1、第2课时系统题型平面向量的数量积及应用平面向量数量积及其性质的应用1(2019宝鸡金台区质检)在直角三角形ABC中，角C为直角，且ACBC1，点P是斜边上的一个三等分点，则()A0B.1C. D解析：选B以点C为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，不妨设P，所以1.故选B.2已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60，则|a3b|等于()A. B.C. D4解析：选C依题意得ab，|a3b|，故选C.3(2019江西三校联考)若|a|2，|b|4，且(ab)a，则a与b的夹角为()A. B.C. D解析：选A(ab)a，
2、(ab)aa2ab0，ab4，cosa，b，a，b，故选A.4(2019深圳高级中学期中)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B.3C2 D1解析：选B(mn)(mn)，(mn)(mn)m2n2(1)21(2)240，解得3.故选B.1平面向量数量积的2种运算方法方法运用提示适用题型定义法当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cos 适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题2.利用数量积求
3、解长度问题的处理方法(1)a2aa|a|2或|a|.(2)|ab|.(3)若a(x，y)，则|a|.3向量夹角问题的2个注意点(1)切记向量夹角的范围是0，(2)a与b夹角为锐角ab0且a，b不共线，a与b夹角为钝角ab0且a，b不共线4两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是abab0|ab|ab|.平面向量数量积的应用问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强考法一平面向量模的最值或范围问题例1(1)(2019衡水中学调研)已知向量a，b，c满足|a|b|ab2，(ac)(b2c)0，则|bc|的最小值为()A. B.C. D(2)(201
4、9长春模拟)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1 B.2C. D解析(1)由|a|b|ab2，知a，b的夹角为，可设a(2,0)，b(1，)，c(x，y)，(ac)(b2c)0，(2x，y)(12x，2y)0，即2x22y25xy20.方程2x22y25xy20表示圆心为，半径为的圆，|bc|表示圆2x22y25xy20上的点到点(1，)的距离，所以|bc|的最小值为 .(2)因为|a|b|1，ab0，(ac)(bc)c(ab)|c|2|c|ab|cos |c|20，其中为c与ab的夹角，所以|c|ab|cos cos ，所以|c
5、|的最大值是.答案(1)A(2)C方法技巧求向量模的最值(范围)的2种方法代数法把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解几何法弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解考法二数量积的最值或范围问题例2(1)(2019南昌调研)如图，在直角梯形ABCD中，DAAB1，BC2，点P在阴影区域(含边界)中运动，则的取值范围是()A. B.C1,1 D1,0(2)(2019宝鸡模拟)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N(不与A，C重合)为AC边上的两个动点，且满足| |，则的取值范围为()A. B.C. D解析(1)在直角梯形ABCD中，DAAB1，BC2，BD.如图
6、所示，过点A作AOBD，垂足为O，则，0，().当点P与点B重合时，取得最大值，即1；当点P与点D重合时，取得最小值，即1.的取值范围是1,1(2)以等腰直角三角形的直角边BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则B(0,0)，直线AC的方程为xy2.设M(a,2a)，则0 a 1，N(a1,1a)，(a,2a)，(a1,1a)，a (a1)(2a)(1a)2 a 22 a2，0a1，当a时，取得最小值，又2，故的取值范围为.答案(1)C(2)C方法技巧数量积的最值或范围问题的2种求解方法临界分析法结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围目标函数法将数量积表示为某一
7、个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围1.已知向量a，b是两个互相垂直的单位向量，且cacb3，|c|3，则对任意的正实数t，的最小值是()A2 B.2C4 D4解析：选D因为向量a，b是两个互相垂直的单位向量，所以ab0，又cacb3，所以2c2t2a2b22(tcacbab)t26t1832，当且仅当t2，6t，即t1时等号成立，故的最小值为4.故选D.2.在ABC中，AB2AC6，2，点P是ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时，_.解析：2，2()0，即BAAC.以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(
8、6,0)，C(0,3)，设P(x，y)，则222x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453(x2)2(y1)210，所以当x2，y1时，222取得最小值，此时(2,1)(6,3)9.答案：9平面向量与其他知识的综合问题平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具在高考中，常将它与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查考法一平面向量与几何的综合问题例1(2019杭州期末)在四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，设m，n.若AB，EF1，CD，则()A2mn1 B.2m2n1Cm2n1 D2n2m1解析由题可得，()()22
9、()m2()mm.又因为点E，F分别是边AD，BC的中点，所以，.两式相加得2，两边同时平方得4232，所以.则，所以m，所以nm，即2n2m1，故选D.答案D方法技巧平面向量与几何综合问题的求解方法坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解考法二平面向量与三角函数的综合问题例2(2019陕西部分学校摸底)在ABC中，设A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos A，sin A)，n(sin A，cos A)，且|m
10、n|2.(1)求角A的大小；(2)若b4，ca，求ABC的面积解(1)mn(cos Asin A，cos Asin A)，|mn| .|mn|2，sin0，又0A，A，A0，即A.(2)ca，A，sin C1，又0C，C.ABC为等腰直角三角形，SABC(4)216.方法技巧平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路(1)向量平行、垂直与三角函数综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解(2)向量的模与三角函数综合此类题型主要是利用向量模的性质|a|2a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方
11、法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合1.在矩形ABCD中，AB3，BC，2，点F在边CD上若3，则的值为()A0 B.C4 D4解析：选C2 | |.设与的夹角为，3|cos 1| |1.以A为坐标原点建立平面直角坐标系，AD为x轴，AB为y轴，则B(0，3)，F(，1)，E.因此(，2)，23264，故选C.2.已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.设平面向量m(cos B，sin B)，n(cos C，sin C)，m与n所成的夹角为120.(1)求A的值；(2)若ABC的面积S，sin C2sin B，求a的值解：(1)由题知cos 120cos(BC)cos A，则cos A.又0A，则A.(2)由正弦定理和sin C2sin B，得c2b.则ABC的面积Sbcsin Ab2，则b2，解得b，c.由余弦定理a2b2c22bccos A，得a2216，则a4.