初等几何变换（一） 基础知识：平面几何证明题历来是各届数学竞赛的热点之一。中国数学会普委会明确规定：初、高中数学竞赛第二试中各出三道题，其中应有一道平面几何综合证明题。几何变换是几何内容的核心，大家都知道：作辅助线是初等几何证明的难点，很多情况下，辅助线的作法恰恰是变换的结果。我们称集合M到自身的一一对应为一个变换。初等几何中只讨论平面上的平移、对称、旋转、相似等几种变换。一、 平移变换1 定义 设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX，图形FF 。2主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、 轴对称变换1 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X，使得X与X关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX，图形FF 。2 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。例题：【例1】 P是平行四边形ABCD内一点，且PAB=PCB。求证：PBA=PDA。【例2】 如图左：线段AA,BB,CC交于点O，AA=BB=CC=2，AOB=BOC=60。图2求证：AOB+BOC+COA2AD。
