1、21 曲线与方程2.1.1 曲线与方程21.2 求曲线的方程内 容 标 准学 科 素 养1.理解曲线的方程与方程曲线的概念，会求一些简单的曲线方程2.理解曲线上点的坐标与方程的解的一一对应关系.应用数学抽象发展逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 曲线的方程与方程的曲线预习教材P3435，思考并完成以下问题前面我们学习了直线与圆及其方程，并且体会到用方程研究曲线的几何性质非常简便，也就是用代数方法研究曲线(包括直线)的几何性质，那么曲线与方程有什么关系呢？(1)在直角坐标系中，第一、三象限角平分线 l 与方程 xy0 有什么关
2、系？提示：设 M(x0，y0)是第一、三象限角平分线上的任意一点，它到两坐标轴的距离相等，即 x0y0，那么点(x0，y0)是方程 xy0 的解反过来，如果 M(x0，y0)是方程 xy0 的解，即 x0y0，那么点 M 到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线 l 上(2)以(a，b)为圆心，r 为半径的圆和方程(xa)2(yb)2r2 有什么关系？提示：设点 M(x0，y0)是圆(xa)2(yb)2r2 上任一点，那么它到圆心(a，b)的距离等于半径 r.即 xa2yb2r即(xa)2(yb)2r2，这说明点 M(x0，y0)是方程(xa)2(yb)2r2 的解；反之，如果(x0，y0)是方
3、程(xa)2(yb)2r2 的解，则(x0，y0)到(a，b)的距离等于半径，它一定在圆上知识梳理 曲线的方程与方程的曲线的定义一般地，在直角坐标系中，如果曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都是这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线这个方程的解曲线上的点知识点二 求曲线方程的步骤 知识梳理 求曲线方程的一般步骤求曲线的方程，一般有如下步骤：(1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点 M 的坐标；(2)写出适合条件 p 的
4、点 M 的集合 PM|p(M)；(3)用坐标表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)0；(4)化方程 f(x，y)0 为最简形式自我检测1方程 y|x|所表示的曲线为()A一条直线 B两条直线C一条射线D两条射线答案：D2到两坐标轴的距离之差等于 3 的点的轨迹为()A|x|y|3 B|y|x|3C|x|y|3 Dxy3答案：C3如果曲线 C 的方程 x21y1，点 M(a，b)，那么点 M 在曲线 C 上的充要条件是_答案：a21b1探究一 对曲线的方程和方程的曲线的定义的理解阅读教材 P35例 1证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k0)的点的轨迹方程是 xyk.题型：曲线的方程与方程
5、的曲线的判断方法步骤：(1)证明轨迹上任一点 M(x0，y0)都是方程 xyk 的解(2)再证明以方程 xyk 的解为坐标的点到两坐标轴的距离之积为 k.例 1 判断下列命题是否正确，并说明理由：(1)过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x3；(2)ABC 的顶点 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D 为 BC 中点，则中线 AD 的方程为 x0.解析(1)正确满足曲线方程的定义，故结论正确(2)错误因为中线 AD 是一条线段，而不是直线，所以其方程应为 x0(3y0)，故结论错误方法技巧 判断曲线与方程的关系，严格按定义，两个条件缺一不可(1)曲线上的点的坐标都是这个方
6、程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪探究 1.分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点与方程 xy5 之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系解析：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解，但以方程|x|2 的解为坐标的点不都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的
7、直线上因此，|x|2 不是过点A(2,0)平行于 y 轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5，但以方程 xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5 的点的轨迹方程不是 xy5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0；反之，以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0.探究二 曲线与方程的应用 教材 P37习题 2.1A 组 1 题点 A(1，2)，B(2，3)，C(3,10)是否在方程 x2xy2y
8、10 上表示的曲线上？为什么？解析：A(1，2)在曲线上，因为 121(2)2(2)10，所以点 A 在曲线上B(2，3)不在曲线上因为 222(3)2(3)150，所以点 B 不在曲线上C(3,10)在曲线上因为 3231021010，所以点 C 在曲线上例 2 已知方程 x2(y1)210.(1)判断点 P(1，2)，Q(2，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点 Mm2，m 在上述方程表示的曲线上，求 m 的值解析(1)12(21)210，(2)2(31)2610，点 P(1，2)在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，点 Q(2，3)不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上(2
9、)点 Mm2，m 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，m22(m1)210，解得 m2 或 m185.方法技巧 判断某个点是否是曲线上的点，就是检验这个点的坐标是否是该曲线的方程的解，若适合方程，就说明这个点在该曲线上；若不适合，就说明点不在该曲线上延伸探究 本例中曲线方程不变，若点 N(a,2)在圆外，求实数 a 的取值范围解析：结合点与圆的位置关系，得 a2(21)210，即 a29，解得 a3，故所求实数 a 的取值范围为(，3)(3，)跟踪探究 2.已知方程 x24x1y.(1)判断点 P(1，4)，Q(3,2)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点 Mm2，m1 在此方程表示的曲
10、线上，求实数 m 的值；(3)求该方程表示的曲线与曲线 y2x7 的交点的坐标解析：(1)因为(1)24(1)14，(3)24(3)12，所以点 P 坐标适合方程，点 Q 坐标不适合方程，即点 P 在曲线上，点 Q 不在曲线上(2)因为点 Mm2，m1 在此方程表示的曲线上，所以m224m21m1，即 m24m0，解得 m0 或 m4.(3)联立x24x1y，y2x7，消去 y，得 x24x12x7，即 x22x80，解得 x12，x24，于是 y111，y21，故两曲线的交点坐标为(2,11)和(4，1)探究三 求曲线的方程阅读教材 P35例 2设 A、B 两点的坐标分别是(1，1)，(3,
11、7)，求线段 AB 的垂直平分线的方程题型：求曲线的方程方法步骤：(1)建立适当的直角坐标系，设出所求轨迹上任一点 M(x，y)(2)确定 M 的几何性质：|MA|MB|.(3)将 M 的几何性质坐标化得出方程，并检验方程的解都在 AB 的垂直平分线上例 3(1)一个动点 P 到直线 x8 的距离是它到点 A(2,0)的距离的 2 倍求动点 P 的轨迹方程解析 设 P(x，y)，则|8x|2|PA|，则|8x|2 x22y02，化简，得 3x24y248，故动点 P 的轨迹方程为 3x24y248.(2)动点 M 在曲线 x2y21 上移动，M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P，求 P 点
12、的轨迹方程解析 设 P(x，y)，M(x0，y0)，因为 P 为 MB 的中点，所以xx032，yy02，即x02x3，y02y，又因为 M 在曲线 x2y21 上，所以 x20y201，所以(2x3)24y21.所以点 P 的轨迹方程为(2x3)24y21.方法技巧 1.没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系2求曲线方程的常用方法：直接法与代入法(1)直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成 x，y 的形式 F(x，y)0，然后进行等价变换
13、，化简为 f(x，y)0.要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少(2)代入法求轨迹方程就是利用所求动点 P(x，y)与相关动点 Q(x0，y0)坐标间的关系式，且 Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可用所求动点 P 的坐标(x，y)表示相关动点 Q 的坐标(x0，y0)，即利用 x，y 表示 x0，y0，然后把 x0，y0 代入已知曲线方程即可求得动点 P的轨迹方程跟踪探究 3.已知动点 P 在曲线 2x2y0 上移动，则点 A(0，1)与点 P 连线中点 M的轨迹方程是()Ay2x2 By8x2C2y8x21 D2y8x21解析：设 M(x，
14、y)，则 P(2x,2y1)P 在曲线 2x2y0 上，2(2x)2(2y1)0，即 8x22y10，即 2y8x21，故选 C.答案：C4已知点 M 到 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)的距离相等，求点 M 的轨迹方程解析：设动点 M 的坐标为(x，y)，且点 M 到 x 轴的距离为 d，则 d|y|.由距离公式得|y|x02y42，整理得 x28y160，即 y18x22.故所求点 M 的轨迹方程是 y18x22.课后小结(1)曲线与方程的定义的实质是平面曲线的点集M|p(M)和方程 f(x，y)0 的解集(x，y)|f(x，y)0之间的一一对应关系由曲线与方程的这一对应关系，既可
15、以求出曲线的方程，又可以通过方程研究曲线的性质(2)求曲线方程的一般步骤为：建系设点，写集合(找条件)，列方程，化简，证明(查缺补漏)(3)求曲线的方程与求轨迹是有区别的若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等素养培优1忽略隐含条件而导致的错误方程(xy1)x2y240 所表示的曲线的轨迹是()易错分析 由方程(xy1)x2y240，得 xy10 或 x2y24，其中 xy10 受条件 x2y24 的限制，这一点很容易忽略，导致选出错误的选项 A.考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正 原方程等价
16、于xy10，x2y24或 x2y24.其中当 xy10 时，需x2y24有意义，等式才成立，即 x2y24，此时它表示直线 xy10 上不在圆x2y24 内的部分；当 x2y24 时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是 D.答案：D2求动点轨迹方程时，对动点满足的条件考虑不全致误在ABC 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a，c，b 成等差数列，acb，|AB|2，试求顶点 C 的轨迹方程自我纠正 以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的中点为原点，建立直角坐标系(如图)，则 A(1,0)，B(1,0)，设 C(x，y)因为 a，c，b 成等差数列，所以 ab2c，即|AC|BC|2|AB|，故 x12y2 x12y24，化简整理得，3x24y212.由于 ab，即 x12y2 x12y2，解得 x0.又点 C 不能在 x 轴上，所以 x2，所以所求的轨迹方程为 3x24y212(x0 且 x2)04 课时 跟踪训练