1、第二讲函数的基本性质 1.下列说法中正确的个数是()(1)若函数y=f (x)在1,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是1,+).(2)对于函数f (x),xD,若对任意x1,x2D(x1x2),有(x1 - x2)f (x1) - f (x2)0,则函数f (x)在区间D上是增函数.(3)若函数y=f (x+a)是偶函数,则函数y=f (x)的图象关于直线x=a对称.(4)若函数y=f (x+b)是奇函数,则函数y=f (x)的图象关于点(b,0)中心对称.(5)已知函数y=f (x)是定义在R上的偶函数,若f (x)在( - ,0)上是减函数,则f (x)在(0,+)上是增函数.(6)若
2、T为函数y=f (x)的一个周期,那么nT(nZ)也是函数f (x)的周期.A.3B.4C.5D.62.2019北京,3,5分文下列函数中,在区间(0,+)上单调递增的是()A.y=x12 B.y=2 - xC.y=log12xD.y=1x3.2019全国卷,6,5分文设f (x)为奇函数,且当x0时,f (x)=ex - 1,则当x1在( - ,a上的最大值为4,则a的取值范围为()A.0,17 B.( - ,17C.1,17 D.1,+)5.2020南阳模拟已知函数f (x)=x3+ln x,则不等式f (x(x - 1)f (2)的解集是.6.2020四川五校联考已知定义在R上的奇函数f
3、 (x)满足f (x+4)=f (x),当x(0,1时,f (x)=2x+ln x,则f (2 019)=.7.2020大同市调研测试若函数f (x)=3e|x - 1| - sin(x - 1)e|x - 1|在区间 - 3,5上的最大值、最小值分别为p,q,则p+q的值为.考法1 确定函数的单调性(单调区间)1判断下列函数的单调性:(1)f (x)=x3 - 4x+3x(x0,得x4.因此,函数f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的定义域是( - , - 2)(4,+).(先求函数f (x)的定义域)易知函数y=x2 - 2x - 8在( - , - 2)上单调递减,在(4,+)上单
4、调递增,函数y=ln t为(0,+)上的增函数,由复合函数的单调性知,f (x)=ln(x2 - 2x - 8)的单调递增区间是(4,+).D考法2 函数单调性的应用命题角度1比较大小3已知函数f (x)为偶函数,当x0时, f (x)=x - 4 - x,设a=f (log30.2), b=f (3 - 0.2), c=f ( - 31.1),则A.cab B.abcC.cba D.bac利用函数f (x)为偶函数和对数函数、指数函数的性质,先把a,c对应的自变量的值转化到(0,+)内,然后比较31.1, - log30.2 , 3 - 0.2的大小,再判断f (x)在(0,+)上的单调性,
5、即可得a,b,c的大小.因为函数f (x)为偶函数,所以a=f (log30.2)=f ( - log30.2),c=f ( - 31.1)=f (31.1).(注意把自变量的值转化到同一个单调区间内去研究)因为log319 log30.2 log313,所以 - 2log30.2 - 1,所以1 - log30.23 - log30.213 - 0.2.因为y=x在(0,+)上为增函数, y= - 4 - x在(0,+)上为增函数,所以f (x)在(0,+)上为增函数,所以f (31.1)f ( - log30.2)f (3 - 0.2),所以cab.A命题角度2求解不等式4(1)2017全
6、国卷,5,5分函数f (x)在( - ,+)上单调递减,且为奇函数.若f (1)= - 1,则满足 - 1f (x - 2)1的x的取值范围是A. - 2,2 B. - 1,1 C.0,4 D.1,3(2)已知函数f (x)= - x|x|,x( - 1,1),则不等式f (1 - m)f (m2 - 1)的解集为.(1)函数f (x)为奇函数,且f (1)= - 1,f ( - 1)= - f (1)=1,由 - 1f (x - 2)1,得f (1)f (x - 2)f ( - 1),又函数f (x)在( - ,+)上单调递减, - 1x - 21,1x3.故选D.(2)由已知得f (x)=
7、x2, - 1x0, - x2,0x1,则f (x)在( - 1,1)上单调递减, - 11 - m1, - 1m2 - 11,m2 - 11 - m,解得0m0),y=log12u为减函数,函数u在1,2上是减函数,u=6 - ax+x2,其图象的对称轴为直线x=a2,a22,且u0在1,2上恒成立.a22,6 - 2a+40,解得4a1是R上的增函数,则a的取值范围为.(2)2016天津,13,5分已知f (x)是定义在R上的偶函数,且在区间( - ,0)上单调递增.若实数a满足f (2|a - 1|)f ( - 2),则a的取值范围是.考法3 求函数的最值(值域)6已知函数f (x)=x
8、2,x1,x+6x - 6,x1,则f (x)的最小值是. 结合已知分段函数,先分别由二次函数的性质和基本不等式求得各段的最小值,再进行比较即可得出结论.(利用单调性和基本不等式求解)因为y=x2在(-,0)上单调递减,在0,+)上单调递增,所以当x1时, f (x)min=f (0)=0. (用单调性法求最值)当x1时,y=x+6x26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f (x)min=26 - 6.(用基本不等式法求最值)又26 - 60,(比较每段上的最值)所以f (x)min=26 - 6. 求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分
9、段函数的最小值.7若x - 6,23,则函数y=4sin2x - 12sin x - 1的最大值为,最小值为.令t=sin x,确定t的取值范围转化为关于t的二次函数利用单调性法求解二次函数的最值(换元法)令t=sin x,因为x - 6,23,所以t - 12,1,(注意新元的取值范围)所以y=f (t)=4t2 - 12t - 1.因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为直线t=32,所以当t - 12,1时,函数f (t)单调递减,所以当t= - 12时,ymax=6;当t=1时,ymin= - 9.8求下列函数的值域:(1)y=1 - sinx2 - cosx; (2)y= - x2
10、- 6x - 5; (3)y=x+1 - x2; (4)y=3x - 52x+1;(5)y=x2+4x+1x2+1;(6)y=x2 - 1x2+1.根据函数解析式的特征选择适合的方法求值域.(1)(图象法)设动点M(cos x,sin x),定点P(2,1),则y=1 - sinx2 - cosx的几何意义是直线PM的斜率.而动点M在单位圆x2+y2=1上.如图2 - 2 - 1,当直线PM和圆相切时斜率取得最值,kM1P=0,kM2P=43.所以函数的值域为0,43. 图2 - 2 - 1 (2)(配方法)因为y= - x2 - 6x - 5= - (x+3)2+44=2,y0, 所以y=
11、- x2 - 6x - 5的值域为0,2.(3)(三角换元法)因为1 - x20,所以 - 1x1,所以可设x=cos ,0,则y=cos +sin =2sin (+4).因为0,所以+44,54,所以sin(+4) - 22,1,所以2sin(+4) - 1,2,所以原函数的值域为 - 1,2.(4)(分离常数法)y=3x - 52x+1=32(2x+1) - 1322x+1=32-1322x+132,所以所求函数的值域为y|yR且y32.(5)(判别式法)由原函数整理得(1 - y)x2+4x+1 - y=0.当1 - y=0,即y=1时,x=0;当1 - y0,即y1时,=16 - 4(
12、1 - y)20,即(1 - y)24,解得 - 1y3,所以 - 1y3且y1.(要注意对二次项系数1 - y进行讨论)综上,所求函数的值域为 - 1,3.(6)(有界性法)由y=x2 - 1x2+1,可得x2=1+y1 - y,且y1. (结合完全平方式非负的性质来转化)由x20,知1+y1 - y0,解得 - 1y0),则函数f (x)的最大值是.考法4 判断函数的奇偶性9判断下列各函数的奇偶性:(1)f (x)=(x - 1)1+x1 - x; (2)f (x)=lg(1 - x2)|x2 - 2| - 2;(3)f (x)=x2+x(x0). 求函数的定义域判断定义域是否关于原点对称
13、判断f ( - x)与f (x)的关系 下结论(1)由1+x1 - x0得函数的定义域为 - 1,1),不关于原点对称,所以f (x)为非奇非偶函数.(2)由1 - x20,|x2 - 2| - 20 得函数的定义域为( - 1,0)(0,1),f (x)=lg(1 - x2) - (x2 - 2) - 2= - lg(1 - x2)x2.所以f ( - x)= - lg1 - ( - x)2( - x)2= - lg(1 - x2)x2=f (x),所以f (x)为偶函数.(3)当x0,则f ( - x)= - ( - x)2 - x= - (x2+x)= - f (x);当x0时, - x
14、0,则f ( - x)=( - x)2 - x= - ( - x2+x)= - f (x).又f (0)=0,故对任意的x( - ,+),都有f ( - x)= - f (x),(只有当所有区间上都满足相同关系时,才能判定其奇偶性)所以f (x)为奇函数.3.新课标全国卷,5分设函数f (x),g(x)的定义域都为R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A. f (x)g(x)是偶函数B. f (x)|g(x)|是奇函数C.|f (x)|g(x)是奇函数D.|f (x)g(x)|是奇函数考法5 函数奇偶性的应用10(1)2020湖北部分重点中学高三测试已知函数f
15、(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f (x)=x+1,则f (x)的解析式为.(1)解法一令x0,则 - x0时,f (x)= - f ( - x)= - log2x - m,因为f (12)=2,所以2= - log212 - m,解得m= - 2+1,故选D.解法二因为f (x)是R上的奇函数,f (12)=2,所以f ( - 12)= - 2,因为当x0时,f (x)=log2( - x)+m,所以 - 2=log2 - ( - 12)+m,所以m= - 2+1,故选D.(2)因为f (x)为奇函数,所以f ( - x)= - f (x).当x=0时,有f ( - 0)= - f (
16、0),所以f (0)=0.当x0.f (x)= - f ( - x)= - ( - x+1)=x - 1.所以f (x)=x+1,x0,0,x=0,x - 1,x0.5.2020陕西省部分学校摸底测试若函数f (x),g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数,且满足f (x)+2g(x)=ex,则()A.f ( - 2)f ( - 3)g( - 1)B.g( - 1)f ( - 3)f ( - 2)C.f ( - 2)g( - 1)f ( - 3)D.g( - 1)f ( - 2)f ( - 3)考法6 函数周期性的判断及应用11已知f (x)是定义在R上的偶函数,并且f (x+3)= - 1
17、f(x),当1x3时,f (x)=cosx3,则f (2 020)=.先由已知条件求出函数的周期,再结合函数的性质,把f (2 020)转化为f (4),进而转化为f (2),把x=2代入即可.由已知可得f (x+6)=f (x+3)+3)= - 1f(x+3)= - 1 - 1f(x)=f (x),故函数f (x)的周期为6,f (2 020)=f (6336+4)=f (4).f (x)为偶函数,f (1)=f ( - 1),则f (4)=f (1+3)= - 1f(1)= - 1f( - 1)=f (2)=cos23= - 12,f (2 020)= - 12.5.2016山东,9,5分
18、已知函数f (x)的定义域为R.当x12时,f (x+12)=f (x - 12).则f (6)=()A. - 2 B. - 1C.0 D.2考法7 函数性质的综合应用12 (1)2019全国卷,12,5分文设f (x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+)上单调递减,则A.f (log314)f (2 - 32)f (2 - 23)B.f (log314)f (2 - 23)f (2 - 32)C.f (2 - 32)f (2 - 23)f (log314)D.f (2 - 23)f (2 - 32)f (log314)(2)2018全国卷,12,5分文已知f (x)是定义域为( - ,+)的
19、奇函数,满足f (1 - x)=f (1+x).若f (1)=2,则f (1)+f (2)+f (3)+f (50)=A. - 50B.0C.2D.50(1)根据函数f (x)为偶函数可知,f (log314)=f ( - log34)=f (log34),02 - 322 - 23 20f (2 - 23)f (log314).(2)解法一f (x)是定义域为( - ,+)的奇函数,f ( - x)= - f (x),且f (0)=0.f (1 - x)=f (1+x),f ( - x)=f (2+x),f (2+x)= - f (x),f (4+x)= - f (2+x)=f (x),f
20、(x)是周期函数,且一个周期为4,f (4)=f (0)=0,f (2)=f (1+1)=f (1 - 1)=f (0)=0,f (3)=f (1+2)=f (1 - 2)= - f (1)= - 2,f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (50)=120+f (49)+f (50)=f (1)+f (2)=2.解法二因为函数f (x)满足f (1 - x)=f (1+x),可知f (x)的图象关于直线x=1对称.又f (x)是定义域为( - ,+)的奇函数,所以f (0)=0,且已知f (1)=2,计算可得:f (2)=f (0)=0,f (3)=f ( - 1)= - f (
21、1)= - 2,f (4)=f ( - 2)= - f (2)=0,f (5)=f ( - 3)= - f (3)=2,f (6)=f ( - 4)= - f (4)=0,f (7)=f ( - 5)= - f (5)= - 2,f (8)=f ( - 6)= - f (6)=0,所以f (1)+f (2)+f (3)+f (49)+f (50)=(2+0 - 2+0)12+2+0=2.(1)C(2)C6.已知定义在R上的函数f (x),对任意实数x有f (x+4)= - f (x)+22,若函数f (x - 1)的图象关于直线x=1对称,f (5)=2,则f (2 021)=.2661.B对
22、于(1),函数的单调区间和函数在区间上单调是不同的,故(1)错误;对于(2),对任意x1,x2D(x1x2),(x1 - x2)f(x1) - f(x2)0x1x2,f(x1)f(x2)或x1x2,f(x1)0时,y=x在(0,+)上单调递增,当0且a1),当0a1时,y=ax在( - ,+)上单调递增,而选项B中的函数y=2 - x可转化为y=(12)x,因此函数y=2 - x在(0,+)上单调递减,故选项B不符合题意;对于对数函数y=logax(a0且a1),当0a1时,y=logax在(0,+)上单调递增,因此选项C中的函数y=log12x在(0,+)上单调递减,故选项C不符合题意.故选
23、A.3.D解法一依题意得,当x0时,f(x)= - f( - x)= - (e - x - 1)= - e - x+1,选D.解法二依题意得,f( - 1)= - f(1)= - (e1 - 1)=1 - e,结合选项知,选D.4.C易知f(x)在( - ,1上单调递增,在(1,+)上单调递增,因为f(1)=4,f(17)=4,所以a的取值范围为1,17.5.( - 1,0)(1,2)函数f(x)的定义域为(0,+),且y=x3与y=ln x在(0,+)上都是增函数,故f(x)=x3+ln x在定义域内为增函数,则0x(x - 1)2,解得 - 1x0或1x2.6. - 2由f(x)=f(x+
24、4)得f(x)是周期为4的函数,故f(2 019)=f(4505 - 1)=f( - 1),又f(x)为奇函数,所以f( - 1)= - f(1)= - (2+ln 1)= - 2.7.6由f(x)=3e|x - 1| - sin(x - 1)e|x - 1|=3 - sin(x - 1)e|x - 1|,x - 3,5,可得f(x+1)=3 - sinxe|x|,x - 4,4,令g(x)=f(x+1) - 3= - sinxe|x|,x - 4,4,可得g(x)为奇函数,g(x)的图象关于原点对称.设g(x)在 - 4,4上的最大值为M,最小值为m,则M+m=0.易知p=M+3,q=m+3
25、,所以p+q=6.【解题思路】1.(1) - 3a - 2由题意,得 - a21,af( - 2),且f( - 2)=f(2),所以 - 22|a - 1|2,则|a - 1|12,所以12a0,所以011+2x+11,所以1212+52(1+2x+1)3,即12f(x)0,f( - 3)=e - 3+e320,g( - 1)=e - 1 - e40,所以g( - 1)f( - 2)12时,f(x+1)=f(x),所以f(6)=f(51+1)=f(1).因为当 - 1x1时,f( - x)= - f(x),所以f(1)= - f( - 1)= - ( - 1)3 - 1=2,所以f(6)=2,故选D.6.2由函数y=f(x - 1)的图象关于直线x=1对称可知,函数f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.由f(x+4)= - f(x)+22,得f(x+4+4)= - f(x+4)+22=f(x),所以f(x)是最小正周期为8的偶函数,所以f(2 021)=f(5+2528)=f(5)=2.