1、江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（17）一、填空题（共16小题，每小题3分，满分48分）1若，则a+b的值是_2设集合A=x|ax+2=0，B=1，2，满足AB，则实数a的所有可能取值集合为_3若命题“xR，有x2mxm0”是假命题，则实数m的取值范围是_4已知角，的终边在第一象限，则“”是“sinsin”的_条件5已知各项均为正数的等比数列an满足|a2a3|=14，a1a2a3=343，则数列an的通项公式为_6设为锐角，=（cos，sin），=（1，1）且=，则sin（+）=_7已知函数f（x）=sin（x）（0）的图象与x正半轴交点的横坐标由小到大构成一个公差
2、为的等差数列，将该函数的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为_8已知，则2x23y的最大值为_9已知二次不等式ax2+2x+b0的解集x|x，且ab，则的最小值为_10ABC中，角A，B满足tan（A+B）=3tanA，则tanB取到最大值时角C=_11设等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，首项a11，a2014a201510，0，则使Tn1成立的最大自然数n=_12已知、是平面内两个相互垂直的单位向量，且（3）（4）=0，则|的最大值为_13计算 cos80的值等于_14函数f（x）=（m4）x3+10x在1，2上最大值为4，则实数m=_15设数列an
3、前n项的和为Sn，an+1=2Sn，a1=1，求通项an=_16设函数f（x）=3sinx+2cosx+1若实数a、b、c使得af（x）+bf（xc）=1对任意实数x恒成立，则的值等于_二、解答题（共6小题，满分47分）17已知集合A=，分别根据下列条件，求实数a的取值范围（1）AB=A；（2）AB18已知函数f（x）=sin2x+cos（2x），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B为锐角，且f（B）=，求边c的长19在ABC中，AB边上的中线CO=2 （1）若|=|，求（+）的值；（2）若动点P满足=sin2+cos2（R
4、），求（+）的最小值20如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且ECF的周长为常数a（单位：百米）（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即EAF）21（16分）已知数列an前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1n）求a1；求证：数列an是等比数列；是否存在常数a，使得（Sn+1a）2=（Sn+2a）（Sna）对nN+都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由22（16分）已知函数f（x）=ax2lnx（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在区间1，e上，函数y=f
5、（x）的图象恒在直线y=1的上方，求a的取值范围；（3）设g（x）=x32bx+1，当a=时，若对于任意的x11，e，总存在x2（0，1，使得f（x1）g（x2）成立，求b的取值范围江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高考数学模拟试卷（17）一、填空题（共16小题，每小题3分，满分48分）1若，则a+b的值是2考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件 专题：计算题分析：由已知中，根据复数除法的运算法则，我们结合复数相等的充要条件易构造出一个关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，进而即可得到答案解答：解：=a+bia=，b=a+b=2故答案为：2点评：本题考查的知识点是复数代
6、数形式的乘除运算及复数相等的充要条件，其中根据复数相等的充要条件易构造出一个关于a，b的方程组，是解答本题的关键2设集合A=x|ax+2=0，B=1，2，满足AB，则实数a的所有可能取值集合为1，0，2考点：集合的包含关系判断及应用 专题：计算题；集合分析：由题意，讨论集合是否为空集，从而求实数a的所有可能取值集合解答：解：若A=，则a=0；AB成立；若A；若A=1，则a+2=0，解得a=2；若A=2，则2a+2=0，故a=1；故实数a的所有可能取值集合为1，0，2；故答案为：1，0，2点评：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题3若命题“xR，有x2mxm0”是假命题，则实数m的取值范围
7、是（4，0）考点：特称命题 专题：简易逻辑分析：写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可解答：解：命题“xR，有x2mxm0”是假命题，它的否定命题是“xR，有x2mxm0”，是真命题，即m2+4m0；解得4m0，m的取值范围是（4，0）故答案为：（4，0）点评：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题4已知角，的终边在第一象限，则“”是“sinsin”的既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据三件函数的定义和关系式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：
8、角，的终边在第一象限，当=+2，=，满足，但sin=sin，则sinsin不成立，即充分性不成立，若当=，=+2，满足sinsin，但不成立，即必要性不成立，故“”是“sinsin”的既不必要也不充分条件，故答案为：既不必要也不充分条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础5已知各项均为正数的等比数列an满足|a2a3|=14，a1a2a3=343，则数列an的通项公式为考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由|a2a3|=14得到a2a3=14或a3a2=14，再由a1a2a3=343求得a2，然后求得等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案解答：解：由|a2
9、a3|=14，得a2a3=14或a3a2=14由a1a2a3=343，得，a2=7当a2a3=14时，a3=a214=7不合题意；当a3a2=14时，a3=a2+14=21，q=3则故答案为：点评：本题考查了等比数列的性质，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题6设为锐角，=（cos，sin），=（1，1）且=，则sin（+）=考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算 专题：计算题；三角函数的求值分析：先求sin2的值，从而可求cos2，由半角公式即可求sin（+）的值解答：解：=cossin=，1sin2=，得sin2=，为锐角，cossin=（0，），从而cos2取正值，cos2=
10、，为锐角，sin（+）0，sin（+）=故答案为：点评：本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，平面向量数量积的运算，属于基本知识的考查7已知函数f（x）=sin（x）（0）的图象与x正半轴交点的横坐标由小到大构成一个公差为的等差数列，将该函数的图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由条件再根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得2m=k，kz，由此求得m的最小值解答：解：由题意可得函数f（x）的最小正周期为=2，可得=2把函数f（x）=sin（2x）的
11、图象向左平移m（m0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=sin2（x+m）=sin（2x+2m），再根据所得图象关于原点对称，可得2m=k，kz，即m=+，故m的最小值为 ，故答案为：点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8已知，则2x23y的最大值为5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x23y，则y=x2，由图象可知当抛物线经过点B时，抛物线取得最小值，此时z最大，由，解得，即B（2，1），此时z=
12、2223=5，故答案为：5点评：本题主要考查线性规划的应用，结合抛物线以及利用数形结合是解决本题的关键9已知二次不等式ax2+2x+b0的解集x|x，且ab，则的最小值为2考点：一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：由二次不等式和二次方程的根的关系可得ab=1，而要求的式子可化为：（ab）+，由基本不等式求最值可得结果解答：解：二次不等式ax2+2x+b0的解集x|x，a0，且对应方程有两个相等的实根为由根与系数的故关系可得，即ab=1故=（ab）+，ab，ab0，由基本不等式可得（ab）+2=2，当且仅当ab=时取等号故的最小值为：2故答案为：2点评：本题为基本不等式求最小值，涉及不等式的
13、解集跟对应方程根的关系，把要求的式子化简成可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题10ABC中，角A，B满足tan（A+B）=3tanA，则tanB取到最大值时角C=考点：两角和与差的正切函数；三角函数的最值 专题：三角函数的求值分析：通过tanB=tan（A+B）A利用公式展开，把tan（A+B）=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，进而根据等号成立的条件求得tanB的值，即可得出结果解答：解：3tanA=tan（A+B），A为锐角，tanB=tan（A+BA）=，A为锐角，tanA02当且仅当时取“=”号，即tanA=，0tanBtanB最大值是：，此时B=A
14、=，所以C=故答案为：点评：本题主要考查了两角和与差的正切函数和运用基本不等式求最值的问题考查了学生对基础知识的综合运用和基本的运算能力11设等比数列an的公比为q，其前n项的积为Tn，首项a11，a2014a201510，0，则使Tn1成立的最大自然数n=4028考点：等比数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：利用等比数列的性质，结合首项a11，a2014a201510，0，即可得出结论解答：解：a2014a201510，a2014a20151，又0，a20141，且a20151T4028=a1a2a4028=（a1a4028）（a2a4027）（a2014a2015）=（a20
15、14a2015）20141，T4029=a1a2a4029=（a1a4029）（a2a4028）（a2014a2016）a20151，使Tn1成立的最大自然数n=4028故答案为：4028点评：本题考查的知识点是等比数列的性质：若m+n=p+q则有aman=apaq其中根据已知条件得到a2014a20151，a20141，且a20151是解答本题的关键，属于基础题12已知、是平面内两个相互垂直的单位向量，且（3）（4）=0，则|的最大值为5考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由题意可得|=|=1，=0，再根据（3）（4）=0，求得|3+4|，即|3+4|=5，从而求得|的最大
16、值解答：解：由题意可得|=|=1，=0，（3）（4）=0，=（3+4），|3+4|，|3+4|=5，故答案为：5点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模的方法，属于基础题13计算 cos80的值等于考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：原式第一项利用同角三角函数间基本关系切化弦后，通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分即可得到结果解答：解：原式=tan10+4sin10=故答案为：点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14函数f（x）=（m4）x3+10x
17、在1，2上最大值为4，则实数m=2考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的导数，从而得出函数的单调区间，得到f（x）max=f（2）=4，解出即可解答：解：f（x）=3（m4）x2+10，m4=0，即m=4时，f（x）=100，f（x）max=f（2）=204，不合题意；m40，即m4时：f（x）0，f（x）在1，2递增，f（x）max=f（2）=8（m4）+20=4，解得：m=2（舍），m40时，令g（x）=3（m4）x2+10，g（x）在（0，+）递减，若在1，2上，g（x）0，则g（2）=12（m4）+100，解得：m，m4时，g（x）在1，2上的最小值为g（2）0
18、，即f（x）0，同得：m=2不合题意，若在1，2上，g（x）0，则g（1）=3（m4）+100，解得：m，m时，g（x）在1，2上的最大值为g（1）0，即f（x）0，f（x）在1，2递减，f（x）max=f（1）=m4+10=4，解得：m=2，m时，g（1）0，g（2）0，令g（x）=0，解得：x=，在1，）上，g（x）0，f（x）递增，在，2上，g（x）0，f（x）递减，f（x）在1，2上的最大值是f（）=4，解得：m=4，m=746，不合题意，综上：m=2故答案为：2点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题15设数列an前n项的和为Sn，an
19、+1=2Sn，a1=1，求通项an=考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：an+1=2Sn，a1=1，当n2时，an=2Sn1，可得an+1an=2an，即an+1=3an可得数列an从第2项起是等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出解答：解：an+1=2Sn，a1=1，当n2时，an=2Sn1，an+1an=2an，即an+1=3an又a2=2a1=2，数列an从第2项起是等比数列，（n2）an=，故答案为：点评：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16设函数f（x）=3sinx+2cosx+1若实数a、b、c使得af（x）+bf（xc
20、）=1对任意实数x恒成立，则的值等于1考点：函数恒成立问题；正弦定理 专题：计算题分析：作为一个选择题，可以令C取特殊值来求值，作为一个解答题，需将af（x）+bf（xc）=1用和差角公式进行变形，利用恒成立的意义转化成关于a，b，c的方程，解出a，b，c的值，进而求解解答：解：令c=，则对任意的xR，都有f（x）+f（xc）=2，于是取a=b=，c=，则对任意的xR，af（x）+bf（xc）=1，由此得=1一般地，由题设可得f（x）=sin（x+）+1，f（xc）=sin（x+c）+1，其中0且tan=，于是af（x）+bf（xc）=1可化为asin（x+）+bsin（x+c）+a+b=1，
21、即asin（x+）+bsin（x+）cosCbcos（x+）sinC+a+b1=0，所以（a+bcosC）sin（x+）sinCcos（x+）+a+b1=0，由已知条件，上式对任意xR恒成立，故必有，若b=0，则由（1）知a=0，显然不满足（3）式，故b0所以，由（2）知sinc=0，故c=2k+或c=2k（kZ）当c=2k时，cosc=1，则（1）、（3）两式矛盾，故c=2k+（kZ），cosc=1由（1）、（3）知a=b=，所以=1点评：本题考查三角函数和差角公式的运用与恒成立条件的转化解题过程中对不确定的情况要善于分类讨论二、解答题（共6小题，满分47分）17已知集合A=，分别根据下列条
22、件，求实数a的取值范围（1）AB=A；（2）AB考点：其他不等式的解法；交集及其运算 专题：不等式的解法及应用分析：（1）解分式不等式求出A，再求出B，由条件AB=A可得 AB，考查集合的端点间的大小关系，求得实数a的取值范围（2）求出当AB=时实数a的取值范围，再取补集，即得所求解答：解 （1）由 ，可得0，即 x（x+1）0，且 x1，解得 ，故A=（1，0B=x|x（a+4）x（a+1）0=（a+1，a+4）AB=A，AB，a+11，且a+40，解得4a2，故a的取值范围是（4，2 （2）由上可得，A=（1，0，B=（a+1，a+4），当AB=，a+10 或 a+41，解得 a1 或 a
23、5故当AB时，5a1，故a的取值范围（5，1）点评：本题主要考查分式不等式的解法，两个集合的交集运算，体现了等价转化、分类讨论的数学思想，属于中档题18已知函数f（x）=sin2x+cos（2x），xR（1）求f（x）的最小正周期；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，b=，B为锐角，且f（B）=，求边c的长考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；余弦定理 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而根据周期公式求得函数的最小正周期（2）根据f（B）=求得B，进而根据余弦定理求得c解答：解：（1）= f（
24、x）的最小正周期 （2） 又，故 在ABC中，由余弦定理，得b2=a2+c22accosB，即c2c12=0，解得c=4或c=3（舍去）c=4点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理的应用，三角函数基本性质注重了对学生基础知识的考查19在ABC中，AB边上的中线CO=2 （1）若|=|，求（+）的值；（2）若动点P满足=sin2+cos2（R），求（+）的最小值考点：平面向量数量积的运算 专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（1）根据图形（+）=2=2|=2|求解即可（2）（+）=2=2x（2x）=2x24x转化为函数求解即可解答：解：（1）因为|=|，O为AB的中点，
25、所以COAB，（+）=2=2|=2|2=8（2）因为=sin2+COS2（R）所以C，P，O三点共线，令|=x（0x2），|=2x，（+）=2=2x（2x）=2x24x当x=1时（+）的最小值2点评：本题考查了向量的运算，转化为函数求解，综合性强20如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且ECF的周长为常数a（单位：百米）（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即EAF）考点：解三角形的实际应用 专题：应用题；解三角形分析：（1）设EC=x，CF=y，则x+y+=a，利用基本不等式，结合E
26、CF的面积S=xy，即可求出景观带面积的最大值；（2）记EAD=，FAB=，（0，），+（0，），利用和角的正切公式，即可得出结论解答：解：（1）设EC=x，CF=y，则x+y+=a（）由基本不等式，x+y+2+=（2+），所以，ECF的面积S=xy=，当且仅当x=y=时等号成立故景观带面积的最大值为，（2）记EAD=，FAB=，（0，），+（0，），则tan=1x，tan=1y，故tan（+）=由（）可得，xy=a（x+y），即xy=2（x+y）2，代入上式可得，tan（+）=1，所以+=，所以EAF=（+）=，故当a=2时，视角EAF为定值点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运
27、用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21（16分）已知数列an前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1n）求a1；求证：数列an是等比数列；是否存在常数a，使得（Sn+1a）2=（Sn+2a）（Sna）对nN+都成立？若存在，求出a，若不存在，说明理由考点：数列的求和；等比关系的确定；数列与不等式的综合 专题：计算题分析：（1）由“数列an前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1n）”令n=1可求解（2）证明：由Tn=2n（1n）解得T（n1）=2（n1）（2n）两式相除，整理可得数列an是等比数列；（3）由（2）求解得再求得，代入（Sn+
28、1a）2=（Sn+2a）（Sna）两端验证可即可解答：解：（1）数列an前n项的和为Sn，前n项的积为Tn，且满足Tn=2n（1n）a1=T1=21（11）=1（2）证明：Tn=2n（1n）T（n1）=2（n1）（2n）将上面两式相除，得：an=22（n1）an=（n1）an+1=（n）数列an是等比数列；（3），（Sn+1a）2=（Sn+2a）（Sna）（Sn+1a）2=而：（Sn+2a）（Sna）=（Sn+2）（Sn）=（Sn+1）2=（Sn+2）（Sn）对nN+都成立即：存在常数a=，使（Sn+1a）2=（Sn+2a）（Sna）对nN+都成立点评：本题主要考查数列的类型和数列的通项公式和
29、前n项和公式，还考查了存在性问题，这类问题一般通过具体的探究出来，再证明22（16分）已知函数f（x）=ax2lnx（aR）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在区间1，e上，函数y=f（x）的图象恒在直线y=1的上方，求a的取值范围；（3）设g（x）=x32bx+1，当a=时，若对于任意的x11，e，总存在x2（0，1，使得f（x1）g（x2）成立，求b的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）由已知得，由此根据a的取值范围分类讨论，利用导数性质能求出f（x）的单调区间（2）由题意，对于任意的x1，e，恒成立，即对于任意的x1，e
30、恒成立由此利用构造法结合导数性质能求出a的取值范围（3）由已知得存在x2（0，1，使得g（x2）f（x1）min利用导数性质列表讨论，能求出b的取值范围解答：解：（1）若a0，则f（x）0恒成立，f（x）的减区间为（0，+）若a0，令f（x）=0，得（舍去）当时，f（x）0，f（x）的减区间为；当时，f（x）0，f（x）的增区间为（2）由题意，对于任意的x1，e，恒成立，即对于任意的x1，e恒成立令，则在x（1，e）上恒成立而h（x）在1，e上图象不间断，h（x）在1，e上是单调减函数，h（x）在1，e上的最大值为h（1）=1，则，因此a2（3）对任意的x11，e，存在x2（0，1，使得f（x1）g（x2），存在x2（0，1，使得g（x2）f（x1）min当时，令f（x）=0，得（舍去）列表如下：xf（x）0+f（x）极小值f（x）在1，e上图象不间断，f（x）在1，e上的最小值 存在x2（0，1，使得，即只要令，则，令（x）=0，得（舍去）列表如下：x（x）0+（x）（x）在（0，1上图象不间断，（x）在（0，1上的最小值 ，即 （16分）点评：本题主要考查函数与导数等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等