1、9.3 向量基本定理及坐标表示9.3.1 平面向量基本定理课程标准理解平面向量基本定理及其意义基础认知自主学习【概念认知】1平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内两个_的向量，a是这一平面内的_向量结论有且只有一对实数1，2，使a_有关概念若e1，e2_，我们把e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组_不共线 任一 1e12e2不共线 基底 2.正交分解对于分解a1e12e2，当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解【自我小测】1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面的一组基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e112e2C2e23e1，
2、6e14e2 De1e2，e1e2【解析】选D.对于选项A，e1e2(e2e1)，所以(e1e2)(e2e1)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项B，2e1e22e112e2，所以(2e1e2)e112e2，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项C，2e23e112(6e14e2)，所以(2e23e1)(6e14e2)，故该组向量不能作为该平面的基底；对于选项D，显然e1e2与e1e2不共线，故该组向量能作为该平面的基底2已知平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB 13 OA 23 OC，则|AB|BC|()A13 B31 C12 D21【解析】选D.因为OB 13 OA 23 OC
3、，所以13 OB 13 OA 23 OC 23 OB，即13 AB23 BC，也就是AB 2BC，所以|AB|BC|21.3如图，在正方形ABCD中，设AB a，AD b，BD c，则以a，b为基底时，AC 可表示为_，以a，c为基底时，AC 可表示为_【解析】以a，b为基底时，由平行四边形法则得AC ab.以a，c为基底时，将BD 平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则得AC 2ac.答案：ab 2ac4已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy_【解析】由平面向量基本定理，得3x4y6，2x3y3，所以x6，y3，所以xy3.答
4、案：35在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示BF，DE.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示AG.【解析】(1)BF BC CF AD 12 CDAD 12 AB 12 ab.DE DC CE AB 12 AD a12 b.(2)BD AD AB ba，因为O是BD的中点，G是DO的中点，所以BG 34 BD 34(ba)，所以AG AB BG a34(ba)14 a34 b.学情诊断课时测评【基础全面练】一、单选题1e1，e2为基底向量，已知向量AB e1ke2，CB 2e1e2，CD
5、 3e13e2，若A，B，D三点共线，则k的值是()A2 B3 C2 D3【解析】选A.根据题意得AB e1ke2，BD CD CB 3e13e22e1e2e12e2，因为A，B，D三点共线，所以AB BD，即e1ke2(e12e2)，所以1，k2，所以k2.2在OAB中，P为线段AB上的一点，OP xOA yOB，且BP 2PA，则()Ax23，y13Bx13，y23Cx14，y34Dx34，y14【解析】选A.因为BP 2PA，所以BO OP 2PO 2OA，即3OP 2OA OB，所以OP 23 OA 13 OB，即x23，y13.3如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的
6、中点，DE交AF于点H，记AB，BC 分别为a，b，则AH()A25 a45 bB25 a45 bC25 a45 bD25 a45 b【解析】选B.设AH AF，DH DE.因为F为CD的中点，所以AF 12(AC AD).所以AH 2(AC AD)2(AB 2BC)2 AB BC.AH AD DH AD DE AD(AE AD)(1)BC(AB 12 BC)AB(12)BC.根据平面向量基本定理有2，12.解得25，45.因此有AH 25 a45 b.4如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF()A34 AB 14 AD B14 AB 34 ADC12 AB AD
7、D34 AB 12 AD【解析】选D.根据题意得：AF 12(AC AE)，又AC AB AD，AE 12 AB，所以AF 12 AB AD 12AB 34 AB 12 AD.5如图，在等腰梯形ABCD中，DC12 AB，BCCDDA，DEAC 于点E，则DE()A12 AB 12 AC B12 AB 12 ACC12 AB 14 ACD12 AB 14 AC【解析】选A.因为CDDA，DEAC，所以E是AC 的中点，所以DE 12 DA 12 DC 12 DC CA 12 DC DC 12 AC，又因为DCAB，DC12 AB，所以DC 12 AB，所以DE 12 AB 12 AC.6如图所
8、示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分，(不包括边界)，若OP 12aOPbOP，且点P落在第部分，则实数a，b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0【解析】选C.当点P落在第部分时，OP 按向量1OP 与2OP 分解时，一个与1OP 反向，一个与2OP 同向，故a0.二、填空题7如图所示，在64的方格中，每个小正方形的边长为1，点O，A，B，C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点)，则OC AB _【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1|e2|1，e1e20，由题图可知，OC 3e12e2，AB 6e13e2，OC AB(3e12e2)(
9、6e13e2)18e123e1e26e2212.答案：128已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有CD 43 CA CB，则_【解析】因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使AD tAB，则CD CA t(CB CA)，即CD CA t(CB CA)(1t)CA tCB，所以1t43，t，即13.答案：139如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若AB a，AD b，用a，b表示AG _；EF _【解析】AG AB BE EG a12 b14 BD a12 b14 b14 a34 a34 b.EF EC CF 12 b12 a.答案：34 a34 b
10、 12 b12 a10已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(x2)e1(y1)e25e12e2，则x_，y_【解析】因为向量e1，e2不共线，所以根据平面向量基本定理可得x25，y12，解得x7，y3.答案：7 3三、解答题11如图所示，在 ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE 23 AD，AB a，AC b.(1)用a，b表示AD，AE，AF，BE，BF；(2)求证：B，E，F三点共线【解析】(1)如图所示，延长AD到点G，使AG 2AD，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，则AG ab，AD 12 AG 12(ab)，AE 23 AD 13(ab)，AF 12 AC 12
11、b，BE AE AB13(ab)a13(b2a)，BF AF AB 12 ba12(b2a).(2)由(1)知，BE 23 BF，所以BE，BF 共线，又BE，BF 有公共点B，所以B，E，F三点共线12在 ABC中，AD 14 AB，过点D作DEBC，与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示设AB a，AC b，试用基底a，b表示DN.【思路导引】设DN BM，AN AM，根据AD，DN，AN 不共线，列方程组求，.【解析】因为M为BC的中点，所以BM 12 BC 12(AC AB)12(ba)，AM AB BM a12(ba)12(ab).因为DNBM，AN与AM共线
12、，所以存在实数，使得DN BM 12(ba).AN AM 12(ab)2 a2 b.因为AN AD DN 14 a12(ba)142 a2 b，所以根据平面向量基本定理，得1422，22，所以14，所以DN 18(ba)18 a18 b.【综合突破练】一、选择题1若点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，AB 4e1，BC 6e2，则3e22e1()A.AOB.CO C.BOD.DO【解析】选C.3e22e112 BC 12 AB 12 AD 12 AB 12 BD BO.2如图，在平行四边形ABCD中，AE13 AB，CF13 CD，G为EF的中点，则DG()A12 AB 12 ADB12
13、AD 12 ABC13 AB 13 AD D13 AD 13 AB【解析】选A.在平行四边形ABCD中，AE13 AB，CF13 CD，G为EF的中点，DG DF FG 23 DC 12 FE 23 AB 12(FD DE)23 AB 12 23AB AE AD23 AB 12 13AB AD 12 AB 12 AD.3已知非零向量OA，OB 不共线，且2OPxOA yOB，若PA AB(R)，则x，y满足的关系式是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20【解析】选A.由PA AB，得OA OP(OB OA)，即OP(1)OA OB.又2OP xOA yOB，所以x22，y2，消
14、去得xy2.【加固训练】设a，b为平面内所有向量的一组基底，已知向量AB akb，CB 2ab，CD 3ab，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A2 B2 C10 D10【解析】选A.AD AB BC CD(akb)(2ab)(3ab)2a(k2)b.因为A，B，D三点共线，所以存在实数使得AB AD，即akb2a(k2)b2a(k2)b.因为a，b为基底向量，所以21，（k2）k，解得12，k2.4(多选)设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面的基底的是()AAD 与ABBDA 与BCCCA 与DCDOD 与OB【解析】选AC.对于A
15、，AD 与AB 不共线；对于B，DA BC，则DA 与BC 共线；对于C，CA 与DC 不共线；对于D，OD OB，则OD 与OB 共线由平面向量基底的概念知A、C中的向量组可以作为平面的基底【加固训练】若点D，E，F分别为 ABC的边BC，CA，AB的中点，且AB a，BC b，则下列结论正确的是()ADA a12 b BBE 12 a12 bCCF 12 ab DDF 12 a12 b【解析】选BC.因为点D为边BC的中点，所以AD AB BD AB 12 BC a12 b，所以DA a12 b；因为点E为边CA的中点，所以BE 12 BA BC 12 a12 b；因为点F为边AB的中点，
16、所以CF CB BF BC 12 AB12 ab；因为AC AB BC ab，所以DF 12 AC 12 a12 b.二、填空题5如图所示，已知点G是 ABC的重心，过点G作直线分别交AB，AC两边于M，N两点，且AM xAB，AN yAC，则3xy的最小值为_【解析】因为G是 ABC的重心，所以AG 13 AC 13 AB，又AM xAB，AN yAC，所以AG 13x AM 13y AN，因为M，G，N三点共线，所以 13x 13y 1，所以3xy(3xy)13x 13y 113 xy y3x 43 213 4233.当且仅当xy y3x，即x3 39，y313时，等号成立，故3xy的最小
17、值为42 33.答案：42 336在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点若AC AE AF，其中，R，则_【解析】设AB a,AD b，则AE 12 ab,AF a12 b.又因为AC ab，所以 AC 23(AE AF)，即23.所以43.答案：437如图，在平行四边形OPQR中，S是对角线的交点，若OP 2e1，OR 3e2，以e1，e2为基底，表示PS 与QS，则PS _，QS _【解析】平行四边形OPQR中，OQ OP OR 2e13e2，PR OR OP 3e22e1.因为点S是OQ，PR的中点所以PS 12 PR32 e2e1，QS 12 OQ e132 e2.答案
18、：32 e2e1 e132 e28点M是 ABC所在平面内的一点，且满足AM 34 AB 14 AC，则 ABM与 ABC的面积之比为_【解析】如图，分别在AB，AC 上取点E，F，使AE 34 AB，AF 14 AC，在BC 上取点G，使BG 14 BC，则EGAC，FGAE，所以AG AE AF AM，所以M与G重合，所以S ABMS ABC BMBC 14.答案：14三、解答题9P是 ABC内一点，且满足条件AP 2BP 3CP 0，设Q为CP延长线与AB的交点，令CP p，用p表示CQ.【解析】因为AP AQ QP，BP BQ QP，所以(AQ QP)2(BQ QP)3CP 0，所以AQ 3QP 2BQ 3CP 0.又因为A，B，Q三点共线，C，P，Q三点共线，所以AQ BQ，CP QP，所以BQ 3QP 2BQ 3QP 0，所以(2)BQ(33)QP 0.而BQ，QP 为不共线向量，所以20，330，所以2，1，所以CP QP PQ，故CQ CP PQ 2CP 2p.
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