1、第7章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设终边在y轴的负半轴上的角的集合为M,则()A.M=B.M=C.M=D.M=答案D解析终边在y轴的负半轴上的角为-+2k,kZ,所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为=-+2k,kZ.故选D.2.下列函数中,周期为4的是()A.y=sin 4xB.y=cos 2xC.y=tanD.y=sin答案D解析D中,T=4,故选D.3.已知角的终边经过点P(-2,4),则sin -cos 的值等于()A.B.-C.D.-答案A解析角的终边经过点P(-2,4)
2、,sin =,cos =-,则sin -cos =,故选A.4.(2021新高考,6)若tan =-2,则=()A.-B.-C.D.答案C解析=sin (sin +cos )=sin2+sin cos =.故选C.5.化简等于()A.cos 3-sin 3B.sin 3-cos 3C.-sin 3-cos 3D.sin 3+cos 3答案C解析由题意,=|sin 3+cos 3|,3,sin 3+cos 30,0,00,0,00)的最小正周期为,则该函数图象()A.关于点,0对称B.关于直线x=对称C.关于点,0对称D.关于直线x=对称答案A解析由已知可得=2,所以f(x)=cos2x+.因为
3、f=0,所以点,0是对称中心,直线x=不是对称轴,所以A正确,B错误;因为f0,所以点,0不是对称中心,所以C错误;因为f=-1,所以直线x=不是对称轴,所以D错误.故选A.8.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinx+k,据此函数可知,这段时间水深y(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C解析由题意可知当sinx+取最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,得k=5,y=3sinx+5,当sinx+取最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部
4、选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列等式正确的是()A.sin+=cos B.cos(-)=-cos C.sin 600=D.tan-tan =1答案ABD解析A,B,D由诱导公式可知正确;sin 600=sin 240=-sin 60=-,C不正确.故选ABD.10.函数y=2sin在下列区间上为增函数的有()A.-,-B.C.D.,答案AC解析y=-2sin,由+2k2x-+2k(kZ),可得+kx+k(kZ).当k=1时,函数y的增区间为;当k=-1时,函数y的增区间为-,-.11.函数f(x)=在区间-,内的大致图象不可能的是()答案ABD解析x-,故不可能为B,D
5、,当x-,-时,cos x0,f(x)=-tan x,故A不可能.12.若,则下列各式中正确的有()A.sin +cos 0C.|sin |0答案ABC解析若,则sin 0,cos -1,-,sin +cos 0,故B成立;|sin |cos |,故C成立;sin +cos 0,故D不成立.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知,tan =2,则cos =.答案-解析由tan =2,sin2+cos2=1,联立得cos2=,由,知cos 0)的最小正周期是3,则a=,f(x)的对称中心为.答案k-,0,kZ解析函数f(x)=2tanax+(a0)的最小正周期是3,则3=,得
6、a=,所以函数f(x)=2tanx+,由x+k,kZ,得x=k-,故对称中心为k-,0,kZ.16.已知sin(540+)=-,若为第二象限角,则=.答案-解析因为sin(540+)=sin(360+180+)=sin(180+)=-sin =-,所以sin =,又因为为第二象限角,所以cos =-=-,tan =-,所以=-.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知角的终边上一点P(m,),且cos =-.(1)计算m及tan ;(2)求的值.解(1)角的终边上一点P(m,),且cos =-,m=-1,tan =-.(2)=-.18.(
7、12分)已知一扇形的圆心角为(0),所在圆的半径为R.(1)若=90,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C(C0),当为多少弧度时,该扇形有最大面积?解(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则=90=,R=10,l=10=5(cm),S弓=S扇-S=510-102=25-50(cm2).(2)扇形周长C=2R+l=2R+R,R=,S扇=R2=.当且仅当2=4,即=2时,扇形面积有最大值.19.(12分)(1)已知,且sin cos =,求sin +cos 的值;(2)如果sin +3cos =0,求sin2+2sin cos 的值.解(1)因为,所以si
8、n +cos 0,sin +cos =.(2)因为sin +3cos =0,所以tan =-3,sin2+2sin cos =.20.(12分)用“五点法”作函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|的图象时,在列表过程中,列出了部分数据如表:x+02xf(x)2-2(1)先将表格补充完整,再写出函数f(x)的解析式,并求f(x)的最小正周期;(2)若方程f(x)=m在上存在两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.解(1)x+02x-f(x)020-20根据,解得T=,所以=2.当x=时,2+=,解得=,由于函数的最大值为2,故A=2.所以函数的解析式为f(x)=2sin.所以函数的最小正周期
9、为.(2)由于f(x)=2sin,当x-,0时,整理得2x+.所以f(x)-2,1.所以函数的值域为-2,1,当m=-2时,函数的图象与直线y=m有一个交点.当-2m-1时,函数的图象与直线y=m有一个交点.故m的取值范围是(-2,-1.21.(12分)函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0)个单位长度,可得到函数g(x)的图象,且图象关于原点对称.(1)求f(x)的解析式并求其增区间;(2)求实数m的最小值,并写出此时g(x)的表达式;(3)在(2)的条件下,设t0,关于x的函数h(x)=g在区间上的最小值为-2,求实数t的取值范围.解(1)由函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|
10、0)个单位长度,可得到函数g(x)=2sin的图象.g(x)的图象关于原点对称,-2m+=k(kZ),m的最小值为,故g(x)=2sin 2x.(3)t0,函数h(x)=g=2sin tx在区间上的最小值为-2,t,t的取值范围是.22.(12分)某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米,最低点距离地面10米,摩天轮上均匀设置了36个座舱(如图).开启后,摩天轮按逆时针方向匀速转动,游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱,摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟,当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米,已知H关于t的函数关系式满足H(t
11、)=Asin(t+)+B其中A0,0,|,求摩天轮转动一周的解析式H(t);(2)问:游客甲坐上摩天轮后多长时间,距离地面的高度恰好为30米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱,且中间相隔5个座舱,在摩天轮转动一周的过程中,记两人距离地面的高度差为h米,求h的最大值.解(1)H关于t的函数关系式为H(t)=Asin(t+)+B,由解得A=40,B=50.又t=0时,H(0)=40sin +50=10,解得sin =-1,所以=-.又T=30,所以=,所以摩天轮转动一周的解析式为H(t)=40sint-+50.(2)令H(t)=30,得40sint-+50=30,即sint-=-,所以cost=,解得t=,或t=,解得t=5,或t=25.所以游客甲坐上摩天轮后5分钟,和25分钟时,距离地面的高度恰好为30米.(3)由题意知,游客甲距离地面高度解析式为y甲=40sint-+50,游客乙距离地面高度解析式为y乙=40sin+50,则h=|y甲-y乙|=40cost-cost-=40cost-sint=40cost+.令t+=,解得t=10,此时h=|y甲-y乙|取得最大值为40.所以两人距离地面的高度差h的最大值为40米.