+3y - 2=0
21、.令y=0,得x=2,即c=2,从而a2=b2+c2=5.所以椭圆C的方程为x25+y2=1.解法二由题意知r2=(12)2+(32)2=1,所以b=1.设椭圆的右焦点坐标为(c,0),则过该点与圆O相切于点D(12,32)的直线l0的方程为y - 32=3212 - c(x - 12),化简得3x - (1 - 2c)y - 3c=0.又点O到直线l0的距离等于半径1,即| - 3c|(3)2+ - (1 - 2c)2=1,解得c=2,从而a2=b2+c2=5.所以椭圆C的方程为x25+y2=1.(2)设点O到弦AB的垂直平分线的距离为d.若直线lx轴,则弦AB的垂直平分线与x轴重合,所以d
22、=0;若直线ly轴,则l与C只有一个交点,不符合题意.解法一若直线l不与坐标轴垂直,设直线l的方程为y=kx+m(k0),A(x1,y1),B(x2,y2).因为直线l与圆O相切,所以|m|1+k2=1,即|m|=1+k2.由y=kx+m,x25+y2=1,消去y得(1+5k2)x2+10kmx+5m2 - 5=0.易知0.则x1+x2= - 10km1+5k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+5k2,弦AB的中点的坐标为( - 5km1+5k2,m1+5k2),所以弦AB的垂直平分线的方程为y - m1+5k2= - 1k(x+5km1+5k2),即x+ky+4km1+5k2=0
23、,所以点O到弦AB的垂直平分线的距离d=|4km1+5k2|1+k2.将|m|=1+k2代入上式,得d=|4k|1+5k2=41|k|+5|k|425=255,当且仅当|k|=55,|m|=305时,等号成立.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为255.解法二若直线l不与坐标轴垂直,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点M(x0,y0).易知x00,y00,由点A,B在椭圆上,得x125+y12=1,x225+y22=1,由 - ,得15(x1 - x2)(x1+x2)+(y1 - y2)(y1+y2)=0,故kAB=y1 - y2x1 - x2= - 15x1+x2
24、y1+y2= - x05y0.则直线l的方程为y - y0= - x05y0(x - x0),化简得x0x+5y0y - x02 - 5y02=0.因为直线l与圆O相切,所以1=| - x02 - 5y02|x02+25y02,即x02+5y02=x02+25y02.易知弦AB的垂直平分线的方程为y - y0=5y0x0(x - x0),即5y0x - x0y - 4x0y0=0.所以点O到弦AB的垂直平分线的距离d=| - 4x0y0|x02+25y02=|4x0y0|x02+5y02=4|x0y0|+|5y0x0|425=255,当且仅当x02=5y02且x02+5y02=x02+25y0
25、2时,等号成立.综上所述,点O到弦AB的垂直平分线的距离的最大值为255.9.(1)e=ca=63,b2+c2=a2,b2a2=13,椭圆的方程可化为x23b2+y2b2=1.由x23b2+y2b2=1,y=x+2,消去y化简得4x2+12x+12 - 3b2=0,由=144 - 16(12 - 3b2)0,解得b21,即b1,|EF1|+|EF2|=2a=23b23,当且仅当b=1时,|EF1|+|EF2|取得最小值,为23,|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程为x23+y2=1.(2)设直线l在y轴上的截距为t.当k=0时,直线l的方程为y=t,易知 - 1t0,即t21+3k2.
26、设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q,则x1+x2= - 6kt1+3k2,x1x2=3t2 - 31+3k2,y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t1+3k2,线段AB的中点Q的坐标为( - 3kt1+3k2,t1+3k2),由题意知,直线NQ的斜率为 - 1k,即t1+3k2 - 1 - 3kt1+3k2= - 1k,化简得1+3k2= - 2t,代入t21+3k2得t2 - 2t,解得 - 2t1,t - 12,故 - 2tb0)的离心率为12,得ca=12.由解得a=2,c=1,所以b2=a2 - c2=3.所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.(2)由(1)
27、得B1(2,0),B(2, - 1).当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2,直线l与椭圆x24+y23=1相切,不符合题意.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x - 2)(k0),由y+1=k(x - 2),x24+y23=1,消去y并整理得(4k2+3)x2 - (16k2+8k)x+16k2+16k - 8=0,则=(16k2+8k)2 - 4(4k2+3)(16k2+16k - 8)= - 192k+960,解得k12.设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=16k2+8k4k2+3,x1x2=16k2+16k - 84k2+3.所以kB1M+kB1N
28、=y1x1 - 2+y2x2 - 2=k(x1 - 2) - 1x1 - 2+k(x2 - 2) - 1x2 - 2=2k - (1x1 - 2+1x2 - 2)=2k - x1+x2 - 4(x1 - 2)(x2 - 2)=2k - x1+x2 - 4x1x2 - 2(x1+x2)+4=2k - 16k2+8k4k2+3 - 416k2+16k - 84k2+3 - 216k2+8k4k2+3+4=2k+3 - 2k=3,即tan +tan =3.tan tan =y1x1 - 2y2x2 - 2=(k - 1x1 - 2)(k - 1x2 - 2)=k2 - k(1x1 - 2+1x2 -
29、 2)+1(x1 - 2)(x2 - 2)=k2 - k(x1+x2) - 4k - 1x1x2 - 2(x1+x2)+4=k2 - k16k2+8k4k2+3 - 4k - 116k2+16k - 84k2+3 - 216k2+8k4k2+3+4=k2 - k(16k2+8k) - (4k+1)(4k2+3)16k2+16k - 8 - 2(16k2+8k)+4(4k2+3)=k2 - 4k2 - 12k - 34=3k+34,因为tan tan 1,所以k112.所以tan(+)=tan+tan1 - tantan=31 - (3k+34)=121 - 12k,又k12,所以tan(+)的取值范围为( - , - 125)(0,+).