1、考点规范练26平面向量基本定理及向量的坐标表示考点规范练B册第16页基础巩固1.向量a=(3,2)可以用下列向量组表示出来的是()A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案:B解析:由题意知,A选项中e1=0,C,D选项中两个向量均共线,都不符合基底条件,故选B.2.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=()A.2B.4C.12D.14答案:B解析:以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,
2、-1),B(6,2),C(5,-1).所以a=AO=(-1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(-1,-3).c=a+b,(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),-+6=-1,+2=-3,解得=-2,=-12,=4.3.在ABCD中,AD=(2,8),AB=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则AM=()A.-12,-6B.-12,6C.12,-6D.12,6答案:B解析:因为在ABCD中,有AC=AB+AD,AM=12AC,所以AM=12(AB+AD)=12(-1,12)=-12,6,故选B.4.在ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点.若PA=(4,3),PQ
3、=(1,5),则BC等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)答案:B解析:如图,BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).5.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),则m的取值范围是()A.(-,2)B.(2,+)C.(-,+)D.(-,2)(2,+)答案:D解析:因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=a+b(,为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m0,解得m2,所以m的取值范围是(-,2)(2,+)
4、,故选D.6.若平面内两个向量a=(2cos ,1)与b=(1,cos )共线,则cos 2等于()A.12B.1C.-1D.0答案:D解析:由向量a=(2cos,1)与b=(1,cos)共线,知2coscos-11=0,所以2cos2-1=0,所以cos2=0,故选D.7.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面第一象限内一点,且AOC=4,且|OC|=2.若OC=OA+OB,则+=()A.22B.2C.2D.42答案:A解析:因为|OC|=2,AOC=4,C为坐标平面第一象限内一点,所以C(2,2).又OC=OA+OB,所以(2,2)=(1,0)+(0,1)=
5、(,).所以=2,所以+=22.8.(2019江淮十校联考)已知在ABC中,|BC|=|AB-CB|,AB=(1,2),若边AB的中点D的坐标为(3,1),点C的坐标为(t,2),则t=.答案:1解析:依题意,得|BC|=|AC|,故ABC是以AB为底边的等腰三角形,故CDAB,所以CDAB=(3-t,-1)(1,2)=3-t-2=0,解得t=1.9.已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.答案:5解析:|b|=22+12=5,由a+b=0,得b=-a,故|b|=|-a|=|a|,所以|=|b|a|=51=5.10.若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平
6、行于x轴,b=(2,-1),则a=.答案:(-1,1)或(-3,1)解析:由|a+b|=1,a+b平行于x轴,得a+b=(1,0)或a+b=(-1,0),则a=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或a=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).11.如图,在ABCD中,M,N分别为DC,BC的中点.已知AM=c,AN=d,则AB=,AD=.(用c,d表示)答案:23(2d-c)23(2c-d)解析:设AB=a,AD=b.因为M,N分别为DC,BC的中点,所以BN=12b,DM=12a.又c=b+12a,d=a+12b,所以a=23(2d-c),b=23(2c-d),即AB=23(2d-c),
7、AD=23(2c-d).能力提升12.在RtABC中,A=90,点D是边BC上的动点,且|AB|=3,|AC|=4,AD=AB+AC(0,0),则当取得最大值时,|AD|的值为()A.72B.3C.52D.125答案:C解析:因为AD=AB+AC,而D,B,C三点共线,所以+=1,所以+22=14,当且仅当=12时取等号,此时AD=12AB+12AC,即D是线段BC的中点,所以|AD|=12|BC|=52.故选C.13.若,是一组基底,向量=x+y(x,yR),则称(x,y)为向量在基底,下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(
8、-1,1),n=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)答案:D解析:a在基底p,q下的坐标为(-2,2),a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则-x+y=2,x+2y=4,解得x=0,y=2.14.(2019广东广州高三测试)若向量a=(cos ,sin ),b=(1,-1),则|2a-b|的取值范围是()A.2-2,2+2B.0,2C.0,2D.1,3答案:A解析:向量a=(cos,sin),b=(1,-1),则|2a-b|=(2cos-1)2+(2sin+1)2=6+4(sin-cos)=6+42sin-4,
9、而-4242sin-442,故2-2|2a-b|2+2,则|2a-b|的取值范围是2-2,2+2,故选A.15.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=AB+AD,则+的最大值为()A.3B.22C.5D.2答案:A解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(0,0),D(2,1).设P(x,y),由|BC|CD|=|BD|r,得r=|BC|CD|BD|=215=255,即圆的方程是(x-2)2+y2=45.易知AP=(x,y-1),AB=(0,-1),AD=(2,0).由AP=AB+AD,得x=2,y-1=-,所以=x2,=1-y,所
10、以+=12x-y+1.设z=12x-y+1,即12x-y+1-z=0.因为点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=45上,所以圆心C到直线12x-y+1-z=0的距离dr,即|2-z|14+1255,解得1z3,所以z的最大值是3,即+的最大值是3,故选A.16.在ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且3aBC+4bCA+5cAB=0,则abc=.答案:201512解析:3aBC+4bCA+5cAB=0,3a(BA+AC)+4bCA+5cAB=0.(3a-5c)BA+(3a-4b)AC=0.在ABC中,BA,AC不共线,3a=5c,3a=4b,解得c=35a,b=34a.abc=a34a35a=201512.高考预测17.已知向量a=(m,2m-1),b=(1,-2),若ab,则|4a+2b|=.答案:35解析:向量a=(m,2m-1),b=(1,-2),且ab,-2m=2m-1,解得m=14,a=14,-12,4a+2b=(3,-6),|4a+2b|=32+(-6)2=35.